(完整word版)2016高考数学复习名师知识点总结：数列求和及数列的综合应用..(良心出品必属精品)

1、1数列求和及数列的综合应用【高考考情解读】 高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题：1.以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公式，考查学生用等差、等比数列知 识分析问题和探究创新的能力，属中档题 2 通过分组、错位相减等转化为等差 或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用， 属中档题.1.数列求和的方法技巧(1) 分组转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形， 可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并.(2) 错位相减法这是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数 列an

2、bn的前 n 项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列.(3) 倒序相加法这是在推导等差数列前 n 项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来 排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得， 则这样的数列可用倒序相加法求和.(4) 裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或 n 项的差，通过相加过程中的相互抵消，1最后只剩下有限项的和.这种方法，适用于求通项为 anan+1的数列的前n项和,常见的拆项公式:_ 1 1 1其中an若为等差数列，则1ar)an+12 FT+1 二 n n+ 1；1111FT+I:二 k(n-n+ k)；- 1 1112 匸一 1 加

3、+ 12、2n 1 2n+ 1 八11祜=k(E 一曲-2.数列应用题的模型(1) 等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型， 增加(或减少)的量就是公差.(2) 等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是 等比模型，这个固定的数就是公比.(3) 混合模型：在一个问题中同时涉及等差数列和等比数列的模型.(4) 生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)， 同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我们称该模型为生长模型如 分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等.(5) 递推模型：如果容易找到该数列任意一项 an与它的前一项 an1(

4、或前 n 项)间 的递推关系式，我们可以用递推数列的知识来解决问题考点一分组转化求和法例 1 等比数列an中，a1, a2, a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数, 且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列an的通项公式；若数列bn满足：bn= an+ ( 1 门 n an，求数列bn的前 n 项和 S. 解(1)当 a1二 3 时，不合题意；当 a1= 2 时，当且仅当 a2= 6， a3= 18 时，符合题意；3当 a 一 10 时，不合题意.因此 ai= 2, 02= 6, a3= 18.所以公比 q=

5、 3.故 an=2 了1(nN*).(2)因为 bn= an+ ( 1)nln an=2” + ( 1)nln(2 3n1)=2 3n1+(1)nln 2+(n1)ln 3=2 3n1+ ( 1)n(ln 2 In 3) + ( 1)nnln 3 ,所以 S = 2(1 + 3+-+ 3n1) + 1+ 1 1 + ( 1)n (ln 2 In 3) + 1+ 2 3+-+ ( 1)nnln 3.13nn当 n 为偶数时，S=2X+In 31 3 2nn =3n+2ln 3 1;13n；n1、当 n 为奇数时，S= 2- (ln 2 ln 3) + - n |ln 31 3l2丿=3n3 ln

6、 2 1.厂 n3n+尹 3 1,n 为偶数，综上所述，S=rn 一 13noln 3 ln 2 1， n 为奇数.i2頁世谢 在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思想把一般的数列 求和转化为等差数列或等比数列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解在利用分组求和法求和 时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n 进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个公式.凶(2013 安徽)设数列an满足 01= 2, 02+ 04= 8,且对任意 nN*，、.、卄，(函数 f(x) = (an 0n+1+ an+2)x + an+1C0S x an+

7、2sin x 满足 f 2 != 0.(1)求数列an的通项公式；4(1、若 bn= 2 an+ 2aJ，求数列bn的前 n 项和 S.解 (1)由题设可得 f (x) = (an an+1+ an+2) an+isin x an+2cos x ,， n 又 f z I 0,贝Uan+ an+2 2an+1= 0,i2丿即 2an+1 an+ an+2,因此数列an为等差数列，设等差数列an的公差为 d,ai 2由已知条件 i2ai+ 4d 8ai 2,解得”0 1,an a + (n 1)d n+ 1.r O1(2)bn 2 n+ 1 +2n+1 2(n + 1) + 才，1S=b1+ b2

8、+ bn (n + 3)n + 1 21 n + 3n+ 1 qn.考点二错位相减求和法例 2 (2013 山东)设等差数列an的前 n 项和为 S，且 S 4S?, a2n 2an+ 1.(1) 求数列an的通项公式；bbb1若数列bn满足二+一 1刁，nN*，求bn的前 n 项和 Tn.a1a2an2解(1)设等差数列an的首项为 a1，公差为 d，S 4S，由 c 得 a1 1, d 2，a2n 2an+ 1所以 an2n1(nN*).rb1b2bn1* _(2) 由已知一+ + 17, nN，a1a2an2xtz7 b1b2bn11当 n2时，+ 1n1,a1a2an12bn1一得：匚

9、一了，5an26bi1又当 n= 1 时，b= 1 也符合上式，ai2bn1*2n 1*所以一=n(nN)，所以 bn=n(nN).an22所以 Tn= b1+ b + b3+ + bn135 2n-1=2+ 2?+ 2彳+2“.两式相减得:31 2n-1丙应错位相减法求数列的前 n 项和是一类重要方法.在应用这种方法时, 一定要抓住数列的特征，即数列的项可以看作是由一个等差数列和一个等比 数列对应项相乘所得数列的求和问题.因因 3434 寸设数列an满足 a=2，an+1-an=321.(1) 求数列an的通项公式；令 bn= nan，求数列bn的前 n 项和 S.解(1)由已知，得当 nl

10、时，an+1= (an+1 an) + (an an-1) + (a2 a + a1=3(22n-1+ 22n-3+ + 2) + 2 = 22(n+1)-1.而 a1= 2,符合上式，所以数列an的通项公式为 an= 22n-1.2n一1(2) 由 bn= nan= n 2知1132= 22+ 2彳+2n-32n- 11 1 _2Tn=2+堺+艺+歹厂2 222n-1211 I 2n+1=2-2n+1所以 Tn= 3-2n+ 32n7S= 1 2+ 2 23+ 3 25+ n 22n-1.从而 22Sn= 1 23+ 2 25+ 3 27+ n 22n+1.8一得(1 2)Sn= 2 + 2

11、3+ 25+ 2 心-n1,1即S=9(3n 1)22n+1+ 2.9考点三裂项相消求和法例 3 (2013 广东)设各项均为正数的数列an的前 n 项和为 S,满足 4S =an+14n 1, nN且 a2, a5, a构成等比数列.(1) 证明：a2= 4a1+ 5;(2) 求数列an的通项公式； 证明：对一切正整数 n,有丄 + 丄 +丄匚冷aa2a2a3anan+1222(1) 证明当 n= 1 时，4a1= a2 5, a2=4a1+ 5,又 an0,a2= 4a1+ 5.解当 n2时，4S1= a1 2 4(n 1) 1,2 24S 4S-1= an+1 an 4,即 an+1=

12、an+ 4an+ 4= (an+ 2),又 an0,. .a n+1= an+ 2,当 n2时，an是公差为 2 的等差数列.又 a2, a5, a14成等比数列.a5= a2a14,即(a2+ 6)? = a2 (a2+ 24)，解得 a2= 3. 由(1)知 a1= 1.又 a2 a1= 3 1 = 2,数列an是首项 a1= 1,公差 d = 2 的等差数列.- a n= 2n 1.1 1 1证明 +a1a2a2a3anan+11 1 1 11X3+3X5+5X7+飞-1+lL 亠 12n+1 24an=91 工 p Ii p Cj_ 评23 丿+A5 丿+bn 12n+ 1.丿 j10

13、二陛也,数列求和的方法:(1) 一般地，数列求和应从通项入手，若无通项， 就先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备适用某种 特殊方法的形式，从而选择合适的方法求和得解.已知数列前 n 项和 Sn或者前 n 项和 S 与通项公式 an的关系式，求通项通常利用 an=s n=Sn Sn1n2.已知数列递推式求通项，主要掌握“先猜后证法”“化归法” “累加(乘)法”等._ Y田 gf(2013 西安模拟)已知(X，v2，、/3(x 0)成等差数列又数列an(an0)中，ai= 3,此数列的前 n 项和为 S,对于所有大于 1 的正整 数 n都有 f(Sn-i).(1)求数列an的第

14、 n+ 1 项；1 1若 bn是，的等比中项，且 Tn为bn的前 n 项和，求 Tn. an+1an所以 2X打 = x+ 3,整理，得 f(x) = ( x+ 3)2. 因为 S= f(Sn-1)(n 2)，所以 S = (S1+ 3)2， 所以 S=-./S1+寸 3，即 SnS1= 3，所以 S是以 3 为公差的等差数列.因为 a1= 3，所以 S= a = 3，所以 Sn= S1+ (n 一 1) 3= 3+/3n 3 =l3n.所以 Sn=3(nN).以 an+1= Sn+1 Sn= 3(n + 1) 3n = 6n + 3.11因为 bn 是与的等比中项，an+1an1 1所以(b

15、n)2= an+1, an，(1)因为 X，2，3(x 0)成11所以 bn=1an+11 1an=R+】心？1121 ：1) n=-1 =-18i 2n+ 1 丿 18n+ 9考点四数列的实际应用例 4 (2012 湖南)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金 2 000 万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了 50% 预计以后每年资金年增长率与第一年的相同公司要求企业从第一年开始， 每年年底上缴资金 d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产. 设第 n 年年 底企业上缴资金后的剩余资金为 an万元.(1)用 d 表示 a1, a2,并写出 an+1与 an的关系

16、式；(2) 若公司希望经过 m(m 3)年使企业的剩余资金为 4 000 万元，试确定企业 每年上缴资金 d 的值(用 m 表示).貞翳胡(1)由第 n 年和第(n + 1)年的资金变化情况得出 an与 an+1的递推关系；由an+1与 an之间的关系，可求通项公式，问题便可求解.解 (1)由题意得 a1= 2 000(1 + 50% d=3 000 d， a2= a1(1 + 50%)- d = a-d= 4 500 an(1 + 50%) d = an d.1 ( 11 y=x -,18 入 gn 1 2n+ 1Tn= b1+ b2+ + bn1 118_13+f 11 ” gn 12n+

17、 1 丄52d.an+1=由(1)得 an= 2&1 d = c2器-2-d)-3 3 2 2 d d3 3 2 2 3 3 2 2- - - -113囱-1(3 000 3d) + 2d.14由题意，知 am= 4 000 ,1(3 000 3d) + 2d= 4 000 ,的剩余资金为 4 000 万元.而昨諾用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型一一数列 模型，弄清所构造的数列的首项是什么， 项数是多少， 然后转化为解数列问 题求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问 题，所求结论对应的 是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然 后进行合

18、理推算，得出实际问题的结果.因某产品在不做广告宣传且每千克获利 a 元的前提下，可卖出 b 千 克.若做广告宣传，广告费为 n(nN)千元时比广告费为(n 1)千元时多卖 出2n千克.(1) 当广告费分别为 1 千元和 2 千元时，用 b 表示销售量 S;(2) 试写出销售量 S 与 n 的函数关系式；(3) 当 a= 50， b = 200 时，要使厂家获利最大，销售量 S 和广告费 n 分别应为多 少？解(1)当广告费为 1 千元时，销售量 S= b+ 2= 2.K p. 7V当广告费为 2 千元时，销售量 S= b+ 2+ ?2= 4 .(2)设 Sn(n N)表示广告费为 n 千元时的

19、销售量，b由题意得 S SQ=2，bS S = ?2，解得 d =1 (too :r- 2m 13mqm故该企业每年上缴资金d 的值为1 (too :r23mqm时，经过 m(n 3)年企业3 3 2 2n3 3 2 200013 3 2 215K K KK以上 n 个等式相加得，S S = 2 + 2?+ 2彳+ 2i，1n+1加b b bbb12即 S= S= b + 2 + 22+ 2彳+ 2“=i12二 b(2 2n). 来源:www.shulihua. net当 a= 50, b = 200 时，设获利为 Tn,则有1Tn=Sa 1 000n=10 000 x(2 -n)1 000n

20、=1 000 x(2020n),10bn=20厂n1010520 ?n+1 n 1 20+ n= 1 , 当 nW2时，bn+1bn0；当 n3时，bn+1bn0.所以当 n 3 时，bn取得最大值，即 Tn取得最大值，此时 S 375,即该厂家获利最大时，销售量和广告费分别为375 千克和 3 千元.1.数列综合问题一般先求数列的通项公式， 这是做好该类题的关键.若是等差数列或等比数列，则直接运用公式求解，否则常用下列方法求解：递推关系形如 an+1 an f(n)，常用累加法求通项.递推关系形如an+1 f(n)，常用累乘法求通项. an递推关系形如“an+1 pan+ q(p、q 是常数

21、，且 pH1,0) ”的数列求通项，此类通项问题，常用待定系数法.可设 an+1+入p(an+入)，经过比较,S Si-1=b2n.则 bn+1 bn(1)a316求得入，贝擞列an+入是一个等比数列.(5)递推关系形如“an+1= pan+ qn(q , p 为常数，且 pH1, qM0) ”的数列求 通项，此类型可以将关系式两边同除以 qn转化为类型(4)，或同除以 pn+1转 为用迭加法求解.2.数列求和中应用转化与化归思想的常见类型：来源:www.shulihua. net(1) 错位相减法求和时将问题转化为等比数 列的求和问题求解.(2) 并项求和时，将问题转化为等差数列求和.(3)

22、 分组求和时，将问题转化为能用公式法或错位相减法或裂项相消法或并 项法求和的几个数列的和求解.提醒：运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的n+ 1 项中的前 n 项,哪些项构成等比数列，以及两边需除以代数式时注意要讨论代数式是否为零.3.数列应用题主要考查应用所学知识分析和解析问题的能力. 其中，建立 数列模型是解决这类问题的核心，在试题中主要有：一是，构造等差数列或 等比数列模型，然后用相应的通项公式与求和公式求解； 二是，通过归纳得 到结论，再用数列知识求解.171._ 在一个数列中， 如果？nN*，都有 aa+倫+2= k(k 为常数)，那么称这 个数列为等积数列，称 k 为这个数列

23、的公积.已知数列an是等积数列，且 ai= 1, a2= 2,公积为 8,贝Uai+ 比 +a3+ ai2=_.答案 28解析 依题意得数列an是周期为 3 的数列，且 ai= 1, a2= 2, a3= 4, 因此 ai+ a2+ a3+ + ai2=4(ai+ a2+ a3)= 4X(1 + 2+ 4) = 28.2.秋末冬初，流感盛行，特别是甲型 H1N1 流感.某医院近 30 天每天入院 治疗甲流的人数依次构成数列an,已知 a1= 1, a2= 2,且 an+2 an= 1 + (1)n(nN*)，则该医院 30 天入院治疗甲流的人数共有 _ .答案 255解析 由于 an+2 an

24、= 1 + ( 1),所以 a1= a3= a29= 1,a2, a4，a30构成公差为 2 的等差数列，所以 a1+比+ a29+ a3015X14=15+15X2+2X2=255.3.已知公差大于零的等差数列an的前 n 项和 S，且满足：a2a4= 65, a1+ a5=18.(1)若 1i21 , a1, ai, a21是某等比数列的连续三项，求 i 的值；(2)设=一吓+| .,是否存在一个最小的常数 m 使得 b1+丘+十 bn0,a2a4,a2= 5, a4= 13.F + d= 5,a1+ 3d= 13,18a1=1,d=4.-an=4n3.19由于 1i21 , ai, a,

25、 a“是某等比数列的连续三项,2 aia21=ai,即 1 81= (4i -3)2,解得 i = 3.口 n i(2)由(1)知，S= n 1+ 门 4= 2n2- n.所以 bn=仃 1-1=2 2n-1-2n+14+ b + + bny+1-1+.+丄-亠L亠213 3 5 2n-1 2n+1 厂 2n+ 1n = 1112n+1 = 2-2211+12,所以存在 m= 2 使 b1+ b2+-+ bn0, S60, a90,S16=16沙a16=8(a8+ a9)0,a1S5a/0而SS2a2 a8,亠 Si S所以在 a1, a2,S中最大的是S.a15a85.数列an满足 ai=

26、1,且对任意的 mnN*都有 a.nt1碼=亦+乩+呷则J等于4 024A -2 0134018B2 0122 010C-2 0112 009D.2 010解析令 m= 1彳得 an+1 an+ n + 1，即卩 an+1 ann + 1,于是a2 012222 1-1 4 0242 013 尸 2 013*n2为奇数,6.已知函数 f(n) =2且 an= f(n) + f(n + 1)，则 ai+ a?+I n为偶数，a3+ a2 012等于( )A. 2 012B. 2 011C. 2 012D. 2 011答案 C解析当 n 为奇数时，2 2an= f(n) + f(n + 1) =

27、n (n + 1) = (2n + 1)；当 n 为偶数时，2 2an f(n) + f(n + 1) n + (n + 1) 2n+ 1.所以 a1+ a2+ a3+ + a2 0122( 1 + 2 3 + 4+2 011 + 2 012) 2 012.二、填空题7.数列an中，已知对任意 nN, a1+ a2+ a3+ an 3 1,j则 a1+ a2+2 2a3+ an_.答案 2(9n 1)解析a1+a2+a3+an31，n 1 - a 1+ a2+ a3+ an1 3 1(n2).则 n2时，两式相减得，an 2 31.当 n 1 时，a1 3 1 2，适合上式, an2*31(n

28、N).-a4 9则数列a2是首项为 4,公比为 9 的等比数列.2 2 2 2 - a 1+ a2+ a3+ an ；（9n-1）.nnnn*8.设数列an的前 n 项和为 S，且 an为复数 isin ? + cos ? (nN)19n1923的虚部，贝US2 013 =_.答案 1来源：数理化网nn*解析由已知得：an= sin2 (nN),ai= 1, a2= 0, a3= 1, a4= 0,故an是以 4 为周期的周期数列，-S 2 013S5o3X4+1S1ai1.9.已知数列an满足 3an+1+ an= 4(n 1)且 a 9,其前 n 项之和为 S,则1满足不等式|Sn n 6

29、|v 右的最小整数 n 是_ .来125源:www.shulihua. net答案 7解析 由递推式变形得 3(an+1 1) = (an1),1an 1是公比为一3的等比数列.则 an 1 = 8 ( 3),1即 an= 8 ( 3)1+ 1.81 于是 Sn=1 + n = 6 6 ( ；)n+ n3满足条件的最小 n = 7.131+n3二 61 (因此 |Sn n 6|二 |6X( 3门=6X(1)n250,2410. 气象学院用 3.2 万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第n + 49*天起连续使用，第 n 天的维修保养费为10(nN)元，使用它直至报废25最合算(所谓报

30、废最合算是指使用这台仪器的平均耗资最少)，一共使用了_.答案 8001解析 由题意得，每天的维修保养费是以 5 为首项，“为公差的等差数列.设43.2X10+一共使用了 n 天，则使用 n 天的平均耗资为3 2X104n当且仅当一=20 时取得最小值，此时 n= 800.三、解答题11. 已知等差数列an满足：a5= 9， a2+ a6= 14.(1)求数列an的通项公式；若 bn= an+ qan(q0)，求数列bn的前 n 项和 S.解设数列an的公差为 d，则由 a5= 9，a2+ a6= 14,所以数列an的通项公式为 an= 2n- 1.由 an 2n 1 得 bn 2n 1 + q .当 q0 且 ql时，S 1 + 3+ 5+-+ (2n 1) + (q1+ q3+ q5+ q2n1)当 q 1 时，bn 2n，则Sn(n + 1).rll D + l ，q 1归 + 4d= 9得 2. + 6d=14a1= 1，解得*2n2+2n1q1 q23.2X104n 99 二 n+20+2023.2X104n 99 n20+20,261 1 112. 将函数 f(x) sin 4X sin 4(x + 2n) sin ?(x