(完整)选修4-4坐标系与参数方程知识点总结及同步练习(附答案)-副本,推荐文档

1、OO学而通 黄冈教育教师：赵映雄 学生：坐标系与参数方程知识点1 1 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点 P(x,y)P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点 ，在变换：xgx(0)的作用下, ,点y gy (0)P(x,y)P(x,y)对应到点P (x , y ), ,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换2.2.极坐标系的概念(1)(1)极坐标系叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位( (通常取弧度) )及其正方向( (通常取逆时针方 向),),这样就建立了一个极坐标系注：极坐标系以角这一平面图形为几何背景 ，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的

2、点与坐标能建立一一对应的关系 ，而极坐标系则不可但极 坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系(2)(2)极坐标 设 M M 是平面内一点，极点0与点 M M 的距离|0M|0M|叫做点 M M 的极径，记为；以极轴Ox为始边, , 射线0M为终边的角xOM叫做点 M M 的极角，记为有序数对(，)叫做点 M M 的极坐标，记作M(,). .一般地，不作特殊说明时，我们认为0,可取任意实数特别地，当点M在极点时，它的极坐标为(0,(0,)()( R).R).和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示如果规定0,02, ,那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(，)表示；同时, ,极坐标(，

3、)表示的点也是唯一确定的3.3.极坐标和直角坐标的互化(1)(1)互化背景：把直角坐标系的原点作为极点,x,x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示：O, ,叫做极点,自极点0引一条射线Ox, ,如图所示OO学而通 黄冈教育教师：赵映雄 学生：r互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x, y), ,极坐标是(,)( (0),),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表点M直角坐标(x, y)极坐标(，)互化公式x cos ysin2 2 2x ytan(x 0)x在一般情况下，由tan确定角时，可根据点M所在的象限最小正角4.4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极

4、坐标方程圆心在极点，半径为r的圆r(02 )圆心为(r,0),半径为r的圆2r cos ()22圆心为(r,一),半2径为r的圆OX2r sin (0)过极点，倾斜角为的直线(1)(1)(R)或(R)(2)(2)(0)和(0)OO学而通 黄冈教育教师：赵映雄 学生：过点(a，0)，与极轴垂直的直线O卜人 0 亍丘cosa(一)22过点(a，)，与极2轴平行的直线1().sina(0)注：由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(,),(,2),(,),(,),都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可例如对

5、于极坐标方程，点M(,)可以表示为4 45(,2 )或(一，一2 )或(-,)等多种形式,其中,只有(一，一)的极坐标满足方4 44 4444 4程二、参数方程1.1. 参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x, y都是某个变数t的函数xf (t)，并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M (x，y)都在这条曲线上y g(t)那么方程就叫做这条曲线的参数方程 ，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数，相对 于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. .2.2. 参数方程和普通方程的互化(1)(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式

6、，一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y g（t）, ,那么Xf（t）就是曲线的参数方程，在参数方程与OO学而通 黄冈教育教师：赵映雄 学生：y g（t）普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3.3.圆的参数如图所示，设圆0的半径为r，点M从初始位置Mo出发，按逆时针方向在圆0上作匀速x r cos圆周运动，设M （

7、x, y），贝U（为参数）。y r sin这就是圆心在原点0，半径为r的圆的参数方程，其中的几何意义是0M0转过的角度。圆心为（a,b），半径为r的圆的普通方程是（x a）2（y b）2r2,x a r cos它的参数方程为：（为参数）。y b r sin4 4椭圆的参数方程2 2以坐标原点0为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为务 每1（a b 0）,其参数方a bx a cos程为（为参数），其中参数称为离心角；焦点在y轴上的椭圆的标准方程是y bsi ny2x2x b cos7x 1（a b 0）,其参数方程为（为参数）,其中参数仍为离心角，通aby a si n常规定参数的范围为 00

8、 , 2 2 ）。注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当0时，相应地也有20，在其他象限内类似。25 5.双曲线的参数方程2 2以坐标原点0为中心，焦点在x轴上的双曲线的标准议程为令芯1（a 0,b 0）,其参OO学而通 黄冈教育教师：赵映雄 学生：a bOO学而通 黄冈教育教师：赵映雄 学生：离心角。6 6.抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开向右的抛物线y22px(p 0)的参数方程为y加为参数7 7.直线的参数方程经过点M0(

9、x0, y0),倾斜角为)的直线I的普通方程是y y0tan (x x0),而过x x0t COS厶r,M(x, y。)，倾斜角为的直线I的参数方程为(t 为参数)。y ytsin注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点M0(x0, y0),倾斜角为的直线I的参数方程x X0t COS为八 八。(t 为参数)，其中t表示直线I上以定点M。为起点，任一点M(x,y)为y ytsi nujuLur终点的有向线段M0M的数量，当点M在M。上方时，t0 0；当点M在M。下方时，t v0 0;当点M与M。重合时，t=0=0。我们也可以把参数t理解为以M。为原点，直线I向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐

10、标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。选修4-4数学选修 4-4 坐标系与参数方程基础训练数学选修 4-4 坐标系与参数方程综合训练 B 组数学选修 4-4 坐标系与参数方程提咼训练 C 组x a sec数方程为(为参数)，其中0,2y bta n)且 22焦点在y轴上的双曲线的标准方程是y2a22x.21(ab0,b0),其参数方程为x b cot(为参数，其中y a csc(0,2 )e且.以上参数都是双曲线上任意一点的OO学而通 黄冈教育教师：赵映雄 学生：oooo 学而通黄冈教育教师：赵映雄 学生:数学选修 4-4坐标系与参数方程基础训练 A组、选择题1 1.x若直线的参数方程

11、为2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.2t（t为参数），则直线的斜率为（3t22A A . B B .3333C C . D D .22将参数方程ysin2cossin为参数）上的点是（2 sin2sin化极坐标方程2cosA A .x2y20 或 y点M的直角坐标是（C C.(2, 3)D D .(1八3)为参数）化为普通方程为（2C C.y x 2(20为直角坐标方程为（B B .x 1C C .x2y21,3），则点M的极坐标为（x 3)y x 2(0 y 1)A A .(2,-)B B .(2, -)C C .(2,含)D D .(2,2 k?(kZ)极坐标方程cos2sin2表示

12、的曲线为（A A .一条射线和一个圆B B.两条直线C C .一条直线和一个圆D D .一个圆二、填空题x 3 4t1 1 .直线（t为参数）的斜率为y 4 5tOO学而通 黄冈教育教师：赵映雄 学生：ttx e e2 2 参数方程t t(t 为参数)的普通方程为_。y 2(e e )x1 3t3 3已知直线h：(t为参数)与直线l2：2x 4y 5相交于点B，又点A(1,2)，y 2 4t则AB _。4 4.直线1t2（t为参数）被圆x2t24截得的弦长为_5 5.直线XCOSy si n0的极坐标方程为三、解答题22y 2y上的动点,1 1 .已知点P(x, y)是圆x(1)求2x y的取

13、值范围;(2)若x y a 0恒成立，求实数a的取值范围。x 1 tl2 2.求直线|1:- (t 为参数)和直线l2:x y 23 0的交点P的坐标，及点Py 5 3t与Q(1, 5)的距离。2 23 3.在椭圆話話1上找一点，使这一点到直线x 2y 120的距离的最小值。数学选修 4-4坐标系与参数方程OO学而通 黄冈教育教师：赵映雄 学生：oo学而通黄冈教育教师：赵映雄 学生:4A A98B B.401C C .巫D.D. 综合训练 B组、选择题1 1. .直线 l l 的参数方程为之间的距离是（t （t为参数）,1上的点P对应的参数是 1 1，则点P与P（a,b）2右D D -22x2

14、 2.参数方程为1f（t为参数）表示的曲线是（A A .一条直线B B .两条直线C C .一条射线D D 两条射线x 1 h3 3.直线2- （t为参数）和圆x2山t216交于A, B两点,则AB的中点坐标为（(3, 3)B B.(.3,3)C C.( .3,3)4 4.圆5cos513 si n的圆心坐标是（B B.( 5,3)C C.(5,3)(5,5 5.与参数方程为-（t 为参数）等价的普通方程为（tx22y_42B B.x2七1(0 x 1)x22y_1(0 y2)D D.x2x 1,0y 2)6 6.直线t（t为参数）被圆（x 3）2（y 1）225所截得的弦长为（OO学而通 黄

15、冈教育教师：赵映雄 学生：二、填空题1.1.曲线的参数方程是2 2.x直线y3 at1 4t3 3.点P(x,y)4 4.5 5.1t（t为参数,t 0）,则它的普通方程为t2（t为参数）过定点是椭圆2x23y212上的一个动点，则x 2y的最大值为曲线的极坐标方程为tan，则曲线的直角坐标方程为cos设y tx（t 为参数）则圆x4y 0的参数方程为三、解答题1 1.x参数方程ycos (sinsin (sincoscos为参数）表示什么曲线?2 2.3 3.2点P在椭圆1上，169求点P到直线3x 4y 24的最大距离和最小距离。已知直线I经过点P（1,1）, ,倾斜角（1 1 ）写出直线

16、 I I 的参数方程。（2）设l与圆x2y24相交与两点代B,求点P到代B两点的距离之积。OO学而通 黄冈教育教师：赵映雄 学生：提高训练、选择题1 1.把方程xy2 2.3 3.4 4.曲线直线若点数学选修 4-4坐标系与参数方程.C组1化为以t参数的参数方程是（1t21tsint1sintcost1costtant1tant5t笄（t为参数）与坐标轴的交点是2111(0,-)(-,0)B B.(0,-)(-,0)52524)、(8,0)D D.(0,|)、(8,0)(0,2tt（t为参数）被圆x29截得的弦长为（12,559帀5P（3,m）在以点F为焦点的抛物线4t2（t为参数）上,4t则

17、PF等于（5 5.极坐标方程cos20表示的曲线为（A A .极点C C .一条直线B B .极轴D D .两条相交直线6 6.在极坐标系中与圆4sin相切的一条直线的方程为（A A.cos 2B B.sin 24sin(3)D D .4si n(oooo 学而通黄冈教育教师：赵映雄 学生:2x二、填空题1 1 已知曲线X2pt（t为参数，p为正常数）上的两点M,N对应的参数分别为ti和 t2,y 2 pt且 t1t20,那么MN =_。2 2.直线X 22t（t 为参数）上与点A（ 2,3）的距离等于2的点的坐标是 _。y 3 72t三、解答题et)cos化为普通方程:et)sin圆的参数方

18、程为x 3si ny 4sin极坐标方程分别为cosx tcosx直线与圆y tsi ny3 3.4 4.5 5.4cos（为参数），则此圆的半径为3cos与sin的两个圆的圆心距为4 2cos2sin相切，则（1 1） 为参数，t为常数；（2 2）t为参数,为常数;2 2.过点P（-102,0）作倾斜角为2 2的直线与曲线X 12y1交于点M ,N,PMPN的值及相应的的值。1 1分别在下列两种情况下，把参数方程1 /t1(e2(eOO学而通 黄冈教育教师：赵映雄 学生：1 1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.数学选修、选择题新课程高中数学训练题组参考答案4-4坐标系与参数方程基础训

19、练A组3t2t转化为普通方程:转化为普通方程:(cos(2,2kcos1)0,当x-时,4x 2，但是x 2,3,0,10,或cos牛）,（k Z）都是极坐标34sin cos,cos0,或4sinsin4y二、填空题541 1.5t4t2 2.2y163 3.5 5.2三、解答题1 1.解:(1 1)1,(x2)y2y22et(x直线为2et代入4t22(22)2cos2x4y5%,)，而A（1,2），得ABcos设圆的参数方程为0,圆心到直线的距离d1-2，弦长的一半为、2 2，得弦长为14sin sin 0,cos(cos1 sin2x y 2cos sin 1. 5 sin() 1oo

20、oo 学而通黄冈教育教师：赵映雄 学生:2x、5 1 2x y 5 1(2 2)x y a cossin1 a 0a(cos sin)12 sin() 14a,2 1x 12 2解：将t_代入x y20得t 2.3，y5-.3t得P(1 2厲1)，而Q(1, 5)，得PQ 7(/3)2624J3新课程高中数学训练题组参考答案、选择题x中点为3*34 4.圆心为弓5.3、丁)5 5.1 x2,x1,而 t0,01,得 0 y 23 3解：设椭圆的参数方程为x 4cosy 2、3 sin4气os54rl2cos(3) 3当cos(I)1时,dmin-5，此时所求点为（2, 3）。5数学选修 4-4

21、坐标系与参数方程综合训练B组1 1.距离为,2t12.2 t12 2.y 2表示一条平行于x轴的直线，而x2,或 x所以表示两条射线3 3.(11t)2（疵于t）216，得t2&80,t14cosW3sin123sin学而通 黄冈教育教师： 赵映雄 学生:211xx6 6. C Cy2,2t 2，把直线1、2t辽2x 21代入t(X3)2(y1)225得(5 t)2(2 t)225,t27t 20tlt2,(t1t2) 4t1t2.41，弦长为2 t1t2二、填空题1 1.x(xy莎2)(x1)-,而y 1t2，x2 2.(3, 1)3 3.椭圆为4 4.5 5.2ytan4t1 t2

22、4t2x2三、解答题1 1.解：显然tan2cos)2(x 1)(y 1)a4x 120对于任何a都成立,x3,且 y-1，设P G. 6 cos ,2sin6 cos4sin.22 sin(22cossin2cos2cossin2 2cossin(tx)24tx0，当0时,0;当x0时,4t1 t2sintx,4t21 t24t1 t24t21 t212cos,cos12_y2cossi n222cos2ta n1 tan22cos学而通 黄冈教育教师： 赵映雄 学生:211x学而通 黄冈教育教师： 赵映雄 学生:1 2丫| x2TT1x2y 1x2，x(1 y_12当cos( )1时，dm

23、ax三(2、2)；4512(2 .2)。5址22，则点P到代B两点的距离之积为新课程高中数学训练题组参考答案、选择题22 2. B B 当x 0时，t一，而y 5亠1十当y 0时，t，而x21一，得与y轴的交点为512 5t，即x ,得与x轴的交点为22yx2 2.解：设P(4cos,3sin），则12cos12sin2412 2cos(4）241 1. D Dxy 1，x取非零实数，而A A，B B，C C 中的x的范围有各自的限制12y2x24)x当COS()1时，dmin43 3.解：（1 1）直线的参数方程为tcos6，即21t2x（2 2）把直线2代入1t2x2得(1中)2(1（门1)t数学选修 4-4坐标系与参数方程提高训练 C1 2t，即y1（0,；）；51OOOO 学而通 黄冈教育教师：赵映雄 学生:2x2t3 3.、 .5t25，把直线x1y52t代入t4 4.5 5.6 6.x29得(12t)2(2t)29,5t28tt1t2抛物线为cos24