复变函数(第四版余家荣)

1、 第二章第二章 复函数复函数 1.1.解析函数解析函数1. 极限与连续性 单值函数： 对于 G 中的每个 z ，有唯一的 w 与其对应。 多值函数： 至少存在一个 z0 属于 G，与 z0 对应的 w 有 两个或两个以上。xyzuvwoo复变函数极限的定义, 00)( ，使得如果存在一个复数AA内有定义。的空心邻域在设函数|0)( 00zzzzfw |)(| )0(|00，都有的一切对满足Azfzzz时的极限，记作趋于当为函数则称0)(zzzfA)()( )(lim 00zzAzfAzfzz或 当 时， 当 时， 当 时，设 则 当且仅当 证明证明 如果则 使得当时，命题命题所以反之，若则当时

2、，所以, 当时 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续函数 连续函数的复合函数为连续函数内连续。在中每一点连续，则称在区域 )( )( GzfGzf例例上不连续。域上连续，在负实数轴和负实数轴的区在整个复平面除去原点求证： )0(arg)( zzzf解：有在负实数轴上时当, 0zzzzzzzzzarglim,arglim 0Im0Im00在负实数轴上不连续；故zarg. 0Im, 0Re 0zzCz再设与负实数轴不相交。使得角状域00000argarg, 0zzxy，取)sin(|0z时，当则 | 0 zz00argargargzzz连续。在即 )( 0zzf所以，|argarg|0z

3、z0z0,0 0 argz0例设. )(lim 0不存在证明zfz证明设则所以. )(lim 0不存在所以zfz 2. 导数解析函数果极限是邻域内任意一点，如值函数，的某邻域内有定义的单在点设函数zzzzfw00)( , )( ,)()(lim 0000或可导可微在，则称函数并且等于复数存在（为有限的复数）zzfAzzfzzfz )( 0的导数，记为在称为函数zzfA , )( 00zzdzdwzf，或 即，zzfzzfzfz)()(lim)( 0000定义定义时，有使得当，可以找到一个正数对任意的 |0),( 0 0zz,|)()( | 00Azzzfzf. )( 0可微或可导在则称函数zz

4、f内解析函数；是析，我们也说内解在内处处可导，则称在区域如果DzfDzfDzf )( )( )( 在区域内解析. )( )( 00处解析在点称的邻域内处处可导，则在如果zzfzzf在一点解析. )( , )( 上解析在闭区域那么称每一点都属于上内处处解析，而闭区域在区域如果DzfGDGzf在闭区域上解析 如果一个函数在一个点可导，则它在这个点连续.证明设 f(z) 在点 a 可导，则. )( )( 000的一个奇点为称内都有解析点存在，则的每个邻域不解析，但在在如果函数zfzzzzfu注解1 “可微”有时也可以称为“单演”，而“解析”有时也称为“单值解析”、“全纯”、“正则”等；u注解2 解析

5、性与可导性的关系：在一个点的可导性为一个局部概念，而解析性是一个整体概念；u注解3 函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内可导，因此在这个点可导，反之，在一个点的可导不能得到在这个点解析；u注解4 闭区域上的解析函数是指在包含这个区域的一个更大的区域上解析；四则运算法则复合函数求导法则 ，内解析，又域在区内解析，函数在区域设函数GDfGgwDzf)( )( )( )()( zhzfgw则复合函数内解析，并且有：在 D )( )( )()( zfzfgzfgzh，又反函数内解析，且在区域设函数0)( )( zfDzfw)()( 1wwfz存在且为连续，则有：)( 1)( 1)( )(wfzf

6、wwz注：利用这些法则，我们可以计算常数、多项式以及有理函数的导数，其结果和数学分析的结论基本相同。反函数求导法则 . 处处不可微证明例 zf(z)证明 因为 所以zzz0lim,不存在. )( 处处不可微zfCauchy-Riemann 方程问题 ? ),(),()( , ),( ),( 内解析吗在那么上可微在区域和若DyxivyxuzfDyxvyxu设可微，则首先设 h 为实数，得令得再令t 为实数，得令得 由 得 Cauchy-Riemann方程可导，则定义，在点内有在区域设函数定理DiyxzDyxivyxuzf ),(),()( 处存在一阶偏导数；在点和虚部）实部（),( ),( ),

7、( 1yxyxvyxu:- ),( ),( )2(方程）黎曼方程（简称满足柯西和RCyxvyxu 例在处满足上述定理中的条件，但 f (z)在不可微.证明由于所以.不存在. 0 )( 不可导在所以zzf: )( ),(),()( 可导的充要条件是在点定义，那么内有在区域设函数定理DiyxzzfDyxivyxuzf处可微，在点和虚部实部 ),( ),( ),( ) 1 (yxyxvyxu:- ),( ),( )2(黎曼方程满足柯西和yxvyxuxvyuyvxu C-R条件 证明 设 在点 处有导数 其中a 和 b为实数， 当 时，处可微，且在及因此，),( ),( ),(yxyxvyxu程成立，

8、则有方处可微，并有在及反之，设RCyxyxvyxu ),( ),( ),( 其中 满足条件设则所以其中由于所以即 注：条件是内解析的充要区域函数定理Dyxivyxuzf ),(),()( 内处处可微，在区域和虚部实部Dyxvyxu ),( ),( ) 1 (:- ),( ),( )2(黎曼方程满足柯西内在和Dyxvyxuxvyuyvxu 且满足内有定义，在区域设函数推论Dyxivyxuzf ),(),()( 导函数，内存在一阶连续偏在区域和虚部实部 ),( ),( ) 1 (Dyxvyxu:- ),( ),( )2(黎曼方程满足柯西内在和Dyxvyxuxvyuyvxu . )( 内解析在区域则

9、Dzf条件是内解析的充要区域函数定理Dyxivyxuzf ),(),()( 导函数，内存在一阶连续偏在区域和虚部实部 ),( ),( ) 1 (Dyxvyxu:- ),( ),( )2(黎曼方程满足柯西内在和Dyxvyxuxvyuyvxu .| 2的可导性与解析性讨论例z由于所以解由于在整个复平面上连续， RC 但只在原点满足条件，处可导，只在所以 0 )( zzf.而处处不解析. )( 2的可微性与解析性讨论函数例iyxzf解由得21 )( , xzfvvuuyxyx在直线所以在整个复平面上连续，由于上可导，.但处处不解析验证函数例 上处处解析，在复平面C.并求其导数证明由于在平面上连续，条

10、件，且满足 RC 所以上处处解析，在复平面C 2. 2.初等函数初等函数.)( )3(xxxeee处处可微，且是单调增函数，且）（xe 4 实指数函数的性质实指数函数的性质 1. 1.指数函数指数函数指数函数的定义域的扩充指数函数的定义域的扩充满足下列条件：的函数要求复变量 )( zfiyxz;)(, ) 1 (xexfRx上解析；在Czf)( )2();()()(, )3(212121zfzfzzfCzz首先),()()(yiByAiyf),()()(iyfeiyxfzfx设),()()( yBieyAezfxx则由于要求解析，所以利用柯西-黎曼条件，有),()( ),( )(yByAyBy

11、A所以，,sin)(,cos)(yyByyA因此，).sin(cos)(yiyezfx则复函数设 , iyxz定义定义称作复指数函数复指数函数，记作.),0( ) 1 (xzeeyxz则若)2(.)( )3(zzzeee处处解析，且证明令则复指数函数的性质：复指数函数的性质：即的周期函数是周期为指数函数,2 )6(iewz.lim )7(不存在zze证明由于.lim不存在所以zze 注：注： , iyz 设得 EulerEuler公式公式则由 问题：问题：定理是否成立？在复分析中 Rolle .答：不再成立例设在复平面上处处解析，尽管 )( zf且但ooxyuv 指数函数的几何性态指数函数的几

12、何性态若将直线映射成圆周将直线映射成射线若则则若则. 2 的水平带形内是一一的在宽度小于zew xyouvoii. Imz- 区域实轴后剩下部分构成的平面上的去掉原点及负一对一地映射成：平面上的水平带形将wzzewz 三角函数三角函数由于Euler公式，对任何实数 y，我们有：所以有定义规定对于任何复数 , z 三角函数的性质三角函数的性质. , ) 1 (实余弦函数实余弦函数函数等于实正弦函数和函数等于实正弦函数和则复正弦函数和复余弦则复正弦函数和复余弦若若Rxz（2 2）coscosz z是偶函数，是偶函数，sinsinz z是奇函数是奇函数 证明证明（3 3）coscosz z 和和 s

13、insinz z 是以是以 2 2 为周期的周期函数为周期的周期函数: : 证明证明证明证明 )6(和且在整个复平面上解析,证明正弦函数 )7(的零点为余弦函数的零点为由即得证明)8(对于.都不成立和.在复平面上为无界函数证明设则计算例 解定义上述四个函数在各自的定义域内解析，且定义双曲正弦双曲余弦双曲正切初等多值函数初等多值函数1. 1. 幅角函数幅角函数对于其中是幅角主值：, z 如果对每一个非零复数之对应，我们选取其一个幅角与一个此函数称作幅角函数的则得到一个单值函数，单值分支单值分支.个则称其为幅角函数的一如果此单值函数连续，连续单值分支连续单值分支.设 z是则主值幅角函数arg.上的

14、一个连续单值分支D, k 对每一个整数.上的一个连续单值分支也是D.D单值分支上可分出无限多个连续在上沿上沿下沿下沿主值幅角函数的边界是负实轴及原点区域D负实轴分上沿和下沿上沿和下沿，可以连续延拓到负实轴，在上沿取值.在下沿取值出连续单值分支？在整个复平面上能否分幅角函数思考题：思考题：.答：否定义定义设设是一个多值函数是一个多值函数，是是的任的任意一个邻域意一个邻域,是是内任一绕内任一绕一周的简单闭曲线一周的简单闭曲线. 在在上取一点上取一点, 我们从与我们从与对应的多个值中取出一个与其对应，对应的多个值中取出一个与其对应，设为设为, 让点让点从从出发，沿出发，沿绕绕一周一周，回到回到, 对

15、应对应的值从的值从连续变化为连续变化为如果如果则称则称为为的一个的一个支点支点. xyo0z1z)(0zUxyo1zzxyo.的支点是和Argz 0zzzzzArg 0 称作多值函数的简单连续曲线和每一条连接.的一条支割线.值分支能分出无限多个连续单上在区域 Arg zC设例 的一个连续是幅角函数zzArgarg.单值分支假设计算和xyii2321i2123oxo234151zz解解设例 上的一个连续单值在是Dz Arg . 01arg 分支，满足).()(4 1 ff和计算对数函数对数函数定义定义的对数，称为复数的复数满足方程 0 zwzzew)( 。记为zwLn 注注意意：由于对数函数是指

16、数函数的反函数，而指数函数是周期为2的周期函数，所以对数函数必然是多值函数。如果令则即注意：注意：.,)(没有对数所以由于 0 0 1we.)(上的多值函数是定义在0Ln 2 CDz对数函数的基本性质对数函数的基本性质.集合相等上面的等式应该理解为和幅角的加减法一样， 注：注：由于证明所以从而得问题：问题：是否成立？.答：否的幅角主值，则为因为若 arg zz , 2. 1, 0 ),4i(2arg|z|2ln2Lnz, 2, 1, 0 ,2arg2|ln2Ln2kkzkikzizz对数函数的主值对数函数的主值相应于Argz的主值，我们定义Lnz的主值主值为：zzzzwarg ,argi|ln

17、ln, i2lni2argi|lnLnkzkzzzw从而函数对于每一个固定的整数 , ki2argi|lnkzzw，是复平面上的单值函数不连续，在此函数在负实轴及原点其它点处处连续，一个称此函数为对数函数的连续单值分支.支称作时，对应的连续单值分当0k对数函数的主值对数函数的主值支支. .设:D Ln续单值分支上能分解成无穷多个连在区域z，函数对于每一个固定的整数 k , 上的一个单值连续函数是区域 DxyOD.轴上不连续但此函数在原点及负实xyo1z. Ln 0的支点是和zzz的函数的简单连续曲线是对数和每一个连接zzzLn0作为割线，的任一条无界简单曲线和连接一般，在复平面上，取K0分支。

18、无限多个单值连续函数上，对数函数可分解成则在区域KCD支割线支割线.KD1z1z),2i(|lnln,01111kzzDz若取设, zD内的任意一点则对于有).2i(|lnln01kzz作：由此确定的单值分支记i)2i|lnln( ,ln0111kzzzwxy并且都是解析的内的任何单值连续分支在区域对数函数, ln)( Ln zzfKCDz证明证明. Dz设由于，非零复数所以对任何模充分小的h 有 设则注：注：. Ln ln)( (1)内的一个单值解析分支在区域称作KCDzzzf. ln)( )2(上不连续，故也不解析在割线 Kzzf., Ln 0 )3(特别称其为对数支点的无穷阶支点是和zw

19、 连接支点首先确定其支点，然后研究初等多值函数时，）（ 4.成单值解析分支区域内将多值函数分解作支割线，在所得到的计算例 .的值解计算例 .的值解面上分出的在沿上半虚轴割开的平是对数函数设例 Ln ln)( zzzf).1(, 0) 1 (iff求一个单值解析分支，1xy解由于所以可设从而所以设.21的一条连续曲线和是连接点zzC表示. )( 21幅角的增量时移动到点从点沿曲线当zfzzCz则证明设时，移动到从点沿曲线当21zzCz从连续变化为从连续变化为) 3(从连续变化为相应地，即所以. )1Ln( 2分解成单值解析分支后将函数以适当方式割开复平面例z).2( , 0)0( ln)( ff

20、zzf求支，满足条件是其中一个单值解析分设解.1 和可能的支点是1一圈时，逆时针绕沿曲线让 1 Cz1i,2 )1 (Ln 2的值增加从而z由一支变到另一支，即 )Ln(1 2z 1 为故点)1 (Ln)(2zzf.的支点.)1 (Ln)(12的支点也为同样可证zzf11L11L一圈时，和逆时针绕沿曲线让 1 1 Lzi,4 )1 (Ln 2的值增加从而z由一支变到另一支，即 )Ln(1 2z 为故点)1 (Ln)(2zzf.的支点.作右图所示支割线11, 0)0( f由于即,01ln)01 (Ln)0(2if. 0102的幅角取为时，故当zz2C的幅角改变量为时移动到从沿曲线当21 ,20z

21、Cz时，所以2z，的幅角是21z故if3ln)21 (Ln)2(2例分成单值解析分支，面后将对数函数以适当的方式割开复平11Ln zz).( ,2)()( ifiifzf求是其中一个单值分支，设解11.111Ln和可能的支点是zz一圈时，逆时针绕沿曲线让 1 Czi,2 11Ln 的值增加从而zz由一支变到另一支，即1z 1Ln z 1 为故点11Ln)(zzzf.的支点.11Ln)(1的支点也为同样可证zzzf11L一圈时，和逆时针绕沿曲线让 1 1 Lz的值没有改变，从而 11Ln zz.11Ln)( 的支点不是故zzzf.作右图所示支割线11,2)( iif由于.211的幅角取为时，故当

22、zziz即,21ln11Ln)(iiiifii的幅角改变量为时移动到从沿曲线当 11 , zziiCzC，的幅角是时，所以211zziz故iizizif2|)()(|ln)(i2yoDuvoiii3i3对数函数的映射性质对数函数的映射性质.arg:zzD )arg(arg|lnlnzikzizzw 2设映射成水平带形将区域则 Dzwlnx幂函数幂函数. 0 x设则是正整数如果, 1n)(则是正整数如果, m, 2n)(则是无理数如果, 3)(.limnnnrr并且是有理数序列其中,Rx和对于任意0定义定义称如下定义的函数和对于任意, 0zC.为复幂函数则规定是正实数如果,. 00 由定义我们有

23、.,arg,lnZkz01其中.是一个多值函数一般情况下zw ,.,)(值函数是一个则是既约分数如果nzwnnm1.,是一个单值函数则是整数如果特别地zw ,.,是一个无限多值函数则是无理数或虚数如果zw .是支点和是多值函数时当zzzw0,xyoxyoKD内可以分解成在区域则是既约分数如果Dzwnnm,)(1.个单值解析分支n内可以分解成无限多在区域则是无理数或虚数如果Dzw,.个单值解析分支,内的一个单值解析分支是幂函数在区域设Dzw则其中 应当理解为对它求导数的那个分支.xyouvo)(幂函数的映射性质幂函数的映射性质,是正实数设,20.:0zzCD例使得函数的区域作出一个含点,i.值解

24、析分支在此区域上可分解为单解xyo120zC, 0zC上任取一点在处的值为在及取0)2Arg( ) 1(Arg,Arg zzzz).2(arg ) 1arg(,arg000z zz及,00时出发逆时针转一周回到从沿当zzCz,2argargArg00zzz变成了从. 0)2Arg( ) 1(Arg的改变量均为及zz的值从所以w)2arg()1arg(arg0000000221| )2)(1(|zzziezzzw变为)2arg()1arg(2arg0001000221| )2)(1(|zzziezzzw)2arg()1arg(arg000000221| )2)(1(|zzziezzz0w.0是函

25、数的支点所以 z., 2 , 1均为函数的支点类似可证z1zxyo1212xyoxyo123z4zxyo12xyo12:作支割线的方法如下找出函数 . 2的支点，并作支割线。解xyo120zC, 0 zC上任取一点在0)2Arg( ) 1(Arg,Arg zzzz在及取).2(arg ) 1arg(,arg 000z zz及处的值为, 00时出发逆时针转一周回到从沿当zzCz,2arg arg Arg00zzz变成了从. 0 )2Arg( ) 1(Arg的改变量均为及zz）（1的值从所以w)2arg()1arg(arg0000000331| )2)(1(|zzziezzzw变为)2arg()1

26、arg(2arg0001000331| )2)(1(|zzziezzzwizzzeezzzi32000331)2arg()1arg(arg000| )2)(1(|032wei.0是函数的支点所以 z2 1 和类似可证z1zxyo1212xyo3z.都是函数的支点）（2xyo120z, 0 zC上任取一点在0)2Arg( ) 1(Arg,Arg zzzz在及取).2(arg ) 1arg(,arg 000z zz及处的值为, 00时出发逆时针转一周回到从沿当zzCz的值分别从及 )2Arg( ) 1(Arg,Argzzz)2(arg ) 1arg(,arg 000z zz及2)2(arg2 )

27、1arg(,2arg 000z zz及变为的值从所以w)2arg()1arg(arg0000000331| )2)(1(|zzziezzzw变为6)2arg()1arg(arg0001000331| )2)(1(|zzziezzzwizzzeezzzi2)2arg()1arg(arg000000331| )2)(1(|0w.不是函数的支点所以z）（3:作支割线的方法如下xyo12xyo12或者 . 3证明函数在区域上能分解成单.值解析分支. 10 )(分支上沿取正值的单值解析，是在区间设zfw . 10 ),( (2) ).1( ) 1 (的下沿，位于区间其中计算计算zzff 解xyo11C0

28、z处的值为在取0zw时，逆时针方向转一周回到出发沿曲线从当00zCzz变为函数值从0w.0是函数的支点所以 z) 1 (1o2c1z1o0z1. 1 也是函数的支点同理可证z是否为函数的支点呢？变成函数值从时逆时针方向转一圈回到出发，沿从当111,wzCzz取值为在点设函数1zw. 不是函数的支点所以z从而函数在区域上能分解成单.值解析分支假设则取上沿的任一点对于处于区间,) 1 , 0(0z由于. 0 k所以所以1o0z1C)2(. 0)(arg, 0)(00zfzf所以因为o12ic. )1 ()( 3析分支解成三个单值解在适当割开平面后能分证明函数例zzzf).( . )2( )( )(

29、 111iffzfzf求是负实数的一个单值解析分支，是设解. )( , 1 , 0的支点是函数zf设则取因为所以即则方法一所以方法二o12ic, 0)2( 1f由于),) 12( )2(arg 1kf或（所以iio1z反三角函数反三角函数若则.不是支点是反正切函数的支点，ziz余弦函数：类似可研究反正弦和反.12zyyuzxxuzuuxy),(yxuu iyuxu2121yuixu21zyyuzxxuzuiyuxu2121yuixu21zvizuzfyvixviyuixu2121xvyuiyvxu221，且000 xvyuyvxuzf.xvyuyvxu且.13. 0 0 ) 1 (11不解析在

30、不解析，故在处无定义，所以在由于zezezezzz析分支，的邻域内能分出单值解在因为 0 11Ln11Ln )2(11zzzzz. 11Ln 解析在的每一个单值解析分支zzz 所以时当mn 不解析，时在解析，当在 0 0 zmnznnmmzbzbbzazaa1010所以. 不解析时在解析，当时在当mnmn由于 ) 3()4(由于处取值在设 )( 0zzf连续变化为的值由时，一周回到逆时针绕出发，沿曲线从则当 )( 0 000wzfzzczz的支点，是多值函数所以 )( 0 zfz . 1 的支点是多值函数故zzz.14. )( ) 1 (单值解析分支在正实轴上取正实值的是设zzf. 0 z在正

31、实轴上取一点. 0)(arg, 0)( 00zfzf所以可以取由于0ziC在上半虚轴右侧，则若i.4arg21)(argzzfCC所以)(arg| )(|)(ifieifif)(arg)(arg)(arg00|zfizfifiei)(argzfiCe4ie2222i0ziC在上半虚轴左侧，则若i.43arg21)(argzzfCC所以)(arg| )(|)(ifieifif)(arg)(arg)(arg00|zfizfifiei)(argzfiCe43ie2222i. Ln )( )2(单值解析分支在正实轴上取正实值的是设zzg. 0 z在正实轴上取一点所以由于, 0arg|ln)( 000zizzg在上半虚轴右侧，则若