大学物理2-(3)势能、机械能守恒定律

1、第十五章第十五章 机械波机械波15 15 8 8 多普勒效应多普勒效应 1 掌握掌握功的概念功的概念, 能计算变力的功能计算变力的功, 理解理解保守力作功的特点及势能的概念保守力作功的特点及势能的概念, 会计算万有会计算万有引力、重力和弹性力的势能引力、重力和弹性力的势能 . 2 掌握掌握动能定理动能定理 、功能原理和机械能守恒、功能原理和机械能守恒定律定律, 掌握运用守恒定律分析问题的思想和方掌握运用守恒定律分析问题的思想和方法法 . 2.1-3 2-32-3势能、机械能守恒定律势能、机械能守恒定律下面进一步考虑保守内力作功的特点下面进一步考虑保守内力作功的特点一一、保守力的功、保守力的功、

2、势能势能 保守力保守力: 力所作的功与路径无关力所作的功与路径无关，仅决定于相，仅决定于相互作用质点的互作用质点的始末始末相对相对位置位置 .（例如重力、弹性力、（例如重力、弹性力、万有引力）万有引力）非保守力非保守力: 力所作的功与路径有关力所作的功与路径有关 .（例如（例如摩擦摩擦力）力）mg dy=(+mg j ).(dxidy j )yy=()abm gm gdAdr=G.yxoyyaabbdrGmgdy=A1. 1. 重力的功重力的功若物体从若物体从a出发经任意路径回到出发经任意路径回到a点，则有点，则有: :Adr=G.= 0物体沿任意闭合路径一周，重力所作的功为零物体沿任意闭合路

3、径一周，重力所作的功为零. .MmrGF=2cos=()F ds90 +02. 2. 万有引力的功万有引力的功=dAF dr.MmrG=2drMmrGsin=2dsrabrdsF太阳太阳地球地球Mmrdrab)(=abGMmGMmrrMmGA2=rrabdrr3. 3. 弹簧弹性力的功弹簧弹性力的功Fkx=kxdx=Fdx=dAkx=ab()1221kx22x自然长度自然长度弹簧弹簧xFokxdx=baAxx* *保守力的定义：保守力的定义： drF.=0或：若有一个力能满足条件：或：若有一个力能满足条件：则称此力为则称此力为保守力保守力。 若力若力F 对物体所作的功决定于作功的起点和终点对物

4、体所作的功决定于作功的起点和终点而与作功的路径无关，称此力为保守力。而与作功的路径无关，称此力为保守力。如某力的功与路径有关，则称这种力为如某力的功与路径有关，则称这种力为非保守力非保守力。第十五章第十五章 机械波机械波15 15 8 8 多普勒效应多普勒效应 例例 一根特殊弹簧，在伸长一根特殊弹簧，在伸长x m时，沿它伸长的反时，沿它伸长的反方向的作用力为方向的作用力为(52.8x +38.4x2)N。 试求把弹簧从试求把弹簧从x=0.50拉长到拉长到 x =1.00 时，外力克时，外力克服弹簧力所作的功。服弹簧力所作的功。11.219.831（J ）=+AFx=d解：解：=+()x20.5

5、x1dx52.838.4第十五章第十五章 机械波机械波15 15 8 8 多普勒效应多普勒效应)3()2(2121) 1 (22baabbaabbaabrMmGrMmGAkxkxAmghmghA重力的功：重力的功：弹力的功：弹力的功：万有引力的功：万有引力的功： 三式左面是保守力的功，右面是与质点始末位三式左面是保守力的功，右面是与质点始末位置有关的两个位置函数之差。既然置有关的两个位置函数之差。既然功是能量变化的量功是能量变化的量度度，左面是功，右面必代表某种能量的变化。而这种，左面是功，右面必代表某种能量的变化。而这种能量的变化又总是等于两个位置函数之差，故这种位能量的变化又总是等于两个位

6、置函数之差，故这种位置函数必代表一种能量置函数必代表一种能量-位能位能(或势能或势能)。因它决定于。因它决定于物体的位置状态（势）物体的位置状态（势） 势能势能 与物体间相互作用及相对位置有关的能量与物体间相互作用及相对位置有关的能量 . 第十五章第十五章 机械波机械波15 15 8 8 多普勒效应多普勒效应上式写成一般形式：上式写成一般形式： (4)abpapbpAEEE 2）基于以上原因，我们可以规定某一位置处势能为零，基于以上原因，我们可以规定某一位置处势能为零，以便给出其它点的势能值。以便给出其它点的势能值。这个被规定的势能零点位这个被规定的势能零点位置称为参考点。置称为参考点。例如规

7、定例如规定0pbE则则a点的势能点的势能abpaAE上式只给出了势能之差的表达式。（上式只给出了势能之差的表达式。（4）式右边的两）式右边的两项都加以或减以一个常数，等式仍成立。项都加以或减以一个常数，等式仍成立。这说明：这说明：1）真正有意义的是势能差而不是势能的绝对值真正有意义的是势能差而不是势能的绝对值 参参aabPardFAE第十五章第十五章 机械波机械波15 15 8 8 多普勒效应多普勒效应因为只有保守力的积分是与路径无关的，因而当因为只有保守力的积分是与路径无关的，因而当参考点选择以后势能的值就是唯一的了。参考点选择以后势能的值就是唯一的了。只有物体之间的相互作用力是保守力，只有

8、物体之间的相互作用力是保守力，才能建立势能的概念。才能建立势能的概念。例如就不能引入摩擦力势能的概念。例如就不能引入摩擦力势能的概念。参考点参考点mmmm1l2l3lA1A2A3注意注意第十五章第十五章 机械波机械波15 15 8 8 多普勒效应多普勒效应计算势能可以任选一个你认为方便的路径。计算势能可以任选一个你认为方便的路径。例：例：重力势能，重力势能，以地面为参考点以地面为参考点，势，势能选取从能选取从a-b点的路径，则：点的路径，则：0hPaaEF drmgdymgh参参例：例：弹性势能，弹性势能，以弹簧的平衡位置为以弹簧的平衡位置为势能零点势能零点0212aaxkxdxkxpaaEF

9、 dr参参abmgFoax第十五章第十五章 机械波机械波15 15 8 8 多普勒效应多普勒效应例例：万有引力势能，：万有引力势能，选取选取 远为势能的零点远为势能的零点paaEF draMmGr 2arMmGdrrM地地FFFFFaraF第十五章第十五章 机械波机械波15 15 8 8 多普勒效应多普勒效应势能的值是相对参考点而言的，参考势能的值是相对参考点而言的，参考点选择不同势能的值不同。点选择不同势能的值不同。cab如何选择参考点如何选择参考点： 原则上可以任意选原则上可以任意选择，但要以研究问题择，但要以研究问题方便为原则。方便为原则。 重力势能重力势能 零点可以任意选取。零点可以任

10、意选取。万有引力势能常以无穷远为参考点。万有引力势能常以无穷远为参考点。弹性势能选平衡位置为势能零点。弹性势能选平衡位置为势能零点。第十五章第十五章 机械波机械波15 15 8 8 多普勒效应多普勒效应势能是属于相互作用的物体系统所共有，势能是属于相互作用的物体系统所共有，若没有相互作用的系统，无从谈势能的概念。若没有相互作用的系统，无从谈势能的概念。“某物体的势能某物体的势能”只是习惯的说法。只是习惯的说法。第十五章第十五章 机械波机械波15 15 8 8 多普勒效应多普勒效应 前面引入了势能的概念，这为我们系统、全面研究前面引入了势能的概念，这为我们系统、全面研究机械能打下了基础。功能原理

11、实际上是系统动能定理机械能打下了基础。功能原理实际上是系统动能定理的变形。的变形。二、二、 功能原理功能原理第一个质点：第一个质点：)1()1(112kkEEA）（合第二个质点：第二个质点：)2()2(212kkEEA）（合第第n个质点：个质点：)()(12nknknEEA）（合、1F2F3F3m2m1m12F32F23F31F21F13F第十五章第十五章 机械波机械波15 15 8 8 多普勒效应多普勒效应1F2F3F3m2m1m12F32F23F31F21F13F2221112112(1)(2)( )(1)(2)( )nnkkknkkkkkAAAAEEEEEEEEL LL LL L（ ）（

12、 ）（ ）合合合合合合合合合力合力外力外力内力内力保守内力保守内力非保守内力非保守内力A合合A外外A保守内力保守内力A非保守内力非保守内力Ek2Ek1（Ep2Ep1）第十五章第十五章 机械波机械波15 15 8 8 多普勒效应多普勒效应“同状态的量同状态的量”合并：合并：令令称为系统的机械能称为系统的机械能式中式中21EE ,分别为作功前后系统的机械能分别为作功前后系统的机械能A外外A非保守内力非保守内力=(Ek2Ek1 ）+【（Ep2Ep1）】）】A外外A非保守内力非保守内力=(Ek2+ Ep2）-（Ek1 + Ep1）EEEpk 21AAEE外外非非保保守守内内力力 -系统的功能原理系统的

13、功能原理第十五章第十五章 机械波机械波15 15 8 8 多普勒效应多普勒效应1）功能原理说明只有外力及非保守内力才能改变）功能原理说明只有外力及非保守内力才能改变系统的机械能系统的机械能.功能原理功能原理:系统的机械能的增量等于外力及非保守内系统的机械能的增量等于外力及非保守内力作功之总和力作功之总和.例例: 提高杠铃的机械能靠外力提高杠铃的机械能靠外力,而马达的停止转动是而马达的停止转动是靠非保守内力靠非保守内力-磨擦力磨擦力.2）功能原理与动能定理并无本质差别）功能原理与动能定理并无本质差别 ,区别在于功能区别在于功能原理引入了势能概念原理引入了势能概念,而无需计算保守力的功而无需计算保

14、守力的功. 动能动能原理则应计算包括保守内力在内的所有力的功原理则应计算包括保守内力在内的所有力的功.21AAEE外外非非保保守守内内力力说明说明第十五章第十五章 机械波机械波15 15 8 8 多普勒效应多普勒效应0 非保守内力非保守内力外力外力当：当：AA12EE 或：或：1122pkpkEEEE 机械能守恒定律机械能守恒定律：如果系统内除保守内力以如果系统内除保守内力以外，其它外力及和非保守内力都不作功，那么系外，其它外力及和非保守内力都不作功，那么系统的总机械能保持不变。统的总机械能保持不变。(0)外力非保守内力AA三三、机械能守恒定律机械能守恒定律pkEE12EE第十五章第十五章 机

15、械波机械波15 15 8 8 多普勒效应多普勒效应0 非保守内力非保守内力外力外力AA2）机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律）机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律的特例。的特例。 1）机械能守恒的条件：）机械能守恒的条件：并非：并非：0 非保守内力非保守内力外力外力FF 对与一个与自然界对与一个与自然界无无任何联系的系统来说任何联系的系统来说, 系统内各种形式的能量是系统内各种形式的能量是可以可以相互转换的，但是相互转换的，但是不论如何转换，能量既不论如何转换，能量既不能产生不能产生，也不能消灭，也不能消灭，这一结论叫做这一结论叫做能量守恒定律能量守恒定律 .注意注意第十五章第十五章 机械波机械

16、波15 15 8 8 多普勒效应多普勒效应 例例 1 一雪橇从高度为一雪橇从高度为50m 的山顶上点的山顶上点A沿冰道由沿冰道由静止下滑静止下滑,山顶到山下的坡道长为山顶到山下的坡道长为500m . 雪橇滑至山下雪橇滑至山下点点B后后,又沿水平冰道继续滑行又沿水平冰道继续滑行,滑行若干米后停止在滑行若干米后停止在C处处 . 若摩擦因数为若摩擦因数为0.050 . 求此雪橇沿水平冰道滑行的求此雪橇沿水平冰道滑行的路程路程 . (点点B附近可视为连续弯曲的滑道附近可视为连续弯曲的滑道.忽略空气阻力忽略空气阻力 .)第十五章第十五章 机械波机械波15 15 8 8 多普勒效应多普勒效应NFfFPsi

17、nPcosPh s已知已知 , m500 , 050. 0 , m50sh求求. s解解 以雪橇、冰道和地球为一系统，由功能原理得以雪橇、冰道和地球为一系统，由功能原理得f21AEE f Acos ( )mgsmgsmg ss mghEE12又又第十五章第十五章 机械波机械波15 15 8 8 多普勒效应多普勒效应)(ssmgmgh可得可得NFfFPsinPcosPh sf21AEE由功能原理由功能原理m500 shs代入已知数据有代入已知数据有 , m500 , 050. 0 , m50shfA ( )mg ss 第十五章第十五章 机械波机械波15 15 8 8 多普勒效应多普勒效应 例例

18、2 有一轻弹簧有一轻弹簧, 其一端系在铅直放置的圆环的其一端系在铅直放置的圆环的顶点顶点P, 另一端系一质量为另一端系一质量为m 的小球的小球, 小球穿过圆环并小球穿过圆环并在圆环上运动在圆环上运动(不计摩擦不计摩擦) .开始小球静止于点开始小球静止于点 A, 弹簧弹簧处于自然状态处于自然状态,其长度为圆环半径其长度为圆环半径R; 当小球运动到圆环当小球运动到圆环的底端点的底端点B时时,小球对圆环没有压力小球对圆环没有压力. 求弹簧的劲度系数求弹簧的劲度系数.解解 以弹簧、小球和地球为一系统，以弹簧、小球和地球为一系统，30oPBRABA只有保守内力做功只有保守内力做功系统机械能守恒系统机械能

19、守恒ABEE 0pE取图中点取图中点 为重力势能零点为重力势能零点B第十五章第十五章 机械波机械波15 15 8 8 多普勒效应多普勒效应又又 RmmgkRB2v所以所以Rmgk2即即)30sin2(212122mgRkRmBv30oPBRA0pE系统机械能守恒系统机械能守恒ABEE 图中图中 点为重力势能零点点为重力势能零点B第十五章第十五章 机械波机械波15 15 8 8 多普勒效应多普勒效应四四 宇宙速度宇宙速度 牛顿的牛顿的自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理插图，抛体插图，抛体的运动轨迹取决于抛体的初速度的运动轨迹取决于抛体的初速度第十五章第十五章 机械波机械波15 15 8 8 多

20、普勒效应多普勒效应设设 地球质量地球质量 , 抛体质量抛体质量 , 地球半径地球半径 .EmERmvh 解解 取抛体和地球为一系统取抛体和地球为一系统 ，系统的机械能系统的机械能 E 守恒守恒 .1） 人造地球卫星人造地球卫星 第一宇宙速度第一宇宙速度 第一宇宙速度第一宇宙速度 ，是在地面上发射人造地球卫星，是在地面上发射人造地球卫星所需的最小速度所需的最小速度 .1v)(21EE21RmmGmEv)(21EE2hRmmGmv第十五章第十五章 机械波机械波15 15 8 8 多普勒效应多普勒效应解得解得hRGmRGmEEEE12vvh)(21)(21EE2EE21hRmmGmRmmGmEvv2

21、EEE2)(hRmmGhRmv由由牛顿第二定律和万有引力定律得牛顿第二定律和万有引力定律得第十五章第十五章 机械波机械波15 15 8 8 多普勒效应多普勒效应vh2EERGmg )2(EEE1hRRgRv地球表面附近地球表面附近hR E故故E1gRvm/s109 . 731v计算得计算得第一宇宙速度第一宇宙速度0)(2EEhRGmmE0EhRGmRGmEEEE12v第十五章第十五章 机械波机械波15 15 8 8 多普勒效应多普勒效应我国我国1977年发射升空的东方红三号通信卫星年发射升空的东方红三号通信卫星第十五章第十五章 机械波机械波15 15 8 8 多普勒效应多普勒效应2） 人造行星

22、人造行星 第二宇宙速度第二宇宙速度0 )(21pkEE22EERmmGmEvvh设设 地球质量地球质量 , 抛体质量抛体质量 , 地球半径地球半径 . EmERm 第二宇宙速度第二宇宙速度 ，是，是抛体脱离地球引力所需抛体脱离地球引力所需的最小发射速度的最小发射速度 .2vE 取抛体和地球为一系统取抛体和地球为一系统 系统机械能系统机械能 守恒守恒 .0;0, vFr当当若若此时此时则则第十五章第十五章 机械波机械波15 15 8 8 多普勒效应多普勒效应EEE222gRRGmv第二宇宙速度第二宇宙速度0E0)(21EE22RmmGmEvvhkm/s2 .112v计算得计算得第十五章第十五章

23、机械波机械波15 15 8 8 多普勒效应多普勒效应3） 飞出太阳系飞出太阳系 第三宇宙速度第三宇宙速度 第三宇宙速度第三宇宙速度 ，是，是抛体脱离太阳引力所需的抛体脱离太阳引力所需的最小发射速度最小发射速度 .3vvh设设 地球质量地球质量 , 抛体质量抛体质量 , 地球半径地球半径 , EmERm 太阳质量太阳质量 , 抛体与太阳相距抛体与太阳相距 . SmSR第十五章第十五章 机械波机械波15 15 8 8 多普勒效应多普勒效应取地球为参考系取地球为参考系,由机械能由机械能守恒得守恒得2EE2321)(21vvmRmmGm 取抛体和地球为一系统取抛体和地球为一系统，抛体抛体首先要首先要脱

24、离脱离地球引力的束缚地球引力的束缚, 其相对于地球的速率为其相对于地球的速率为 .v 取太阳为参考系取太阳为参考系 , 抛体抛体相对于太阳的速度相对于太阳的速度为为 ，3 v地球相对于地球相对于太阳的速度太阳的速度E3vvv则则如如 与与 同向同向,有有E vvE3vvv第十五章第十五章 机械波机械波15 15 8 8 多普勒效应多普勒效应要要脱离太阳引力，机械能至少为零脱离太阳引力，机械能至少为零0)(21pkSS23EERmmGmEv21SS3)2(RGmv则则由于由于 与与 同向同向,则抛体与太阳的距离则抛体与太阳的距离 即为地球轨道半径即为地球轨道半径 设设地球绕太阳轨道近似为一圆，地

25、球绕太阳轨道近似为一圆，E3v vSR则则2SSES2EERmmGRmv21SSE)(RmGv第十五章第十五章 机械波机械波15 15 8 8 多普勒效应多普勒效应1 -21EE23s.4km16)2(RmGvv计算得计算得第三宇宙速度第三宇宙速度2EE2321)(21vvmRmmGm取地球为参照系取地球为参照系vhE3vvv21SS)(12(RGmv计算得计算得第十五章第十五章 机械波机械波15 15 8 8 多普勒效应多普勒效应 例例 一条均匀链条，质量为一条均匀链条，质量为m，总长总长 ，m成直成直线状放在桌上，设桌面与链条之间的磨擦系数为线状放在桌上，设桌面与链条之间的磨擦系数为 。现

26、已知链条下垂长度为现已知链条下垂长度为a时，链条开始下滑，试计算链时，链条开始下滑，试计算链条刚巧全部离开桌面时的速率。条刚巧全部离开桌面时的速率。laal,已知：已知：v求：求：解：法解：法1）利用动能定理）利用动能定理v以链条为研究对象以链条为研究对象0212mvAAfp求重力的功：求重力的功：ygdydAp)/(lmNlapgydyAxYygf第十五章第十五章 机械波机械波15 15 8 8 多普勒效应多普勒效应axY求重力的功：求重力的功：ygdydApvfmg)/(lmNlapgydyA)(2122alg)(222allmg求摩擦力的功：求摩擦力的功： 0alffdxAalxgdx0

27、2)(2alg2)(2allmg第十五章第十五章 机械波机械波15 15 8 8 多普勒效应多普勒效应avfmgxY)/(lmN)(222allmgAp2)(2allmgAfF2P102fAAmv代入动能定理：代入动能定理：)(222allmg2)(2allmg221mv)()(222alallgv第十五章第十五章 机械波机械波15 15 8 8 多普勒效应多普勒效应lm/2)(2allmgAf12EEAf法法2）以链条和地球为研）以链条和地球为研究对象利用功能定理究对象利用功能定理21aagE22212mvlmgE由功能原理：由功能原理：以台面为势能零点以台面为势能零点avfmgxY)(al 2)(2allmg)212(2mvlmg)2(aga)()(222alallgv第十五章第十五章 机械波机械波15 15 8 8 多普勒效应多普勒效应法法3）以链条为研究对象利用牛顿