（新高考）2021届高考二轮精品专题三 排列组合、二项式定理 教师版

1、排列组合多以实际生活为背景对其应用进行考查，在解答题中常与概率统计等知识综合命题，主要考查逻辑推理的核心素养二项式定理主要考查运算求解能力，比如二项展开式某项的系数，注意转化与化归的思想1排列、组合的定义排列的定义从n个不同元素中取出m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列组合的定义合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合2排列数、组合数的定义、公式、性质排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(mn，m，nN*)个元素的所有不同排列的个数从n个不同元素中取出m(mn，m，nN*)个元素的所有不同组合的个数公式性质Ann=n!，0!=1Cn0

2、=1，Cnm=Cnn-m，Cnm+Cnm-1=Cn+1m正确理解组合数的性质（1）Cnm=Cnn-m：从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n-m个元素的方法数（2）Cnm+Cnm-1=Cn+1m：从n+1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：不含特殊元素A有Cnm种方法；含特殊元素A有Cnm-1种方法3二项式定理（1）二项式定理：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cnkan-kbk+Cnnbn(nN*) ；（2）通项公式：Tk+1=Cnkan-kbk，它表示第k+1项；（3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为Cn0，Cn1，Cnn4二项式系数的性质（1）项数为n+1

3、各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n（2）二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指Cn0，Cn1，Cnn，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关如(a+bx)n的二项展开式中，第k+1项的二项式系数是Cnk，而该项的系数是Cnkan-kbk当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的 一、选择题1由0，1，2，5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是（

4、）A24B12C10D6【答案】C【解析】当个位数是0时，有A33=6个；当个位数是5时，有C21A22=4个，所以能被5整除的个数是10，故选C【点评】本题主要考查了分类计数原理，以及排列的思想，属于基础题2琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（ ）ABCD【答案】B【解析】从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为从除琵琶、二胡、编钟三

5、种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有种情况，再从排好的五种乐器形成的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有种情况，故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为，所以所求的概率，故选B【点评】排列组合常用的方法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法3今年3月10日湖北武汉某方舱医院“关门大吉”，某省驰援湖北“抗疫”的9名身高各不相同的医护人员站成一排合影留念，庆祝圆满完成“抗疫”任务，若恰好从中间往两边看都依次变低，则身高排第4的医护人员和最高的医护人员相邻的概率为（ ）ABC

6、D【答案】A【解析】将身高从低到高的9个人依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，则9号必须排在正中间，从其余8个人中任选4人排在9号的左边，剩下的4个人排在9号的右边，有C84=70种，当排名第四的6号排在最高的9号的左边时，从1，2，3，4，5中任选3个排在6号的左边，其余四个排在9号的右边，有种，同理：当排名第四的6号排在最高的9号的右边时，也有10种，所以身高排名第四的6号与最高的9号相邻的排法有10+10=20种，所以身高排第4的医护人员和最高的医护人员相邻的概率为，故选A【点评】本题考查了排列中的定序问题，考查了古典概型的概率公式，属于中档题4已知某年级有4个班级，在一次数学

7、学科考试中安排4个班级的班主任监考，则4个班主任都不监考本班的概率是（ ）ABCD【答案】D【解析】由题意，4个班级的班主任监考4个班级，共有A44=24种不同的监考方式，其中有1人在本班监考的有C41×2=8种；有2人在班监考的有种；有4人在班监考的有1种，在不符合条件的监考安排方法有8+6+1=15种，所以4个班主任都不监考，共有24-15=9种，则4个班主任都不监考的概率为，故选D【点评】本题主要考查了组合数公式的应用，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中若直接法比较复杂或没有思路时，可采用间接法求解，着重考查推理与运算能力5为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色

8、环保理念深入人心某市将垃圾分为四类可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（ ）ABCD【答案】D【解析】某市将垃圾分为四类：可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾宣传小组各有2位同学现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，基本事件总数n=C95=126，每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个

9、数为，则每个宣传小组至少选派1人的概率为，故选D【点评】本题考查古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，采用“先分类，再分组”的思想即可6从20名男同学和30名女同学中选4人去参加一个会议，规定男女同学至少各有1人参加，下面是不同的选法种数的三个算式：C201C301C482；C504-C204-C304；C201C303+C202C302+C203C301则其中正确算式的个数是（ ）A0B1C2D3【答案】C【解析】错，计算有重复；对，去杂法，即减去全男生以及全女生的情况；对，分类，即1男3女，2男2女，3男1女，故选C【点评】求解排列、组合问题常用的解题方法：（1）元素相

10、邻的排列问题“捆绑法”；（2）元素相间的排列问题“插空法”；（3）元素有顺序限制的排列问题“除序法”；（4）带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题间接法7的展开式中x3的系数为（ ）ABCD【答案】D【解析】展开式的通项公式为，令，则r=1，所以的展开式中x3的系数为，故选D【点评】本题考查了二项式定理展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题8展开式中x-2y3项的系数为160，则a=（ ）A2B4CD-22【答案】C【解析】二项式1+ay6展开式的通项为Tr+1=C6r×16-rayr=C6raryr，令r=3可得二项式1+ay6展开式中的系数为C63a3，展

11、开式中x-2y3的系数为-1C63a3=160，可得a3=-8，解得a=-2，故选C【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，属于基础题二、填空题9将5个不同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有_种不同的放法【答案】535【解析】四个盒子放球的个数如下：1号盒子：0，1；2号盒子：0，1，2；3号盒子：0，1，2，3；4号盒子：0，1，2，3，4，结合由5个不同的小球全部放入盒子中，不同组合下放法：3C51种；：4C52种；：6C53C21种；：6C52C32种；：3C52C31C21种，5个相同的小球放入四个盒子方式共有535种，故答

12、案为535【点评】本题考查了组合数，对问题分类、分组，应用组合数的计算10某会议有来自6个学校的代表参加，每个学校有3名代表会议要选出来自3个不同学校的3人构成主席团，不同的选取方法数为_【答案】540【解析】第一步：从6个学校中选出3个学校，方法数有C63=20；第二步，从选出的3个学校中各选取1个代表，方法数有；根据分步计数原理可知，总的方法数有20×27=540种，故答案为540【点评】本小题主要考查分步计数原理，考查组合数的计算，属于基础题11一个质点从原点出发，每秒末必须向右，或向左，或向上，或向下跳一个单位长度，则此质点在第10秒末到达点P2，6的跳法共有_种【答案】12

13、00【解析】分两类情况讨论：第一类，向上跳6次，向右跳3次，向左跳1次，有C106C43=840种；第二类，向上跳7次，向下跳1次，向右跳2次，有C107C31=360种，根据分类计数原理得，共有840+360=1200种方法，故答案为1200【点评】本题主要考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题12如图所示，机器人明明从A地移到B地，每次只移动一个单位长度，则明明从A移到B最近的走法共有_种【答案】80【解析】分步计算，第一步AC最近走法有2种；第二步CD最近走法有C63=20种；第三步最近走法有2种，故由AB最近走法有种，故答案为80【点评】本题主要考查乘法原理的应用，意在

14、考查学生对该知识的理解掌握水平13数列an中，a1=1，an+1=2an+1（nN*），则_【答案】454【解析】因为an+1+1=2an+2=2an+1，所以an+1以2为首项，2为公比的等比数列，所以an+1=2×2n-1=2n，所以an=2n-1，则C50a1+C51a2+C52a3+C53a4+C54a5+C55a6=C50×2+C51×22+C52×23+C53×24+C54×25+C55×26-C50+C51+C52+C53+C54+C55，又C50×2+C51×22+C52×23+

15、C53×24+C54×25+C55×26=2×C50×20+C51×21+C52×22+C53×23+C54×24+C55×25=2×1+25=486，C50+C51+C52+C53+C54+C55=25=32，所以原式=486-32=454，故答案为454【点评】本题的关键是求出数列通项公式后，结合二项式定理对所求式子进行合理变形，减少计算量14多项式展开式的常数项为_（用数字作答）【答案】6【解析】，通项公式，当4-2r=0时，r=2，T2+1=C42=6，故答案为6【点评】本题考

16、查多项式求常数项，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型一、选择题1新冠来袭，湖北告急！有一支援鄂医疗小队由3名医生和6名护士组成，他们全部要分配到三家医院每家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有（ ）种A252B540C792D684【答案】D【解析】护士6名，可分为2，2，2或者1，2，3两类先安排医生，再安排护士安排医生，方法数有A33=6种，安排护士，由于“护士甲和护士乙必须分到同一家医院”，故方法数有种其中C41A33表示护士甲和护士乙共2人一组的方法数，C41C31A33表示护士甲和护士乙与另一人共3人一组的方法数所以总的方法

17、数有6×114=684种，故选D【点评】本小题主要考查分类加法、分步乘法计数原理，属于中档题2市教体局选派5名专家到A，B，C三所学校视导高三工作，要求每个学校至少派一名专家，则不同的派法种数是（ ）A90B150C240D300【答案】B【解析】由题可知：每个学校去的人数可以是：1，1，3或2，2，1，所以不同的派法种数是（种），故选B【点评】本题考查排列组合的应用，尤其对平均分组的情况，要除以平均分组的组数的全排列，属基础题二、填空题3某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，则共有_种不同的安排方法（用数字作答）【答案】150【解析】将五人分成三组，则三

18、组人数分别为3、1、1或2、2、1，则分组方法种数为，再将三组分配给三个房间，由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法种数为，故答案为150【点评】本题考查人员的安排问题，考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题一、选择题1在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)18+(1-x)19的展开式中，含x3的项的系数是（ ）A4840B-4840C3871D-3871【答案】B【解析】由题意得含x3的项的系数为-C53-C63-C183-C193=-C54+C53+C63+C183+C193-C54=-C64+C63+C183+C193-C54=-C204-C54=-4840，故选B【点评

19、】本题考查二项式定理，利用组合数的性质简化运算是解题的关键2从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（ ）AC84-12BC84-8CC84-6DC84-4【答案】A【解析】从正方体的8个顶点中选取4个顶点有C84种，正方体表面四点共面不能构成四面体有6种，正方体的六个对角面四点共面不能构成四面体有6种，所以可得到的四面体的个数为C84-6-6=C84-12种，故选A【点评】本题主要采用间接法，如果直接讨论，需要讨论的情况比较多，所以正难则反，这是解题的关键3式子的展开式中，x3y3的系数为（ ）A3B5C15D20【答案】B【解析】，xx+y5的展开式通项为Tk=xC5kx

20、5-kyk=C5kx6-kyk，的展开式通项为Sr=y2xC5rx5-ryr=C5rx4-ryr+2，由，可得，因此，式子的展开式中，x3y3的系数为C53-C51=5，故选B【点评】求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质对于三项式问题，一般是通过合并其中的两项或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解42x2-x-15的展开式中的系数为（ ）A400B120C80D0【答案】D【解析】2x2-x-15=(x-1)5(2x+1)5，二项展开式(x-1)5的通项为C5rx5-r(-1)r，二项展开式的通项式为C5k(2x)5-k，故

21、的通项为(-1)r25-kC5rC5kx10-(k+r)，所以k+r=8，所以展开式中的系数为(-1)522C55C53+(-1)42C54C54+(-1)3C53C55=0，故选D【点评】本题考查二项式中制定项系数的求解，涉及通项公式的使用，属基础题二、填空题5一排11个座位，现安排2人就座，规定中间的3个座位不能坐，且2人不相邻，则不同排法的种数是_【答案】44【解析】根据两人在三个空位同侧与异侧进行分类，当两人在三个空位左侧时：共3×A22=6（种），同理，当两人在三个空位右侧时：共3×A22=6（种），当两人在三个空位异侧时：共4×4×A22=3

22、2（种），即共6+6+32=44（种），故答案为44【点评】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)6高三年级毕业成人礼活动中，要求A，B，C三个班级各出三人，组成3×3小方阵，则来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率为_【答案】【解析】根据题意，A，B，C三个班级各出三人，组成3×3小方阵，有种安排方法，若来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列，则第一行队伍的排法有A33=6种，第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；第一行的每个位置的人员安排方法有种，第二行的每个位置的人员安排有2×2×2=8种，第三行的每个位置的人员安排有1×1×1=1种，则自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率，故答案为【点评】本题主要考查古典概型