(完整word版)高考典型例题：等效重力场

1、第1页，共12页运用等效法巧解带电粒子在匀强电场中的运动、等效法将一个过程或事物变换成另一个规律相同的过程和或事物进行分析和研究就是等效法。中学 物理中常见的等效变换有组合等效法（如几个串、并联电阻器的总电阻）；叠加等效法（如矢量 的合成与分解）；整体等效法（如将平抛运动等效为一个匀速直线运动和一个自由落体运动）； 过程等效法（如将热传递改变物体的内能等效为做功改变物体的内能）概念的全面类比为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相 关概念之间关系。具体对应如下：等效重力场 L 重力场、电场叠加而成的复合场等效重力；重力、电场力的合力等效重力加速度；等效重

2、力与物体质量的比值等效“最低点”；物体自由时能处于稳定平衡状态的位置等效“最高点”；物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置等效重力势能；等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积二、题型归类C1 1 ）单摆类问题（振动的对称性）例 1 1、如图 2-12-1 所示 ，一条长为 L L 的细线上端固定在O点，下端系一个质量为m m 的小球，将它置于一个很大的匀强电场中，电场强度为E,方向水平向右，已知小球在E点时平衡，细线与竖直 线的夹角为?。求：当悬线与竖直线的夹角为多大时，才能使小球由静止释放后，细线到竖直位置 时，小球速度恰好为零？运动特点：小球在受重力、电场力两个恒力与不

3、做功的细线拉力作用下的运动。对应联想：在重力场只受重力与细线拉力作用下的运动的模型：单摆模型。等效分析：对小球在 B B 点时所受恒力力分析（如图 2-22-2 ）,将重力与电场力等效为一个恒力，将其称为等效重力可得：mg =mg，小球就做只受“重力”mgmg与绳拉力运动，可等效为单摆运cos。动。规律应用：如图 2-32-3 所示，根据单摆对称运动规律可得，B B 点为振动的平衡位置，竖直位置对应小球速度为零是最大位移处，另一最大位移在小球释放位置，根据振动对称性即可得出，当悬线 与竖直线的夹角满足2=2，小球从这一位置静止释放后至细线到竖直位置时，小球速度恰好为零。第2页，共12页这里的g

4、=可称为“等效重力加速度”，方向与竖直方向成a角，如下图所示。这样一个cos口针对训练:1 1、如图所示，在水平方向的匀强电场中的0点，用长为I的轻、软绝缘细线悬挂一质量为m的带电小球，当小球位于B点时处于静止状态， 此时细线与竖直方向（即0A方向）成B角现将小球拉至细线与竖 直方向成 2 20角的C点，由静止将小球释放若重力加速度为g，则对于此后小球的受力和运动情况，下列判断中正确的是A.A. 小球所受电场力的大小为mganan0B.B. 小球到 B B 点的速度最大C.C. 小球可能能够到达A点，且到A点时的速度不为零D.D. 小球运动到 A A 点时所受绳的拉力最大答案：ABAB2 2、

5、用长为 I I 的细线悬挂一质量为 m,m,带电荷量为+Q+Q 的小球，将其置于水平方向向右且大小为E E 的匀强电场中，如下图所示。现将小球固定于悬点的正下方且0A =1的位置 A A 处，然后释放小球。已知电场力大于重力，求悬线受到的最大拉力。解析：小球释放后受恒力 mgmg QEQE 和变力 FT的作用，在位置 A A、B B 之间做往 复振动，电势能和重力势能、动能发生相互转化，则在点A A、B B 之间必存在一个平衡位置（切向加速度为零），由运动的对称性可知，这个位置必然在点AB B 中间，设为点 C C,与竖直方向的夹角为0，贝U tan v - QE / mg，等效重力加速度g二

6、.g2(QE / m)2二g /COST设点C为等效重力势能的零势能面，则12 2mg l(1 -COST)mvC,FT-mg =mvC/丨,2FT二mg 2mg(1 _COS对=3mg-2mgcos v=3.仇厂(QE) -2mg3 3、如图所示，一条长为L L 的细线上端固定，下端拴一个质量为平向右，场强为正的匀强电场中，已知当细线离开竖直位置偏角m m 的带电小球，将它置于一方向水a时，小球处于平衡状态。（1 1） 若使细线的偏角由a增大到;：,然后将小球由静止释放。则应为多大,才能使细线到达竖直位置时小球的速度刚好为零？（2 2）若a角很小，那么（1 1）问中带电小球由静止释放在到达竖

7、直位置需多少时间？解析：带电小球在空间同时受到重力和电场力的作用，这两个力都是恒力，故不妨将两个力合成，并称合力为“等效重力”，“等效重力”的大小为：.(mg)2(Eq)2mg令mg cos： cos：=mg第3页，共12页“等效重力场”可代替原来的重力场和静电场。第4页，共12页(1)(1)在等效重力场”中，观察者认为从A A 点由静止开始摆至 B B 点的速度为零。根据重力场中单摆摆动的特点，可知二2：(2(2 )若a角很小，则在等效重力场中，单摆的摆动周期为,L. L cosa丁=2活切厂厂，从 A A B B 的时间为单摆做简谐运动的半竖直向下的初速度？ 解析： 由题意可知小球运动的等

8、效最低点为 且电场力 qEqE 水平向左、 重力 mgmg 竖直向下, 则 qE=mgqE=mg ,E=U/dE=U/d 得 q=mgd/Uq=mgd/U周期，即t =T二2Leos：4 4、在水平方向的匀强电场中，用长为3L L 的轻质绝缘细线悬挂一质量为m m 的带电小球，小球静止在 A A 处，悬线与竖直方向成 动到最低点 D D 时的速度大小。30300角,现将小球拉至 B B 点，使悬线水平，并由静止释放，求小球运解析:A A 处时对球受力分析如右图且 F=mgtg30F=mgtg30= =3 3mg,mg,3等效”场力 G G，乙3mgmg 与 T T 反向，等效”场加速度 g g

9、32、3g g3从 B B 到 C C 小球在等效场力作用下做初速度为零的匀加速直线运动S=S=3L L V VC=L2g s=2=2JgL所以VCX=VCV VCY在绳子拉力作用下，瞬时减小为零1m m2从 C C 到 D D 运用动能定理：WG+W=1m m V VD2-2VCX2V V. (2.3 1)gL5 5、如图 1212,带正电的小球用细绳悬挂在两块无限大的平行板电容器间。小球悬点 球质量为 m m 两板间距为 d d,两板间加电压为 U U。今向正极板方向将摆球拉到水平位置 释放，小球在 B B、A A 间来回振动，0A0A 为竖直线。求: (1 1)(2 2) (3 3)小球

10、所带电量为多少？小球最大速率为多少？若要使小球能做完整的圆周运动，在B B 点至少需使小球具有多大的0,0,摆长为L L,摆 B B然后无初速ABAB 弧的中点合力的方向由 0 0 指向 ABAB 弧中点，即+0 0 点左向下 4545从上一问分析可知小球将在AB弧中点达到最大速度 V V,电场力与重力的合力为2mg，由 B B 静止运动到 ABAB 弧中点的过程，根据动能定理得小球圆周运动的等效最高点为0 0 点右向上 4545距离为 L L 处在此处应具有的最小速度为、2gL，设在 B B 点时具有竖直向下的速度为 VB，由动能定理得1 m 2gL丄mVB2= - . 2mg(L2L)22

11、 26 6、如图所示，长度为I的轻绳上端固定在O点，下端系一质量为m电荷量为+ +q的小球。整个装置处于水平向右，场强大小为3mg的匀强电场中。4q当小球处于图中A位置时，保持静止状态。若剪断细绳，求剪断瞬间小球的加速度大小现把小球置于图中位置B处，使OB&着水平方向，轻绳处于拉直状态。小球从位置B无初速mVm2= =、2mgL(122 2)则 V=V=(2.2 - 2)gL(1)求小球在电场中受到的电场力大小F;(2)(3)度释放。不计小球受到的空气阻力。求小球通过最低点时的速度大小解析:(1)(2)3Eq mg4根据平行四边形定则，小球受到的重力和电场力的的合力F合二(mg)2(E

12、q)2=5mg45a g4小球所受的电场力根据牛顿第二定律所以，小球的加速度(3)根据动能定理有mgl -Eql1 -mv2P-0O严-Q B E :$JF-d/2,sd/2,解得 Umgd/q.Umgd/q.(2(2)若上极板带负电，下极板带正电(如图 b b)分析方法上同，只是此时电场力向上，竖直位移 s=1/2(qU/md-g)s=1/2(qU/md-g) t t2,要使微粒不再射出电场，则sd/2,sd/2,解得 U3mgd/q.U3mgd/q.由于微粒不带电时能射出电场，故当重力大于 电场力时，微粒一定能射出，满足条件。(3 3 )竖直平面内的圆周运动例 1 1、如图 3-13-1

13、所示，绝缘光滑轨道 ABAB 部分为倾角为 3030的斜面，ACAC 部分为竖直平面上半径为R的圆轨道，斜面与圆轨道相切。整个装置处于场强为E E 方向水平向右的匀强电场中。现有一质量为m的带正电，电量为q3mg小球，要使小球能安全通过圆轨道，在0 0 点的初速度应为多3E大？运动特点：小球先在斜面上运动，受重力、电场力、支持力，然后在圆轨道上运动，受到重力、电场力，轨道作用力，且要求能安全通过圆轨道。对应联想：在重力场中，小球先在水平面上运动，重力不作功，后在圆轨道上运动的模型：过山车。等效分析：如图 3-23-2 所示，对小球受电场力和重力，将电场力与重力合成视为等效重力mg，大小mg:f

14、 (qE)2(mg)2=2-3mg，tg生= ，得日=30，于是重效重力方向为垂直斜3mg 3面向下，得到小球在斜面上运动，等效重力不做功，小球运动可类比为重力场中过山车模型。规律应用：分析重力中过山车运动，要过圆轨道存在一个最高点，在最高点满足重力当好提供向心力，只要过最高点点就能安全通过圆轨道。如果将斜面顺时针转过30300，就成了如图 3-33-3 所示的过山车模型，最高点应为等效重力方向上直径对应的点B B,则 B B 点应满足“重力”当好提供向心力即：2，mvBmg二R假设以最小初速度V0运动，小球在斜面上作匀速直线运动，进入圆轨道后只有重力作功，则根据动能定理：-mg2R=mv；-

15、 mvo2 2解得：比JOJR针对训练：1 1、水平向右的匀强电场中，用长为R R 的轻质细线在 O O 点悬挂一质量为 m m 的带电小球，静止在 A A 处,AOAO 的连线与竖直方向夹角为 37370，现给小球施加一个沿圆弧切线方向的初速度V V。，小球便在竖直面内运动，为使小球能在竖直面内完成圆周运动，这个初速度V V。至少应为多大？解析：a)a)(b(b) )第8页，共12页解析：小球在复合场中处于平衡时，受到恒力QEQE mgmg 和变力 FT的作用，设平衡位置在 A A 处，此时悬线与竖直方向的夹角为0，等效重力加速度g=g2(QE / m)2= 12.5ms小球运动的最高点为

16、AOAO 连线的反向延长线与圆弧的交点B B。因为只有重力和电场力做功，故能量守恒。取 A A 处为等效“重力零势能面”，贝U二EKB- EPB，即1212mvAmvB2 2若要维持带电粒子做圆周运动，粒子到达最高点的临界条件为2I静止时对球受力分析如右图03且 F=mgtg37F=mgtg37 = = mg,mg,4等效”场力 GG =.=.(mg)2- F2= = mgmg 与 T T 反向45“等效”场加速度 g g = =5g g与重力场相类比可知：小球能在竖直面内完成圆周运动的临界速度位置在 A0A0 连线 B B 处，且最小的 V VB=_ g R1从 B B 到 A A 运用动能

17、定理：G G 2R=m2R=m V Vo2512mg2Rdmg2Rd m m乂 -42o= =2gR12- m m V VB215厂m m gRgR242.2.如下图所示,在竖直平面内有水平方向的匀强电场，场强 E=E=104NC，有一质量m = 0.04kg,带电荷量Q =3X10C的小球，用一长度I =04m m 的细线拴住且悬于电场中的O O 点，当小球处于平衡位置静止时，问：在平衡位置以多大的初速度释放小球,的圆周运动？ (g =10ms)才能使小球在竖直平面内做完整mg(2I)。第9页，共12页mg mvB/1, v. Ig121则mv0mgI 2mgI,2 2第10页，共12页v。

18、= J5gl =5m sJ。3 3、半径 R=0.8mR=0.8m 的光滑绝缘导轨固定于竖直面内，加上某一方向的匀强电场后，带电小球沿轨道内侧做圆周运动，小球动能最大的位置在A A 点，圆心 0 0 与 A A 点的连线与竖直方向的夹角为二，如图所示在 A A 点时小球对轨道的压力FN=120N,若小球的最大动能比最小动能多32J32J，且小球能够到达轨道上的任意一点（不计空气阻力）试求：（1 1）小球最小动能等于多少？（2 2）若小球在动能最小位置时突然撤去轨道，并保持其他量不变，则小球经0.04s0.04s 时间后，其动能与在 A A 点时的动能相等，小球的质量是多少？解析（1 1）依题意

19、：我们将带电小球受到的重力和电场力的等效为一个力即为重力和电场力的合力），设小球动能最小位置在 B B 处（该点必在 A A 点的对称2VAFN- - F F = = m m -，从 A A 到 B B,由动能定R理得：-F2R=EkB-EkA，可解得：EkA=40J，ERB=8J，F =20N（2 2）撤去轨道后，小球将做类平抛运动（BABA 方向上匀加速、垂直于 OAOA 方向上匀速直线运动的合运动），根据机械能守恒，0.04s0.04s 后，将运动到过 A A 点且垂直于 OAOA 的直线上. .运动过程的加速度为：Fa，根据平抛运动规律可得:m4 4、如图所示，ABCDABCD 为表示

20、竖立放在场强为 E=ldv/mE=ldv/m 的水平匀强电场中的绝缘光滑轨道，其中轨道的 BCDBCD 部分是半径为 R R 的半圆环，轨道的水平部分与半圆环相切A A 为水平轨道的一点，而且AB=R=0.2m.把一质量 m=100gm=100g 带电 q=10q=10_4C C 的 小球，放在水平轨道的 A A 点上面由静止开始被释放后，在轨道的内侧运动。2（g=10m/sg=10m/s ）求：（1 1）它到达 C C 点时的速度是多大？（2 2）它到达 C C 点时对轨道压力是多大？（3 3）小球所能获得的最大动能是多少?解：（1 1）、（2 2）设：小球在 C C 点的速度大小是 V V

21、c,对轨道的压力大小为过程中，应用动能定律列出：12qE.2R-mgRmVC- 0.2V2在 C C 点的圆轨道径向应用牛顿第二定律，有：Nc-qE =m匚R位置），此时，由牛顿第二定律和圆周运动向心力公式可得:2R=】at2，可解得:2Ft2m0.01kg。4R2,2,则对于小球由 ATC C 的B BciA图 14图1第11页，共12页EKM二Epmin= EpD二qER(1sin 45 ) mg.R(1 cos45 ) J .5例 2 2:“最低点”类问题如图 1-11-1 所示，abab 是半径为R的圆的一条直径，该圆处于匀强电场中，匀强电场与圆周在同一平面内。现在该平面内，将一带正电

22、的粒子从a a 点以相同的动能抛出，抛出方向不同时，粒子会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，到达c c 点时粒子的动能最大。已知/cab=30cab=30 ，若不计重力和空气阻力，试求：(1 1)电场方向与 acac 间的夹角B。(2)2)若小球在 a a 点时初速度方向与电场方向垂直，则小球恰好能落在 c c 点，那么初动能为多大？运动特点：小球只受恒定电场力作用下的运动对应联想：重力场中存在的类似的问题，如图1-21-2 所示，在竖直平面内，从圆周的d d 点以相同的动能抛出小球，抛出方向不同时，小球会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，可知到达圆周最低点 e e 时小球的动能最大，

23、且“最低点”e e 的特点：重力方向上过圆心的直径上的点。等效分析：重力场的问题中，存在一个“最低点”对应的速度最大。同理恒定电场中也是对应的“最低点”时速度最大，且“最低点”就是c c 点。规律应用：电场力方向即为如图1-31-3 所示过圆心作一条过 c c 点的直径方向，由于粒子带正电,电场方向应为斜向上，可得0=30=30。 解析：(1 1)如图 1 1 所示，在竖直平面内，从圆周的 小球会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中,点是过圆心的竖直直径的一点，根据这一事实，在“最低点”时速度最大，所以过圆心作一条过 所以0=30=30。解得：Vc= J4qER _2gR =2m/s.Nc=5

24、qE -2mg =3N .(3 3)vmg=qE=1Nmg=qE=1N二合场的方向垂直于 B B C C 点的连线 BCBC合场势能最低的点在 BCBC 的中点 D D 如图：.小球的最大能动 EKM：/ 4, r-. r图 1-11-1图 1-31-3a a 点以相同的动能抛出小球，抛出方向不同时，到达圆周最低点 d d 时小球的动能最大，最低 我们将电场等效为重力场，那么小球也应该是 c c 点的直径，这就是电场的方向，如图 2 2 所示,b b30E E . c cb b第12页，共12页(2(2)小球做类似平抛运动，由平抛运动知识可知运动特点：如图 4-24-2 所示，对小球在 ABA

25、B 斜面上受力分析，电场力和重力的等效为重力mg1,大小为mgi二qEi-mg =2mg，方向竖直向上。对小球在 BCBC 斜面上受力分析，电场力和重力 等效为重力mg2，大小为mg2mg，方向垂直斜面向上，如果将整个模型转180180 就成了如图4-34-3 所示的问题。X =v0t,y =!at222EQt,而2mx = Rcosr,y = x / tan =,解得Ek二丄mv2二!REQ。2 8针对训练：如图所示，BD是竖直平面内圆上的一条竖直直径，AC是该圆的另一条直径,该圆处于匀强电场中，场强方向平行于圆周平面。将带等量负电荷的相同小球从 点以相同的动能射出，射出方向不同时，小球会经

26、过圆周上不同的点，在这些所有 的点中，到达A点时小球的动量总是最小。忽略空气阻力，则下列说法中正确的是( )A.A. 可以断定电场方向由0点指向圆弧AEB的某一点B.B. 到达B点时小球的动能和电势能之和总是最小C.C. 到达 C C 点时小球的电势能和重力势能之和总是最小D.对到达圆上的所有小球中，机械能最小的小球应落在圆弧CFD上的某一点答案：BCBC(4)(4)斜面类问题如图 4-14-1 所示，一根对称的“A”型玻璃管 ABCABC 置于竖直平面内，管与水平面夹角为0= 30300, ,侧管长为L=2m,2m,管对称线 OOOO 的左侧的空间存在竖直向上的匀强电场E，管对称线 OOOO

27、 的右侧的空间存在与竖直方向成a =30，大小为E2的匀强电场。质量为m带正电电量为q的小球在管内 从 A A 点由静止开始运动，且与管壁的摩擦系数为卩，如果小球在 B B 端与管作用没有机械能量损失，已知=0.5,qE1=3mg,qE2=-. 3mg，求小球从 A A 点开始至第一次速度为零的位置在何处？图 4-24-2图 4-14-1B BqEqEim m2mgmgimg.mg.C Cq qE2E E2! O:O第13页，共12页对应联想：物体先在斜面上运动，然后在水平面上运动的斜面运动模型。 规律应用：分析 BCBC 斜面上的受力特点，将 BCBC 斜面顺时针转 30300，就成了如图

28、4-44-4 所示最熟悉的斜面模型。 在斜面 ABAB 上的加速度为：a1= g1sin 30- ug1cos30= 5（2一. 3）m/sm/s2第一次到 B B 点的速度为：v = . 2&丄一 =$20（2 _、3）m/sm/s在斜面 BCBC 上的加速度为：a a2= =，g g2=5=5 m/sm/s2 22速度为零时，到 B B 点的距离为：s二二=4_2.3m m2a2针对训练:如图所示，在离坡顶为1的山坡上的C点树直固定一根直杆，杆高也是L。杆上端 A A 到坡底 B B之间有一光滑细绳，一个带电量为q q、质量为 m m 的物体穿心于绳上，整个系统处在水平向右的匀强电

29、场中，已知细线与竖直方向的夹角- 30。若物体从 A A 点由静止开始沿绳无摩擦的滑下，设细绳始终没有发生形变，求物体在细绳上滑行的时间。（9=105/，sin37 = 0.60，cos37 = 0.80)解析因细绳始终没有发生形变，故知在垂直绳的方向上没有压力 存在，即带电小球受到的重力和电场力的合力方向沿绳的方向。建立“等效重力场”如图所示，“等效重力场”的“等效重力加速度”方向：与竖直方向的夹角30，大小:gcos30带电小球沿绳做初速度为零，加速度为g的匀加速运动SAB= 2 L cos30B由两式解得第14页，共12页第15页，共12页这个小球在运动中的最小速度为 _解析：如下图，小

30、球受电场力 EQEQ 重力 mgmg 作用，等效重力加速度g g2 (QE / m)2，与水平方向夹角为COST-EQ(mg)2(EQ)2将初速度v0分解为沿等效重力加速度gg方向的 v vy和垂直 gg方向的 v vx(5)(5) 斜抛类问题例 1 1、如图 5-15-1 所示，匀强电场水平向右，E=10、.3N/CN/C, 带正电的油滴的质量m = 2.0 10kgkg，电量q =2.010 C。在 A A 点时速度大小为v =20m/sm/s，方向为竖直向上，贝 U U 油滴在何时速度最小且求出最小速度?运动特点：小球具有一定初速度，在运动只受重力、电场力两个恒力的曲线运动。对应联想：在重力场中物体只受重力，具有初速度的运动，对应有平抛、斜抛。等效分析：如图 5-25-2 所示仍把重力与电场力等效成一个重力，mg = (qE)2(mg)2=2mg,等效重力加速度g = 2g，等效重力与初速度不垂直，于是可等效为重力场中斜抛运动。规律应用：研究斜抛运动方法是