北京市高考数学试卷理科解析讲解

1、2021年北京市高考数学试卷理科一、选择题共8小题，每题5分，共40分在每题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项.1. 5 分2021?北京集合 A=x|x| V 2 , B=- 1, 0, 1, 2, 3，那么 AH B=A. 0 , 1 B. 0 , 1, 2 C. - 1, 0, 1D. - 1, 0, 1, 22. 5分2021?北京假设x, y满足，丈+応3 ，那么2x+y的最大值为A. 0 B. 3C. 4D. 53. 5分2021?北京执行如下图的程序框图，假设输入的a值为1,那么输出的k值 为 A. 1 B. 2C. 3D. 44. 5分2021?北京设；，是向量，贝那么

2、“| |=|同是“| 丽|同-b 的A.C.5.A.充分而不必要条件 充分必要条件 丨5分2021?北京B . sinx - siny > 0 C .匸6.丄-丄0* y 5分A.B.2021?北京13B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件x, y R,且 x>y>0,那么1 yv 0D. lnx+lny > 0某三棱锥的三视图如下图，那么该三棱锥的体积为D. 17.5 分2021?北京将函数y=sin 2x-'图象上的点P, t 向左平移sJT3A.C.s> 0个单位长度得到点 t=g, s的最小值为 t=2, s的最小值为271B. t=:，：；

3、6I271D. t=：32P'T,s的最小值为4|',假设P'位于函数y=sin2x的图象上，贝U,s的最小值为8. 5分2021?北京袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是 三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球， 就将另一个放入乙盒，否那么就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，那么A. 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B. 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C. 乙盒中红球不多于丙盒中红球D. 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 二、填空题共6小题，每题5分，共30分.9. 5分2021?北京设a R,假设复数1+i

4、 a+i在复平面内对应的点位于实轴上，贝U a=.10. 5分2021?北京在1- 2x 6的展开式中，x2的系数为.用数 字作答11. 5分2021?北京在极坐标系中，直线p cosB-旳p sin 9- 1=0与圆p =2cos 9交于A, B两点，那么|AB|=12. 5分2021?北京an为等差数列,S为其前n项和.假设a1=6，a3+as=0, 那么 Ss=.13. 5分2021?北京双曲线a>0, b>0的渐近线为正方形 OABC勺边OA OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点.假设正方形 OABC勺边长为2,那么 a=.14. 5分2021?北京设函数f x= 假设a=

5、0,那么f x的最大值为 假设f x无最大值，那么实数a的取值范围是.三、解答题共6小题，共80分，解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. 13 分2021?北京在厶 ABC中, a2+c2=b2+ :ac.I求/B的大小；U求 tcosA+cosC的最大值.16. 13分2021?北京A, B, C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情 况，通过分层抽样获得了局部学生一周的锻炼时间，数据如表单位：小时 ：A班678B班6789101112C班36912I试估计C班的学生人数；U从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人， A班选出的人记为甲，C班选 出的人记为乙.假设所有学生

6、的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼 时间长的概率；川再从A, B, C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7, 9,单位：小时，这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为卩1,表格中数据的平均数记为 卩o,试判断卩0和卩1的大小.结论不要求证明17. 14 分2021?北京如图，在四棱锥 P- ABCDK 平面 PADL平面 ABCD PALPD, PA=PD AB丄AC, AB=1, AD=2 AC=CD拓.l求证：PDL平面PABU求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；m在棱PA上是否存在点M使得BM/平面PCD假设存在，求马的值，假设不存在，说明理由.1

7、8. 13 分2021?北京设函数 f x =xea-x+bx，曲线 y=f x在点2, f 2 处的切线方程为y= e- 1 x+4,I求a, b的值；U求f x的单调区间.19. 14分2021?北京椭圆C:2X42 v2 ab2=1 a>0, b>0的离心率为A (a,0), B (0, b), O(0, 0), OAB的面积为 1.(I)求椭圆C的方程；(n)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M直线PB与 x轴交于点N.求证: |AN|?|BM| 为定值.20. (13分)(2021?北京)设数列 A: ai, a2,，aN (N>2).如果对小于 n (2&l

8、t;nWN) 的每个正整数k都有a«an,那么称n是数列A的一个“G时刻，记G(A)是数列A 的所有“G时刻组成的集合.(I)对数列A：- 2, 2,- 1,1, 3,写出G (A)的所有元素；(n)证明：假设数列A中存在an使得an>a,贝U G(A)工?;(川)证明：假设数列 A满足an- an-1< 1 (n=2, 3,，N),那么G (A)的元素个数不小 于 aN- a1.2021年北京市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每题5分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项.1. (5 分)(2021?北京)集合 A=x|x

9、| V 2 , B=- 1, 0, 1, 2, 3，那么 AH B=() A. 0 , 1 B. 0 , 1, 2 C. - 1, 0, 1 D. - 1, 0, 1, 2【考点】交集及其运算.【专题】计算题；转化思想；综合法；集合.【分析】先求出集合A和B,由此利用交集的定义能求出 AH B.【解答】解：集合 A=x|x| V2=x| - 2VxV2,B=- 1, 0, 1, 2, 3, AH B=- 1, 0, 1.应选：C.【点评】此题考查交集的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理 运用.2. (5分)(2021?北京)假设x, y满足，丈+応3 ，那么2x+y的最大值为

10、()A. 0 B. 3 C. 4 D. 5【考点】简单线性规划.【专题】计算题；规律型；数形结合；函数思想；转化思想.【分析】作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义是直线的纵截距，利用 数形结合即可求z的取值范围.【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影局部).工>0设 z=2x+y 得 y= - 2x+z,平移直线y= - 2x+z,由图象可知当直线y= - 2x+z经过点A时，直线y= - 2x+z的截距最大， 此时z最大.由F"°,解得伫，即A( 1, 2),代入目标函数z=2x+y得z=1 X 2+2=4.即目标函数z=2x+y的最大值为4.

11、应选：C.【点评】此题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的 数学思想是解决此类问题的根本方法.3. 5分2021?北京执行如下图的程序框图，假设输入的 a值为1,那么输出的k值 为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【考点】程序框图.【专题】计算题；操作型；算法和程序框图.【分析】根据的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案.【解答】解：输入的a值为1,那么b=1，第一次执行循环体后，a=-*，不满足退出循环的条件，k=1 ；第二次执行循环体后，a=- 2,不满足退出循环的条件，k=2；第三次执行循环体后，a=1

12、，满足退出循环的条件，故输出的k值为2，应选：B【点评】此题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用 模拟程序法进行解答.4. 5分2021?北京设，是向量，贝那么“| |=|同是“| |=3-b I的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】充要条件；向量的模.【专题】转化思想；平面向量及应用；矩阵和变换.【分析】根据向量模相等的几何意义，结合充要条件的定义，可得答案.【解答】解：假设“1|=| 4，那么以为邻边的平行四边形是菱形；假设“I - |+卜=| I - I，| ，那么以I，i为邻边的平行四边形是矩形；故“I -|

13、=|是“I +i，|=|仃| 的既不充分也不必要条件；应选：D.【点评】此题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出“I i|=| M 与“I ：+'|=| I-b| 表示的几何意义，是解答的关键.5. 5 分2021?北京 x，y R,且 x>y >0,贝UA.丄-2>0B. sinx - siny >0 C. 2 x-丄yv0 D. lnx+lny >0|x| y22【考点】不等关系与不等式.【专题】转化思想；函数的性质及应用；不等式.【分析】x, y R,且x > y > 0 ,可得：二sinx与siny的大小关系不确定, x y,Inx

14、+lny与0的大小关系不确定，即可判断出结论.【解答】解：Ix , y R,且x>y>0,贝贝!<丄x y,即I* x-丄y< 0 , Inx+lny与0的大小关系不确定.,sinx与siny的大小关系不确定,V -应选：C.【点评】此题考查了不等式的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属 于中档题.6. 5分2021?北京某三棱锥的三视图如下图，那么该三棱锥的体积为C.二 D. 12A.B.由三视图求面积、体积.计算题；空间位置关系与距离；立体几何.由中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，进而可【考点】【专题】【分析】得答案.【解答】棱锥的底

15、面面积S x 1 x 1=_,2 2解：由中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,1高为1,故棱锥的体积应选：A【点评】此题考查的知识点是由三视图，求体积和外表积，根据的三视图，判断 几何体的形状是解答的关键.7. 5分2021?北京将函数s> 0个单位长度得到点A. t=g , s的最小值为C. t=g , s的最小值为【考点】【专题】【分析】JTT,假设P'位于函数y=sin2x的图象上，贝Us的最小值为一丄6s的最小值为-丄3y=sin (2x -一丄71B. t=，：6271D. t=；32P'图象上的点P ,t向左平移s函数y=Asin 3 x+&

16、#169; 的图象变换. 转化思想；转化法；三角函数的图像与性质.将x=代入得：t=-，进而求出平移后P'的坐标，进而得到s的最小值.427T4JI7116 '1代入得：t=sin4图象上的点P向左平移s个单位,-占 丿点,假设P'位于函数y=sin2x的图象上，【解答】解：将x=将函数y=sin (2x -s,贝U sin 丄-2s =cos2s=-,2 2贝 U 2s=+2kn, k Z,_ 3贝U s=+ +kn, k Z,由s>0得：当k=0时，s的最小值为，应选：A.【点评】此题考查的知识点是函数y=Asin x+© A> 0,®

17、;> 0的图象和性质， 难度中档.8. 5分2021?北京袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是 三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球， 就将另一个放入乙盒，否那么就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，那么A. 乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B. 乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C. 乙盒中红球不多于丙盒中红球D. 乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【考点】进行简单的演绎推理.【专题】推理和证明.【分析】分析理解题意：乙中放红球，那么甲中也肯定是放红球；往丙中放球的前提是 放入甲中的不是红球，据此可以从乙中的红球个数为切入点进行分析

18、.【解答】解：取两个球共有4种情况： 红+红，那么乙盒中红球数加1个； 黑+黑，那么丙盒中黑球数加1个； 红+黑红球放入甲盒中，那么乙盒中黑球数加1个； 黑+红黑球放入甲盒中，那么丙盒中红球数加1个.设一共有球2a个，那么a个红球，a个黑球，甲中球的总个数为a,其中红球x个，黑 球 y 个, x+y=a.那么乙中有x个球，其中k个红球，j个黑球，k+j=x ； 丙中有y个球，其中I个红球，i个黑球，i+l=y ；黑球总数 a=y+i+j，又 x+y=a，故 x=i+j由于x=k+j，所以可得i=k，即乙中的红球等于丙中的黑球. 应选B.【点评】该题考查了推理与证明，重点是找到切入点逐步进行分析

19、，对学生的逻辑思 维能力有一定要求，中档题二、填空题共6小题，每题5分，共30分.9. 5分2021?北京设a R,假设复数1+i a+i 在复平面内对应的点位于实轴上，贝U a= - 1.【考点】复数的代数表示法及其几何意义.【专题】计算题；转化思想；转化法；数系的扩充和复数.【分析】1+i a+i =a- 1+ a+1 i，那么a+仁0,解得答案.【解答】解：1+i a+i =a- 1+ a+1 i ,假设复数1+i a+i在复平面内对应的点位于实轴上，那么 a+1=0,解得：a= - 1,故答案为：-1【点评】此题考查的知识点是复数的代数表示法及其几何意义，难度不大，属于根底题.10.

20、5分2021?北京在1 - 2x 6的展开式中，x2的系数为 60 .用数字作答 【考点】二项式定理的应用.【专题】方程思想；转化思想；二项式定理.【分析】利用二项式定理展开式的通项公式即可得出.【解答】解：1-2x 6的展开式中，通项公式Tr+1=F - 2x r= - 2 7rxr,6 0令r=2，那么x2的系数= ： I=60.S故答案为：60.【点评】此题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于根底题.11. 5分2021?北京在极坐标系中，直线p cosB-Vp sin 9- 1=0与圆p =2cos 9交于A，B两点，那么|AB|=2.【考点】简单曲线的极坐标方程.【

21、专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆.【分析】把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心C在直线上可得|AB| .【解答】解：直线p cos 9- VI p sin 9 - 1=0化为y直线x -灵y- 1=0.圆 p =2cos 9 化为 p 2=2 p cos 9，：x 2+y2=2x，配方为x - 1 2+y2=1，可得圆心 C 1， 0，半径 r=1 .那么圆心C在直线上，二|AB|=2 .故答案为：2.【点评】此题考查了把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，考查了计算能力， 属于根底题.12. 5分2021?北京an为等差数列，S为其前n项和.假设a1=6，a3+as=0

22、, 那么 $= 6.【考点差数列的前n项和.【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列.【分析】由条件利用等差数列的性质求出公差，由此利用等差数列的前n项和公式能求出S6.【解答】解： an为等差数列，S为其前n项和.a1=6，a3+as=0,°.a1+2d+a+4d=0, 12+6d=0,解得d=- 2,°S6=门，-.=36 30=6.故答案为：6.【点评】此题考查等差数列的前6项和的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意 等差数列的性质的合理运用.13. (5分)(2021?北京)双曲线 呂-假设=1 (a>0, b>0)的渐近线为正方形 OAB

23、C勺 边OAOC所在的直线，点B为该双曲线的焦点.假设正方形OABC勺边长为2,那么a= 2.【考点】双曲线的简单性质.【专题】转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】根据双曲线渐近线在正方形的两个边，得到双曲线的渐近线互相垂直，即双曲线是等轴双曲线，结合等轴双曲线的性质进行求解即可.【解答】解：双曲线的渐近线为正方形 OABC勺边OA OC所在的直线，渐近线互相垂直，那么双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=± x,即 a=b，正方形OABC勺边长为2，- OB=2 二，即 c=2f.：，贝 U a2+b2=c2=8，即 2a2=8，那么 a2=4， a=2，故答案为

24、：2【点评】此题主要考查双曲线的性质的应用，根据双曲线渐近线垂直关系得到双曲线 是等轴双曲线是解决此题的关键.14. (5分)(2021?北京)设函数f (x)= 假设a=0,那么f (x)的最大值为 2 ; 假设f (x)无最大值，那么实数a的取值范围是(-，- 1).【考点】分段函数的应用.【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用.【分析】将a=0代入，求出函数的导数，分析函数的单调性，可得当x=- 1时，f (x) 的最大值为2；ra>-l假设f (x )无最大值，那么，或-為> J 加，解得答案.-2a>2【解答】解：假设a=0,那么f (x)=当x v- 1时，f

25、'( x )> 0,此时函数为增函数, 当x >- 1时，f'( x) v 0,此时函数为减函数, 故当x= - 1时，f (x)的最大值为2；令 f'(x) =0,那么 x=± 1,fa>-l假设f x 无最大值，那么忑殳，或-戈吕 3渲，- 亦> a3 - 3a-2a>21解得：a x, 1.故答案为：2, -X,- 1【点评】此题考查的知识点是分段函数的应用，函数的最值，分类讨论思想，难度中档.三、解答题共6小题，共80分，解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. 13 分2021?北京在厶 ABC中，a2+c2=b2

26、+ :ac.I求/B的大小；U求:-cosA+cosC的最大值.【考点】解三角形的实际应用.【专题】计算题；转化思想；转化法；解三角形.【分析】I根据和余弦定理，可得 cosB=:，进而得到答案；2|儿由I 得：C=-A,结合正弦型函数的图象和性质，可得 cosA+cosC的最 大值.【解答】解：Iv在厶 ABC中, a2+c2=b2+ ac.a2+c2- b2=/.ac. cosB=i=工2ac2ac I 2T B=7儿由I 得:-A,C=-4: cosA+cosC= :cosA+cos (371-A)='cosA-；cosA+ si nA2 2=cosA+ si nA2 2),故当

27、A+n),=sin (A).兀一时，sin (A-)取最大值1,即:cosA+cosC的最大值为1.【点评】此题考查的知识点是余弦定理，和差角公式，正弦型函数的图象和性质，难 度中档.16. 13分2021?北京A, B, C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情 况，通过分层抽样获得了局部学生一周的锻炼时间，数据如表单位：小时 ：A班678B班6789101112C班36912I试估计C班的学生人数；U从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人， A班选出的人记为甲，C班选 出的人记为乙假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼 时间长的概率；川再从A，B，C三班中

28、各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7, 9,单位：小时，这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为卩1,表格中数据的平均数记为 卩0,试判断卩0和卩1的大小.结论不要求证明【考点】古典概型及其概率计算公式；用样本的频率分布估计总体分布.【专题】计算题；定义法；概率与统计.【分析】I 由先计算出抽样比，进而可估计 C班的学生人数；U根据古典概型概率计算公式，可求出该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概 率；川根据平均数的定义，可判断出卩。 卩1.【解答】解：I 由题意得：三个班共抽取 20个学生，其中C班抽取8个，故抽样比K j ,100 5故C班有学生8十一=40人，5n从从A班

29、和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，共有5X 8=40种情况，而且这些情况是等可能发生的，当甲锻炼时间为6时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 2种情况； 当甲锻炼时间为时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；当甲锻炼时间为7时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 3种情况； 当甲锻炼时间为时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有3种情况；当甲锻炼时间为8时，甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长有 4种情况； 故周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率 P=丄；402川卩0卩1 .【点评】此题考查的知识点是用样本的频率分布估计总体分布，古典概型，难度中档.17. 14 分2021?北京如图，在四棱锥 P- AB

30、CDK 平面 PADL平面 ABCD PALPD, PA=PD AB丄AC, AB=1, AD=2 AC=CD=j.I求证：PDL平面PABU求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；rn在棱PA上是否存在点M使得BM/平面PCD假设存在，求畔的值，假设不存在， 说明理由.【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何.【分析】(I)由结合面面垂直的性质可得 AB丄平面PAD进一步得到AB丄PD再 由PDL PA由线面垂直的判定得到 PDL平面PAB(U)取AD中点为0,连接CO PQ由可得CQLAD, POLAD以0为坐标原点， 建立空间直角坐标系，求得 P

31、(0, 0, 1), B (1, 1, 0), D(0,- 1, 0), C(2, 0, 0), 进一步求出向量 的坐标，再求出平面 PCD的法向量i,设PB与平面PCD的夹角为 0,由 sin® =| coff n*二 IEL* PB求得直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(川)假设存在M点使得BM/平面PCD设型,M (0, y1, Z1),由可得 M(0, 1-入，入)，V I： - 1.,由BM/平面PCD可得'-,由此列式求得当 时，M点即为所求.AP 4【解答】(I)证明：平面 PADL平面ABCD且平面PACT平面ABCD=AD 且 AB丄 AD, AB?平面

32、ABCD AB丄平面PAD PD平面 PAD AB丄 PD,又 PDL PA 且 PAT AB=A PDL平面 PAB(U)解：取AD中点为Q连接CQ PQv CD=AC=., CQL AD,又v PA=PD PQL AD以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：那么 P (0 , 0 , 1) , B (1 , 1 , 0), D (0, - 1 , 0), C (2 , 0 , 0),那么丄-一；，PC=(2, 03 -1) , CD= ( - 2. -1, 0)，口二(7訂1)为平面PCD的法向量,-冗-口2兀_匸0设PB与平面PCD的夹角为0 ,那么由一ln-PC=0，得(川)解：假设存

33、在,贝U门二讣，- I. 1) 那么7(0 ,屮,zj,sirt = |cas< n> PB> 1= I由( n)知，A( 0,1, 0), P (0, 0, 1),丽二破 Q, 7 1)，B( 1,1, 0)，AM= (0,- h 忑 J ,那么有丁 ；7 ；,可得M (0, 1 -入，入)， BM/平面 PCD:二G -E 1)为平面PCD的法向量, T - ,即:.二，解得-二二.4综上，存在点M即当'时，M点即为所求.AP 4【点评】此题考查线面垂直的判定，考查了直线与平面所成的角，训练了存在性问题 的求解方法，建系利用空间向量求解降低了问题的难度，属中档题.

34、18. (13 分)(2021?北京)设函数 f (x) =xeax+bx，曲线 y=f (x)在点(2, f (2) 处的切线方程为y= (e- 1) x+4,(I)求a, b的值；(n)求f (x)的单调区间.【考点】利用导数研究函数的单调性.【专题】函数思想；转化思想；转化法；导数的概念及应用.【分析】(I)求函数的导数，根据导数的几何意义求出函数的切线斜率以及f (2),建立方程组关系即可求a, b的值；(n)求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求f (x)的单调区间.【解答】解：(I)： y=f (x)在点(2, f (2)处的切线方程为y= (e- 1) x+4,当 x

35、=2 时，y=2 (e- 1) +4=2e+2,即 f (2) =2e+2,同时 f'( 2) =e- 1,f (x) =xea-x+bx,a-xa-x . f(x) =e - xe +b,f 二f =ea_2-2ea_2+b=e-l ?即 a=2, b=e；(n)： a=2, b=e；2 _x、2 - x-xe +e= (1 - x) e +e, -(1 - x) e2-x= (x - 2) e2-x,(x)v 0 得 xv2, f (x) =xe2- x+ex, f'( x) =e2-x f ( x) =- e2-x由 f ( x)> 0 得 x>2,由 f 即

36、当 x=2 时，f'( x)取得极小值 f'( 2) = (1 - 2) e2 2+e=e- 1 > 0, f'( x )> 0恒成立， 即函数f (x)是增函数，即f (x)的单调区间是(-x,+x).【点评】此题主要考查导数的应用，根据导数的几何意义，结合切线斜率建立方程关 系以及利用函数单调性和导数之间的关系是解决此题的关键.综合性较强.19. (14分)(2021?北京)椭圆C:2 Xa=1 (a>0, b>0)的离心率为；,A(a，0), B (0, b), 0(0, 0), OAB的面积为 1.(I)求椭圆C的方程；(n)设P是椭圆C

37、上一点,直线PA与y轴交于点M直线PB与 x轴交于点N.求证: |AN|?|BM| 为定值.【考点】直线与椭圆的位置关系.【专题】方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】(I)运用椭圆的离心率公式和三角形的面积公式，结合a , b , c的关系，解方程可得a=2 , b=1 ,进而得到椭圆方程；(n)方法一、设椭圆上点P (xo , yo),可得Xo2+4yo2=4 ,求出直线PA的方程，令x=0 , 求得y , |BM| ；求出直线PB的方程,令y=0 ,可得x , |AN| ,化简整理,即可得到|AN|?|BM| 为定值4.=.=；a2方法二、设P (2cos 9

38、, sin 9)( 0<9< 2n),求出直线PA的方程,令x=0 ,求得y , |BM| ;求出直线PB的方程,令y=0 ,可得x , |AN| ,运用同角的平方关系,化简整理, 即可得到|AN|?|BM|为定值4.【解答】解：(I)由题意可得eIOAB的面积为X可得匸ab=1, 且 a2 - b2=c2,解得 a=2, b=1, c='；,可得椭圆C的方程为_!+y2=1；(U)证法一：设椭圆上点 P (X0, y°), 可得 x°2+4y°2=4,那么 |BM|=|1 +7(x - 2),令 x=0,可得 y=-直线PB: y=yn - 1x+1 ,令 y=0 ,可得 x=-那么 |AN|=|2+I -可得 |AN|?|BM|=|2+I=I-1； 1 7 Iv - ' 'V |- _' I - _|2+xqZo _ SQ _ 2y0即有|AN|?|BM|为定值4. 证法二：设 P (2cos 0,直线PA y=|1=4 ,sin 0) , (0<0< 2n), (x 2),令 x=0,可得 y=-直线PB: y=sin 82gos 8 - 2sin +cqs Q 11 - cos 8=x+1,令 y=0,可得 x=-贝 U |AN|=|1 - sin 9即有|