平面几何(4个定理)

1、平面几何三角形五心 重心：中线 2:1 外心：垂直平分线 垂心：高线 内心：角平分线 旁心：两外角平分线第三内角平分线 1.梅涅劳斯定理ABCBCCAABDEFDEFAF BD CE=1FB DC EA在的三边，或其延长线上有点， ， ，则 ， ， 三点是充要条件共线的BACDEFBACDEF“顶到分，分到顶”梅涅劳斯定理必要性证明AF BD CE=1FB DC EABACDEFG方法1：平行 比例AFAG=FBBDAG BDAG=BD DCDCAGAE=DCECAE CE=1EC EA证明：H梅涅劳斯定理必要性证明AF BD CE=1FB DC EABACDEF方法2：垂直 平行 比例ahb

2、hchAF=FBBDDCCE=EAabbccahhhhhh证明：梅涅劳斯定理必要性证明AF BD CE=1FB DC EABACDEF方法3：等高三角形 线段比=面积比AF=FBBDDCCE=EAAFDBFDDBFDCFCEDCEFCEDCEFCDFEADEAFEADEAFAFDSSSSSSSSSSSSSS证明：梅涅劳斯定理充分性证明AF BD CE=1FB DC EABACDEF方法：同一法PDEABPAP BD1PB DC EAF BD1DC EAPAFABABPBPBFDEFCEACEFBAFBFBPBFBP证明：设交于 。由梅涅劳斯定理得：与 重合， ， 三点共线梅涅劳斯定理BACDE

3、F作用：1.证明三点共线2.导出线段比例关键：1.三角形2.截线2、塞瓦定理设、E、F分别是ABC的BC，CA，AB边上的点，则AD，BE，CF相交于一点O的充要条件是B DC EA F=1D CE AF BABCODEF塞瓦定理必要性证明B DC EA F=1D CE AF BABCODEFADCBOECB DO AE=1 1BD OA ECABDCOFBC DO AF=12CD OA FBBD CE AF2 /1=1DC EA FB证明：被所截，（ ）被所截，（ ）（ ） （ ）：法1：梅涅劳斯定理塞瓦定理必要性证明B DC EA F=1D CE AF B方法2：等高三角形 线段比=面积比

4、塞瓦定理充分性证明B DC EA F=1D CE AF BABCODEFBECFOAODBDAF=11D C EABDAF=1DC EABDBDD CDCBCBCD CDCDBCCFBCFBD证明：与相交于点，连接并延长，交于（ ）（2）与重合D塞瓦定理BACDEF作用：1.证明三线共点2.导出线段比例关键：1.三角形2.共点例：证明三角形的中线交于一点。1111111111111111111111,1ABCAABBCCACBACBC BAC B AACC B BAAC CBB AACBACBABCC BAC B A证明：记的中线，只须证明而显然有：即成立，交于一点3、托勒密定理ABCDAB

5、CD+BC ADAC BDABCD凸四边形中，恒有，等号成立的充要条件是四边形内接于一个圆。证：作ABE使BAE=CAD ABE= ACD,连接DE.则ABEACD BE/CD=AB/AC,即BEAC=ABCD (1) ABEACD得AD/AC=AE/AB,又BAC=EAD,ABCAED.BC/ED=AC/AD,即EDAC=BCAD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=ABCD+ADBC又因为BE+EDBD例：已知ABC中，B=2C。求证：AC2=AB2+ABBC。BCAD4.西姆松定理从三角形ABC外接圆上一点P，作BC，AC，AB的垂线，设垂足一次为L,M,N,则三点在一条直线上。（逆定理也成立）证明：若A、B、P、C四点共圆，则PBN = PCM。因PL BC，PM AC，PN AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四点共圆，有PBN =PLN =PCM=PLM.故L、M、N三点共线。4.西姆松定理（逆定理）从三角形ABC外接圆上一点P，作BC，AB，AC的垂线，设垂足一次为L,M,N,则三点在一条直线上。（逆定理也成立）证明：若L、M、N三点共线，连结BP，CP，则因PL BC，PM AC，PN AB，有B、P、L、N和M、P、L、C分别四点共圆，有PBN = PLN = PL