高思导引四年级第二十一讲排列组合教师版

1、第 21 讲 排列组合内容概述了解排列、组合公式的来由及含义，掌握具体的计算方法；辨析排列、组合之间酌区别与联 系，并能够合理应用典型问题兴趣篇1. 计算：(1)A42(2) A104(3)3 ´A33+A63【答案】(1)12 (2)5040 (3)138【解析】根据排列公式 A n =m ´( m -1) ´L( m -n +1)m计算(1)A42=4 ´3 =12(2) A410=10 ´9 ´8 ´7 =5040(3)3 ´A33+A36=1382费叔叔、小悦、冬冬和阿奇四个人站成一排照相，一共有多少种不同

2、的排列方法?【答案】24【解析】这种排列是有序的 A 4 =4 ´3 ´2 ´1 =2443体育课上，老师从 10 名男生中挑出 4 人站成一排，共有多少种不同的排列方法?【答案】5040【解析】先从 10 人中选出 4 人，再让 4 人全排列 C 4 ´A 4 =24 ´210 =504010 44费叔叔、小悦、冬冬、阿奇四个人一块乘公共汽车去公园，上车后发现有 8 个空座位， 他们一共有多少种不同的坐法?【答案】1680【解析】先让 4 人选座位，再让 4 人全排列 C 4 ´A 4 =70 ´24 =16808 45用

3、 1 至 7 这 7 个数字一共能组成多少个没有重复数字的三位数?如果把这些三位数从小到 大排起来，312 是其中第几个?【答案】（1）210；（2）第 61 人【 解析】第 一个位置有 7 中选择第 二个位置 有 6 个选择 第三个位 置 有 5 个选 择 (1) A1 ´A1 ´A1 =210(2)百位是1开头的有 30个，百位是 2开头的有 30个，312 是第61个7 6 56.计算：(1)C52(2) C74(2) A63´C63【答案】（1）10 （2）35 （3）2400 【解析】根据组合公式1 / 857C n =mAn 5 ´4 7 &

4、#180;6 ´5 ´4 m (1)C 2 = =10(2)C 4 =An 2 ´1 4 ´3 ´2 ´1 n=35(3) A3 ´C 3 =120 ´20 =24006 67图 21-1 中有六个点，任意三个点都不在一条直线上请问： (1)以这些点为端点，一共可以连出多少条线段?(2)以这些点为顶点，一共可以连出多少个三角形?【答案】（1）15 条；（2）20 个角形个【解析】（1）不在同一直线两点确定一条直线 C 3 =206C 26=15（2)不在同一直线三点确定一个三8费叔叔把 10 张不同的游戏卡片分给冬

5、冬和阿奇，并且决定给冬冬 8 张，给阿奇 2 张一 共有多少种不同的分法?【答案】45【解析】先选出 8 张冬冬，剩下 2 张就是阿奇的C 8 =20109小悦要从八门课程中选学三门，一共有多少种选法?如果数学课与钢琴课时间冲突，不能 同时学，她一共有多少种选法?【答案】50【解析】用排除法八门中任选三门，有 56 种，数学课与钢琴课同时上有 6 种，减去不符合题意的 6 种，C 38-C16=56 -6 =50种10象棋兴趣小组一共有 9 名同学，请问：(1)如果从中选 3 名同学在第二天的早上、中午、晚上分别做值日，共有多少种选法? (2)如果从中选 3 名同学去参加一次全市比赛，共有多少

6、种选法?【答案】（1）504 种 ； （2）84 种【解析】（1）先选出 3 人再全排列，A39=9 ´8´7 =504种（2）这种选人是无序的C 39=84种拓展篇1. 计算：(1)A52(2) A73(3) A64-A62【答案】（1）20；（2）210；（3）330【解析】(1)A 2 =5 ´4 =20 (2) A 3 =7 ´6 ´5 =210 (3) A 4 -A 2 =6 ´5 ´4 ´3 -6 ´5 =330 5 7 6 62 / 82如图 21-2 所示，有 5 面不同颜色的小旗，任取

7、3 面排成一行表示一种信号，用这 5 面小 旗一共可以表示出多少种不同的信号?【答案】60【解析】先从 5 面旗选出 3 面旗，再让三面旗全排列A 3 =605种33 名同学一块去图书馆借科幻小说，发现书架上只剩下 9 本，且各不相同如果每人只 借 1 本，那么共有多少种不同的借法?【答案】504【解析】先从 9 本书选出 3 本书，再让 3 本书全排列A93=504种4用 1、2、3、4、5 这五个数码可以组成多少个没有重复数字的四位数?将这些四位数从小 到大排列起来，4125 是第几个?【答案】（1）120；（2）74 个【解析】（1）第一个位置有 5 种选法，第二个位置有 4 种选法，第

8、三个位置有三种选法，第四个位置有 2 种选法，A54=120（2）千位以 1 开头的有A 1 ´A1 ´A1 4 3 2=24个千位以 2开头的有A 1 ´A1 ´A1 =24 4 3 2个千位以 3 开头的有A 1 ´A1 ´A1 =24 4 3 2个千位以 4 开头第一个4123，第二个就是 4125 所以24 ´3 +2 =74个5. 计算：(1)C93(2) C103-2 ´C102(3)C54，C 15(4) C107，C103【答案】（1）84；（2）30；（3）5,5；（4）120,120【解析】(1

9、)C93=84；(2) C103-2 ´C102=120 -90 =30；(3)C 4 =55，C 1 =55(4) C107=120 ， C103=1206如图 21-3 所示，从端点 O 出发的射线共有 7 条，图中一共有多少个锐角? 【答案】213 / 8【解析】夹角最大两条直线间夹角小于 90 度，所以这两条直线间的任两条直线组成的角小于 90 度，C72=7 ´6 ¸2 =21个7如图 21-4 所示，在一个圆周上有 8 个点，以这些点为顶点或端点，一共可以画出多少条 线段? 多少个三角形?多少个四边形?【答案】（1）28 条；（2）56 个；（3）70

10、 个；【解析】（1）不在同一直线两点确定 1 条直线，C82=28条（2）不在同一直线三点确定 1个三角形，C83=56个（3）不在同一直线四点确定 1 个四边形，C 4 =708个4 / 889 支球队进行足球比赛，实行单循环制，即每两队之间只比赛一场每场比赛后胜方得 3 分，平局双方各得 1 分，负方不得分请问：一共要举行多少场比赛?9 支队伍的得分总和 最多为多少?【答案】（1）36 场（2）108 分【解析】（1）9 个队中每 2 个队比一场C92=36场（2）分总和最多，那就是全赢36 ´3 =108分9学校十佳歌手大赛的 10 名获奖选手中，每 3 人都要照一张合影问：需

11、要拍多少张照片? 【答案】120 张【解析】没有排序问题所以C83=12010在新学期的班会上，大家要从 11 名候选人中选出班干部请问：(1) 选出三人组成班委会，那一共有多少种选法?(2) 从剩下的候选人中，选出三人分别担任语文、数学、英语的课代表，一共有多少种 选法?【答案】（1）165 种（2）336 种【解析】（1）从 11 人中选出 3 人 C 3 ´A3 =56 ´6 =336种8 3C 311=165种（2）从剩下 3 人选出 3 人全排列11费叔叔带着小悦、冬冬、阿奇去参加一次聚会，主持人要求每个人从 12 个颜色不同的 彩球中领取一个请问：(1) 小悦是

12、第一个取球的人，她一共选出了 4 个球，准备回头分给大家，那一共有多少 种选法?(2) 小悦回到座位后，把这 4 个球分给大家，一共有多少种分法?(3) 最后他们四人手中拿到的球一共有多少种可能?【答案】（1）495 种；（2）24 种；（3）11880 种【解析】（1）从 12 个球中选出 4 个没有排序问题C124=495种（2）把四个不同色的球分给 4 个人A44=24种（3）先从 12 个不同色的球选出 4 个不同色的球，再分给 4 个人，C124´A 44=495 ´24 =11880种12周末大扫除，老师要从第一组的 10 名男生和 10 名女生中选出 5 人留

13、下打扫卫生请问：5 / 8(1) 如果老师随意选择，一共有多少种选择方法?(2) 如果老师决定选出 2 名男生和 3 名女生，一共有多少种选择方法? 【答案】（1）15504 种；（2）5400 种【解析】（1）从 20 人中选出 5 人C203=15504种（2)从 10 名男生选 2 人，从 10 名女生选 3 人C102´C 310=5400种超越篇1有一些四位数，它们由 4 个互不相同且不为零的数字组成，并且这 4 个数字的和等于 11将 所有这样的四位数从小到大依次排列，第 20 个是多少?【答案】5132【解析】因为由 4 个互不相同且不为零的数字组成，并且这 4 个数字

14、的和等于 11，只有数字 1,2,3,5 满足千位 1 开头有A1 ´A1 =6 3 2个，千位 2 开头有A1 ´A1 =6 3 2个，千位 3 开头有A1 ´A1 =6 3 2个，千位 5 开头有第一个 5123 第二个 5132 6+6+6+2=202在身高互不相同的 6 个人中，选出 3 个人站成第一排，另外 3 个人站成第二排请问： (1)如果可以随便站，那么一共有多少种排法?(2)如果要求第二排最矮的人也比第一排最高的人高，那么一共有多少种不同的排法? 【答案】（1）720 种；（2）36 种【解析】（1）先从 6 人中选出 3 个人为第一排，再全排列

15、，剩下 3 人为一排再全排列C36´A 33´A 33=720种（2）最高三人为第二排，其余三人为第一排，让它们每排分别全排列，A3 ´A3 =36 3 3种3小口袋中有 4 个球，大口袋中有 6 个球，这些球颜色各不相同请问：(1) 任意取 4 个球出来，那么共有多少种不同的结果?(2) 取出 4 个球，而且恰好从每个口袋中各取 2 个球，共有多少种不同结果?【答案】（1）210 种；（2）90 种【解析】（1）从小口袋取出 4 个大口袋取 0 个，从小口袋取出 3 个大口袋取 1 个，从小口 袋取出 2 个大口袋取 2 个，从小口袋取出 1 个大口袋取 3 个

16、，从小口袋取出 0 个大口袋取 4个C44+C14´C36+C24´C26+C34´C16+C46=1 +80 +90 +24 +15 =210种(2)每个袋子取两个，是无序的C24´C26=6 ´15 =90种6 / 84. 在 1 至 30 这 30 个自然数中任意挑选出两个不同的数，使得它们的和是偶数，一共有多 少种不同的挑选方法?【答案】210 种【解析】和为偶数，共 2 种情况：奇奇 偶偶。 1 至 30 有 15 个奇数与 15 个偶数，所 以共 2×C 2=210 种155. 如图 21-5 所示，两条直线上分别有 6

17、个点和 4 个点以这些点为顶点，可以连出多少个 三角形?【答案】96 个【解析】 三角形构成共两类：上 2 下 1， 上 1 下 2.C 2×C 1C 1×C 2=96 个6 4 6 46. 从 15 名同学中选出 5 人，上场参加篮球比赛请问：(1) 如果甲、乙两人必须人选，共有多少种选法?(2) 如果甲、乙两人中至少有一人人选，共有多少种选法?(3) 如果甲、乙、丙三人中恰好入选一人，共有多少种选法? (4)如果甲、乙、丙不能同时都人选，共有多少种选法?【答案】（1）286 种；（2）1716 种；（3）1458 种；（4）2937 种【解析】（1）甲乙必入选，则剩下

18、13 人内选 3 人， 共 C3=286 种13（2）对立事件，减去都不如选的情况共 C 5C 5 15 13=1716 种（3）恰好入选 1 人，另 12 人中选 4 人 共 C1×C 4=1485 种 3 12（4）不能同时入选的对立事件为同时入选 共 C 5C 2=2937 种15 127.一体育课上，老师将冬冬、阿奇和另 7 名同学分成 3 组做游戏，每组 3 人一共有多少种 分组方法? 如果要求冬冬和阿奇分到同一组，有多少种分组方法?【答案】（1）280 种（2）70 种【解析】(1)C 2 ´C 2 =28 ´10 =280 8 5种(2) C 1 ´C 2 =7 ´10 =7