专题05正余弦定理的应用原卷版

1、专题05正余弦定理的应用1、【2019年高考全国n卷文数】 ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c.已知bsinA+acosB=0,则 B=.2、 【2019年高考浙江卷】在 ABC中，ABC 90 , AB 4 , BC 3，点D在线段AC上，若BDC 45，贝U BD , cos ABD .3、 【2019年高考江苏卷】在 ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c.2(1 )若 a=3c, b=、2 , cosB=，求 c 的值；3sin A cosB(2)若，求sin(B)的值.a 2b24、【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一

2、条直线型公路I，湖上有桥AB (AB是圆O的直径).规划在公路 l上选两个点P、Q,并修建两段直线型道路 PB、QA.规划要求： 线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆.O的半径已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD(C、D为垂足)，测得 AB=10, AC=6, BD=12 (单位：百米).(1) 若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；(2) 在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在 D处？并说明理由；(3) 在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d(单位：百米)求当d最小时，P、Q两点间的距离.5【2019年高考全国 川卷文数】 ABC的内角A、BC的对边分别为a、b、c.已

3、知asinbsin A .2(1 )求 B；(2)若ABC为锐角三角形，且 c=1,求 MBC面积的取值范围.16、【2019年高考北京卷文数】在 AABC中，a=3, b -C 2 , cosB=-2(1 )求b, c的值； (2 )求 sin (B+C)的值.7、【2019年高考天津卷文数】在 ABC中，内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c.已知b c 2a ,3csi nB 4as inC.(1 )求cos B的值；n(2)求sin 2b 的值.6难点突破一、正弦、余弦定理1、在 ABC中，若角A, B, C所对的边分别是 a, b, c,只为厶ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定

4、理内容abc=2Rsin A sin B sin C2 2 2a = b + c 2bccos A；b = c + a 2cacos B； c2= a2 + b2 2abcos C变形(1) a= 2Rsin A, b= 2Fsin B, c= 2Rsin C;(2)sinA= JR, sinB= 2R, sinC= 2R；(3) a : b : c= sin A： sin B: sin C; asinB= bsin A, bsin C= csin B,as inC= csinAb2+ c2 a2cos A=2bc；2 2 . 2 c + a b cos B门;2ac2 . 2 2 c a +

5、 b c cos C2ab111abc2、& AB尸 qabsin C= qbcsin A=，acsin B= -4R3、正余弦定理的作用：正弦定理的作用：边角互化问题，方法有:利用 a= 2RsinA, b= 2Rsin B, c = 2FSinC将边化为角;.222利用cosA= VbF等将余弦化为边;ccosB+ bcosC= a等化角为边.(2).求边长问题，方法有：利用正弦定理求边；利用余弦定理求边.二、在 ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形/4B"aVLAA关系式a bsin AbsinA<a<ba> ba>

6、;b解的个数一解两解一解一解三、实际问题中的常用角1、仰角和俯角：与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图). 方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°B点的方位角为a (如图).方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值四、注意点：1、解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用 到2关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定

7、理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的 三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”题型一、运用正余弦定理解三角形的基本量三角形的基本量主要是指变、角、面积等。解题时注意一下两点：(1)根据所给等式的结构特点利用正、余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键.(2)熟练运用正、余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用例1、(2019通州、海门、启东期末)在厶ABC中，角A , B , C所对的边分别为a, b, c,若acosB =n rt r3bcosA , B = A 百，贝V B=例2、(2019苏州三市、苏北四市

8、二调)在厶 ABC中，已知 C= 120 ° , sinB = 2sinA，且 ABC的面积 为2©，则AB的长为例3、(2019镇江期末)在厶 ABC中，角A, B , C所对的边分别为 a, b, c,且ccosB + bcosC = 3acosB. (1)求cosB的值；若|cA CB|= 2, ABC的面积为2.2,求边b.题型二、运用正余弦定理研究三角形中的范围运用正余弦定理研究三角形中的范围主要涉及两方面的问题：一是：与不等式结合；二是有角的范围，确定三角函数值的范围例4、(2019苏州期初调查)在斜三角形 ABC中，已知+- + tanC= 0，则tanC的最

9、大值等于 tanA tanB例5、(2018苏锡常镇调研(二)在厶ABC中，三个内角A, B , C的对边分别为a , b , c，设 ABC 的面积为S ,且4S , 3( a2 c2 b2).(1) 求 B的大小；(2) 设向量 m (si n2A,3cosA) , n (3, 2cos A)，求 m n 的取值范围.题型三、正余弦定理与向量的综合正余弦定理与向量的综合主要就是借助于向量的知识转化为边角的函数关系式，然后运用正余弦定理解 决问题。例6、(2019无锡期末)在 ABC中，设a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知向量m= (a, sinCsinB), n = (b + c,

10、sinA+ sinB), 且 m II n.(1) 求角C的大小；(2) 若c = 3,求 ABC的周长的取值范围.题型四、运用正余弦定理解决实际问题解三角形应用题的解题技巧：首先，理清题干条件和应用背景，画出示意图；其次，把所求问题归结到一个或几个三角形中，利用正弦定理、余弦定理等有关知识求解；最后，回归实际问题并检验结果例7、( 2019苏北三市期末)如图，某公园内有两条道路AB , AP，现计划在AP上选择一点C,新建n道路BC,并把 ABC所在的区域改造成绿化区域.已知/BAC = , AB = 2 km.(1) 若绿化区域 ABC的面积为1 km2，求道路BC的长度；2 n(2) 若

11、绿化区域 ABC改造成本为10万元/km2,新建道路BC成本为10万元/km.设/ ABC = 0 0< 03当0为何值时，该计划所需总费用最小？、填空题1、（2018苏中三市、苏北四市三调） 在厶ABC中，若sin A:si n B :si nC 4:5:6，则cosC的值为.2、（2017常州期末）在厶 ABC中，角 A, B, C的对边分别为 a, b, c,若a2= 3b2+ 3c2 2 3bcsinA,贝 y c=.3、 （2019苏州三市、苏北四市二调）在厶ABC中，已知 C= 120°, sinB = 2sinA，且 ABC的面积为2羽，贝U AB的长为.4、 （

12、2019南京学情调研） 已知 ABC的面积为315，且AC AB = 2 ,cosA =寸,则BC的长为5、 （2019苏州期初调查）已知 ABC的三边上高的长度分别为2, 3, 4,则厶ABC最大内角的余弦值等于在锐角 ABC中，AB 3 , AC 4 .若 ABC的面积为3 3 ,6、（2017南通、扬州、泰州、淮安三调） 则BC的长是7、（2019苏锡常镇调研（一）在厶ABC中，角A , B, C所对的边分别为a, b, c,已知 5a= 8b, An=2B，贝U si nA =48、（2018苏锡常镇调研）设 ABC的内角A ,B , C的对边分别是a, b, c ,且满足a cos

13、B b cos Atan B9、（2019南京、盐城二模）在厶ABC 中,若 sinC = 2cosA cosB ,则coa + cos2B的最大值为10、 （2017南京、盐城一模）在厶 ABC中，A , B , C所对的边分别为a , b , c ,若a2 + b2+ 2& = 8,贝忆ABC面积的最大值为.二、解答题11、（2019南京、盐城一模）在厶 ABC中，设a , b , c分别为角A, B , C的对边，记 ABC的面积为S,若 2S= AB AC ,(1) 求角A的大小；4(2) 若 c= 7 , cosB = 5,求 a 的值.12、(2019南通、泰州、扬州一调)

14、在厶ABC中，a, b, c分别为角 A , B , C所对边的长，acosB = 2bcosA,cosA =(1)求角B的值;若a= 6,求厶ABC的面积.13、(2019宿迁期末)已知 ABC的面积是S, AB AC = S.3(1)求si nA的值；若BC = 2 ,3，当 ABC的周长取得最大值时，求ABC的面积S.14、(2017 苏州期末)已知函数f(x) ="23sin2x cos2x *.(1) 求函数f(x)的最小值，并写出取得最小值时的自变量x的集合；(2) 设厶ABC的内角A , B, C所对的边分别为 a, b, c,且c=. 3, f(C) = 0,若sinB = 2sinA，求a, b的值15、(2019镇江期末)某房地产商建有三栋楼宇 A , B , C,三楼宇间的距离都为 2千米，拟准备在此三 楼宇围成的区域 ABC外建第四栋楼