大学物理实验-误差

1、3.1 误差的基本知识误差的基本知识 误差定义误差定义： =| -x| 或或 r = | -x| / 测量值测量值x与真值与真值 之差称为误差。由于真值不可知之差称为误差。由于真值不可知, 故故误差不可知，所以测量都是对真值的近似描述。多用相误差不可知，所以测量都是对真值的近似描述。多用相对真值（理论值、约定真值、算术平均值）代替真值，对真值（理论值、约定真值、算术平均值）代替真值，并从统计的角度估算误差的大小。并从统计的角度估算误差的大小。*误差存在一切测量之中。它的大小反映了人们的认识误差存在一切测量之中。它的大小反映了人们的认识接近客观真实的程度。接近客观真实的程度。 误差来源：误差来源

2、：由由系统误差系统误差和和偶然误差偶然误差两部分组成。两部分组成。 （1）系统误差：）系统误差：来源于测量系统的不完善来源于测量系统的不完善(如如:仪器、仪器、 方法、环境等方法、环境等)，使，使x 偏离偏离 。 特特 点点: 以恒定偏大（小）或周期性形式出现。以恒定偏大（小）或周期性形式出现。 消除方法消除方法: 针对产生的原因加以消除。针对产生的原因加以消除。（2）偶然误差）偶然误差：由大量微小干扰因素产生的，使由大量微小干扰因素产生的，使x 偏偏离离 如让如让n个同学依次测某人身高个同学依次测某人身高X，得，得(X1、X2、 Xn )，但不能保证但不能保证X1 X2 Xn 。再次测量得。

3、再次测量得(X1、X2、 Xn )，除不能保证，除不能保证X1 X2 Xn 外，还不能保证外，还不能保证X1= X1、 X2= X2 Xn =Xn。若若 X1=X1 +， ， Xn= Xn 。因因 X可正，可负，可可正，可负，可为零。为零。这表明：这表明：偶然误差的特点：偶然误差的特点：随机性。随机性。消除方法：消除方法：因因 X X可正，可负，可为零，可正，可负，可为零，多次测量可多次测量可以减小以减小偶然误差偶然误差。 X(长度值长度值)1.01 1.021.03 1.04 1.05 1.061.071.081.091.101.11N( 相同值相同值出 现 的 次出 现 的 次数数)136

4、10151184321对某一长度X测量了64次，其数据如下：概率分布图n=64222)(21)(xexf当n 时，反应x值出现次数的值n(x)变成连续函数，即多次测量服从正态分布：单峰；有界；近似对称和正、负相消的特点。可用正态分布函数来描述。f(x)xi正态分布曲线多次测量服从正态分布：单峰；有界；近似对称和正、负相消的特点。可用正态分布函数来描述。 23其几何意义为分布曲线的宽度。曲线的总面积为1，在范围内包含68.3%的面积； 2范围内包含95.4%的面积； 3范围内包含99.7%的面积；而3范围以外，仅包含了0.3%的面积。大部分测量值分布在由决定的范围内。f(x)Xnx2)(1 不同

5、，表明偶然误差的影响不同。 分布为 1的曲线其测量值离散性大些，分布为 2的曲线测量值相对集中些，表明前者偶然误差的影响要大。 可用来描述偶然误差的大小。 f(x) 2X 在实际中，我们对物理量的测量都是有限次测量，偶然误差对测量值的影响，是通过标准偏差S来估算的。偏差=|平均值 测量值| =| |XSXiX（3）偶然误差的估算）偶然误差的估算： 在有限次测量条件下，我们可用在有限次测量条件下，我们可用S 对偶然误差进行对偶然误差进行估算。由公式知，估算。由公式知， S 从统计的角度反映了平均值从统计的角度反映了平均值 和和某一次测量值某一次测量值X 之间的偏离程度，称为之间的偏离程度，称为测

6、量列的标准测量列的标准偏差偏差，简称，简称测量列的标准差测量列的标准差。统计解释：统计解释：数据列中任一数据列中任一值值X 出现在（出现在（ S ）区间的概率为区间的概率为68.3%。 可证明：当可证明：当n 时，时， S XXiiXXX)1()(2 nXXSiXnx2)(但在测量时，我们更关心、且经常利用测量列平均值X的标准差S 来估算平均值与真实值之间的偶然误差。 X)1()(2 nnXXnSSiXX在在X S 范围内有范围内有68.3% 的可能包含了真值的可能包含了真值; 在在X 2S 范围内有范围内有95%的可能包含了真值的可能包含了真值;在在X 3S 范围内有范围内有99.7%的可能

7、包含了真值的可能包含了真值;在在X 3S 范围外范围外,仅有仅有0.3% 的可能包含了真值。的可能包含了真值。 3S 称为误差的极限，也叫坏值剔除的标准。称为误差的极限，也叫坏值剔除的标准。XXXXX标准差公式推导标准差公式推导: :有一组测量值有一组测量值, , ，各次测量，各次测量值的误差为值的误差为 两边求和取平均得：两边求和取平均得：)(11AxnniiAx inAx1或或代入偏差定义式，得：代入偏差定义式，得：iiinAxx1iin1nixxxx,21, 2 , 1,niAxii 两边平方求和得：两边平方求和得：2iii2i2inn2x)1(12222)(1)(12iiinnn22)

8、(1iin因为在测量中正负误差出现的概率接近相等，故因为在测量中正负误差出现的概率接近相等，故 展开后，交叉项展开后，交叉项 为正为负的数目接近相等，为正为负的数目接近相等，彼此相消，故得：彼此相消，故得：2)(i,312122)(ii221iinnx因而因而nnxii221即即等式右边若取等式右边若取n n 时的极限，即是标准误差时的极限，即是标准误差的定义式。的定义式。等式左边是任意一次测量值的标准偏差，记作等式左边是任意一次测量值的标准偏差，记作x x1)(122nxxnxiix即即 它表示测量次数有限多时，标准误差它表示测量次数有限多时，标准误差的一个估算值。的一个估算值。 物理意义：

9、如果多次测量的偶然误差遵从正态分布，则任物理意义：如果多次测量的偶然误差遵从正态分布，则任意一次测量的误差落在意一次测量的误差落在- -x x到到+ +x x区域之间的可能性（概率）区域之间的可能性（概率）为为68.3%68.3%。或者说，它表示这组数据的误差有。或者说，它表示这组数据的误差有68.3%68.3%的概率出现的概率出现在在- -x x到到+ +x x的区间内。又称测量列的标准偏差。的区间内。又称测量列的标准偏差。 同样可以得到算术平均值的标准偏差同样可以得到算术平均值的标准偏差1)(2n(nxxnixx即即 物理意义：真值处于物理意义：真值处于 区间内的概率为区间内的概率为68.

10、368.3% %。xx （4）系统误差的估算）系统误差的估算(只考虑仪器产生的系统误差只考虑仪器产生的系统误差) 由仪器的极限误差来估算系统误差。由仪器的极限误差来估算系统误差。 极极仪器在使用时所能产生的最大误差范围。可仪器在使用时所能产生的最大误差范围。可 由如下三种途径获取：由如下三种途径获取： 1）由仪器说明书查询）由仪器说明书查询 2）无法查询时可按最小刻度一半考虑）无法查询时可按最小刻度一半考虑 3）指针式电表：）指针式电表： 极极量程量程 等级等级% 系统误差的估算：系统误差的估算：U仪仪= 极极/C C为置信系数为置信系数 对误差均匀分布的仪器，通常等刻度仪器，对误差均匀分布的仪器，通常等刻度仪器，C取取 ,米尺、仪表米尺、仪表均是这种情况均是这种情况;对误差服从正态分布的仪器（如数显表）对误差服从正态分布的仪器（如数显表）C取取3。3等差细分类仪器等差细分类仪器: : U仪卡尺仪卡尺= = 0.02mm; U仪分光计仪分光计=1 指针式电表：指针式电表：U仪电表仪电表= = 极电表极电表 = =（量程量程 等级等级%） U仪米尺仪米尺 U仪千分尺仪千分尺 秒表：秒表：