2022届高三数学一轮复习（原卷版）黄金卷02（理）（新课标Ⅲ卷）（解析版）

1、黄金卷02（新课标卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合，则( )。a、b、c、d、【答案】a【解析】，解得或，故，则，故选a。2已知复数的实部与虚部之和为，则实数的值为( )。a、b、c、d、【答案】b【解析】由题意可得：，实部与虚部之和为，解得，故选b。3函数的图像大致为( )。a、 b、 c、 d、【答案】a【解析】，是奇函数，故排除cd，又，故排除b，故选a。4射线测厚技术原理公式为，其中、分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密

2、度，是被测物对射线的吸收系数。工业上通常用镅()低能射线测量钢板的厚度。若这种射线对钢板的半价层厚度为，钢板的密度为，则钢板对这种射线的吸收系数为( )。(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，结果精确到)a、b、c、d、【答案】c【解析】由题意可知、，代入得：，即，即，故选c。5已知双曲线：(，)的一个焦点坐标为，且两条渐近线的夹角为，则双曲线的标准方程为( )。a、或b、或c、或d、或【答案】d【解析】两条渐近线的夹角为，或，又，解得或，双曲线的标准方程为或，故选d。6在中，点满足，若，则的值为( )。a、b、c、d、【答案】c【解析】取的中点为，连接，则，设，则，解得

3、，是等边三角形，故选c。7素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想。世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对。其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”。在不超过的素数中，任选两个不同的素数、()，令事件，记事件、发生的概率分别为、，则下列关系式成立的是( )。a、b、c、d、【答案】d【解析】不超过的素数有、，共10个，随机选取两个不同的素数、()，有(种)选法，事件发生的样本点为、共4个，事件发生的样本点为、共4个，事件发生的样本点为、，共个，故，故选d。8已知(其中)的展开项中的常数项为，则( )。a、b、c、d、【答

4、案】d【解析】原二项式的通项公式为，则常数项为，则，则，故选d。9函数()的图像关于对称，且在上单调递增，则函数在区间上的最小值为( )。a、b、c、d、【答案】b【解析】由题意得：()，解得()，且，故，即，、，故在区间上的最小值为，故选b。10已知单位向量、，满足。若常数、的取值集合为，则的最大值为( )。a、b、c、d、【答案】a【解析】由条件得，和的取值只有三种可能，分别为、，但二者不可能同时一个取，另一个取，的化简结果只有四种形式：、，而，故所有可能取值只有或两种结果，的最大值为，故选a。11已知、四点在同一个球面上，且、两两垂直，当、与面积之和的最大值为时，该球的表面积为( )。a

5、、b、c、d、【答案】b【解析】设、，则、与面积之和为，故的最大值为，又，当且仅当时等号成立，即，即，、四点所在的同一个球即以、为邻边的长方体的外接球，该球的直径，则该球的表面积，故选b。12已知函数(是以为底的自然对数，)，若存在实数、()，满足，则的取值范围为( ) 。a、b、c、d、【答案】c【解析】根据题意，作出函数的图像如图所示：存在实数、()，满足，根据函数图像可得，即，构造函数，则，令，解得，当时，则在上单调递减，当时，则在上单调递增，当时取极小值也是最小值，的取值范围为，故选c。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知，则 。【答案】【解析】，则，由正弦二倍角公

6、式得。14已知实数、满足约束条件，且目标函数的最大值为，则的取值范围是 。【答案】【解析】作图，目标函数改写为，作直线，目标直线斜率为负，且截距最大时也最大，则时目标函数过点，目标直线为，与交于点，则，、，设，表示点到点的斜率，其在为正数时范围为，在负值时范围为，又，则的取值范围为。15已知抛物线：，其准线与轴交于点，过其焦点的直线与抛物线相交于、两点，记直线、的斜率分别为、，则的最小值为 。【答案】【解析】、，设、，直线的方程为，联立得：，、，、，当且仅当时，的最小值为。16在等腰直角中，为内一点，则 。【答案】【解析】如图建系，则、，故，故、，故，故。三、解答题（本大题共6小题，共70分。

7、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）根据空气质量指数(为整数)的不同，可将空气质量分级如下表：级别1212状况优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染对某城市一年(天)的空气质量进行监测，获得的数据按照区间、进行分组，得到频率分布直方图如图。(1)求直方图中的值； (2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；(3)求该城市某一周至少有天的空气质量为良或轻微污染的概率。(结果用分数表示，已知，)【解析】(1)由图可知，解得； 3分(2)； 6分(3)该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为：， 8分则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为， 10分一周至少有两天

8、空气质量为良或轻微污染的概率为：。 12分18（12分）已知数列的前项和为，且(，)。(1)设，求证：数列为等比数列；(2)求数列的前项和。【解析】(1)由已知得，即()， 2分()， 3分又，且，故数列是首项为、公比为的等比数列； 4分(2)由(1)知，则， 5分设， 6分， 7分两式相减得：， 9分解得， 10分数列的前项和。 12分19（12分）如图所示，四棱锥中，底面，。(1)求证：平面平面；(2)若棱上存在一点，使得二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值。【解析】(1)证明：， 1分底面，平面， 2分，又，平面， 3分平面，平面平面； 4分(2)解：以为坐标原点，以、所在射线分

9、别为、轴建立空间直角坐标系如图所示，则，由点向作线，则，、， 5分设，在棱上，()，又， 6分设平面的向量，、，取，则、， 8分设平面的向量，、，取，则、， 10分，解得，又平面的法向量为，设直线与平面所成角的平面角为，。 12分20（12分）已知抛物线：，过点的动直线与抛物线交于不同的两点、，分别以、为切点作抛物线的切线、，直线、交于点。(1)求动点的轨迹方程；(2)求面积的最小值，并求出此时直线的方程。【解析】(1)设，以为切点的切线为，整理得：， 1分同理：以为切点的切线为：， 2分联立方程组：，解得， 3分设直线的方程为：，联立方程组得：， 5分，点的轨迹方程为； 6分(2)由(1)知

10、：， 8分又到直线的距离为：， 9分， 11分时，取得最小值，此时直线的方程为。 12分21（12分）已知函数。(1)讨论的单调性；(2)求证：当时 ，对都有。【解析】(1)，其定义域为， 1分当时，即时，恒成立，在上单调递增， 2分当时，即时，有两个根为：、， 3分当和时，单调递增， 4分当时，单调递减； 5分(2)由(1)知，当时，在上单调递增，对有，不妨设，在上单调递增，则原式可以转化为， 7分即有，即证，设， 9分则，当时，单调递增， 10分当时，单调递增，即，同理可证，即，则原不等式得证。 12分请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系中，曲线的方程为(为参数)，直线的方程为。以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。(1)求曲线和直线的极坐标方程；(2)已知射线的极坐标方程是，且与曲线和直线在第一条限的交点分别为、，求的长。【解析】(1)曲线：，化为极坐标方程为：， 2分直线的极坐标方程为， 4分(2)设点，则有，解得，即， 6分设