2022届高三数学一轮复习（原卷版）第三节 三角函数的图象与性质 教案

1、1第三节第三节三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质核心素养立意下的命题导向核心素养立意下的命题导向1.与不等式相结合考查三角函数定义域的求法，凸显数学运算的核心素养与不等式相结合考查三角函数定义域的求法，凸显数学运算的核心素养2与二次函数、函数的单调性等结合考查函数的值域与二次函数、函数的单调性等结合考查函数的值域(最值最值)，凸显数学运算的核心素养，凸显数学运算的核心素养3借助函数的图象借助函数的图象、数形结合思想考查函数的奇偶性数形结合思想考查函数的奇偶性、单调性单调性、对称性等性质对称性等性质，凸显数学凸显数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养运算、直观想象和逻辑推理的核心素养理清主

2、干知识理清主干知识1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数在正弦函数 ysin x， x0,2的图象上的图象上， 五个关键点是五个关键点是： (0,0)，2，1， (， 0)，32，1，(2，0)(2)在余弦函数在余弦函数 ycos x，x0,2的图象上的图象上，五个关键点是五个关键点是：(0,1)，2，0，(，1)，32，0，(2，1)2正弦、余弦、正切函数的图象与性质正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数函数ysin xycos xytan x图象图象定义域定义域rrxxr r，且，且 xk2，kz z值域值域1,11,1r r奇偶性奇偶性奇函数

3、奇函数偶函数偶函数奇函数奇函数单调性单调性在在22k，22k(kz z)上是递增函数上是递增函数，在在22k，322k(kz z)上是递减函数上是递减函数在在2k，2k(kz z)上是递增函数，在上是递增函数，在2k，2k(kz z)上是递减函数上是递减函数在在2k，2k(kz z)上是上是递增函数递增函数周期性周期性周 期 是周 期 是 2k(k z z 且且k0)， 最小正周期是最小正周期是2周 期 是周 期 是 2k(k z z 且且k0)，最小正周期是，最小正周期是2周期是周期是 k(kz z 且且 k0)，最最小正周期是小正周期是2对称性对称性对称轴是对称轴是 x2k(kz z)，对

4、称中心是，对称中心是(k，0)(kz z)对称轴是对称轴是 xk(kz z)， 对称中心是对称中心是 k2，0(kz z)对称中心是对称中心是k2，0(kz z)澄清盲点误点澄清盲点误点一、关键点练明一、关键点练明1(三角函数的定义域三角函数的定义域)函数函数 ytan 2x 的定义域是的定义域是()a.x|xk4，kz zb.x|xk28，kz zc.x|xk8，kz zd.x|xk24，kz z答案：答案：d2(三角函数的周期性三角函数的周期性)已知函数已知函数 f(x)cosx4 (0)的最小正周期为的最小正周期为，则则_.答案：答案：23(三角函数的奇偶性三角函数的奇偶性)若函数若函数

5、 f(x)sinx3(0,2)是偶函数，则是偶函数，则_.解析：解析：由已知由已知 f(x)sinx3是偶函数，可得是偶函数，可得3k2(kz z)，即，即3k32(kz z)，又，又0,2，所以，所以32.答案：答案：324(三角函数的对称性三角函数的对称性)函数函数 f(x)3sin2x6 的对称轴为的对称轴为_，对称中心为对称中心为_答案：答案：xk26(kz z)k212，0(kz z)5(三角函数的单调性三角函数的单调性)函数函数 ytan2x34的单调递增区间为的单调递增区间为_答案：答案：8k2，58k2 (kz z)二、易错点练清二、易错点练清1(忽视正切函数自身的定义域忽视正

6、切函数自身的定义域)函数函数 ylg(3tan x 3)的定义域为的定义域为_解析：解析：要使函数要使函数 ylg(3tan x 3)有意义，有意义，则则 3tan x 30，即，即 tan x33.3所以所以6kx0)在区间在区间0，3 上单调递增，在区间上单调递增，在区间3，2 上单调递减，上单调递减，则则等于等于()a.23b.32c2d38(2)(2021深圳模拟深圳模拟)若若 f(x)cos 2xacos(2x)在区间在区间6，2 上是增函数上是增函数， 则实数则实数 a 的取值范的取值范围为围为_解析解析(1)因为因为 f(x)sin x(0)过原点，过原点，所以当所以当 0 x2

7、，即，即 0 x2时，时，ysin x 是增函数；是增函数；当当2x32，即，即2x32时，时，ysin x 是减函数是减函数由由 f(x)sin x(0)在在0，3 上单调递增，上单调递增，在在3，2 上单调递减知，上单调递减知，23，所以，所以32.(2)f(x)cos 2xacos2x12sin2xasin x，令令 sin xt，t12，1，则，则 g(t)2t2at1，t12，1，因为因为 f(x)在在6，2 上单调递增，上单调递增，所以所以a41，即，即 a4.答案答案(1)b(2)(，4方法技巧方法技巧已知单调区间求参数范围的已知单调区间求参数范围的 3 种方法种方法子集法子集法

8、求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式等式(组组)求解求解反子反子集法集法由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式个单调区间的子集，列不等式(组组)求解求解周期周期性法性法由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等周期列不等式式(组组)求解求解针对训练针对训练1已知已知3为函数为函数 f(x)sin(2x)02 的零点，则函数的零点，则函

9、数 f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是()a.2k512，2k12 (kz z)9b.2k12，2k712 (kz z)c.k512，k12 (kz z)d.k12，k712 (kz z)解析：解析：选选 c由于由于3为函数为函数 f(x)sin(2x)00，函数，函数 f(x)sinx4 在在2，上单调递减，则上单调递减，则的取值范围是的取值范围是()a.12，54b.12，34c.0，12d(0,2解 析 ：解 析 ： 选选 a由由2x 得得2 4x 4 4， 由 题 意 知， 由 题 意 知24，4 2k2，2k32 (kz)，当当 k0 时，由时，由242，432，解得解得125

10、4.3cos 23，sin 68，cos 97从小到大的顺序是从小到大的顺序是_解析：解析：sin 68sin(9022)cos 22.因为余弦函数因为余弦函数 ycos x 在在0，上是单调递减的，上是单调递减的，且且 222397，所以所以 cos 97cos 23cos 22，即即 cos 97cos 23sin 68.10答案答案：cos 97cos 23sin 6811考点三考点三三角函数的周期性、奇偶性及对称性三角函数的周期性、奇偶性及对称性考法考法(一一)三角函数的周期性三角函数的周期性例例 1函数函数 f(x)tan x1tan2x的最小正周期为的最小正周期为()a.4b.2c

11、d2解析解析由已知由已知得得f(x)tan x1tan2xsin xcos x1sin xcos x2sin xcos xcos2xsin2xcos2xsin xcos x12sin 2x， 所所以以f(x)的最小正周期为的最小正周期为 t22.答案答案c方法技巧方法技巧三角函数周期的求解方法三角函数周期的求解方法公式法公式法(1)三角函数三角函数 ysin x，ycos x，ytan x 的最小正周期分别的最小正周期分别为为2，2，；(2)yasin(x)和和 yacos(x)的最小正周期为的最小正周期为2|，ytan(x)的最小正周期为的最小正周期为|图象法图象法利用三角函数图象的特征求周

12、期如：相邻两最高点利用三角函数图象的特征求周期如：相邻两最高点(最低点最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期考法考法(二二)三角函数的奇偶性三角函数的奇偶性例例 2已知函数已知函数 f(x)3sin2x3，(0，)(1)若若 f(x)为偶函数，则为偶函数，则_；(2)若若 f(x)为奇函数，则为奇函数，则_.解析解析(1)因为因为 f(x)3sin2x3为偶函数，为偶函数，所以所以3k2(kz)，又因为又因为(0，)，所以，所以56.(2)因为因为 f(x)3sin2x3为奇函数，为奇函数，12所以所以3k(kz)，又，又(

13、0，)，所以，所以3.答案答案(1)56(2)3方法技巧方法技巧与三角函数奇偶性相关的结论与三角函数奇偶性相关的结论三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为 yasin x 或或yatan x 的形式，而偶函数一般可化为的形式，而偶函数一般可化为 yacos xb 的形式常见的结论有：的形式常见的结论有：(1)若若 yasin(x)为偶函数，则有为偶函数，则有k2(kz)；若为奇函数，则有；若为奇函数，则有k(kz)(2)若若 yacos(x)为偶函数，则有为偶函数，则有k(kz)；若为奇函数，则有；若

14、为奇函数，则有k2(kz)(3)若若 yatan(x)为奇函数，则有为奇函数，则有k(kz)考法考法(三三)三角函数的对称性三角函数的对称性例例 3(1)(多选多选)(2021大连模拟大连模拟)已知函数已知函数 f(x)sin xcos x32(12sin2x)， 则有关函数则有关函数 f(x)的说法正确的是的说法正确的是()af(x)的图象关于点的图象关于点(3，0)对称对称bf(x)的最小正周期为的最小正周期为cf(x)的图象关于直线的图象关于直线 x6对称对称df(x)的最大值为的最大值为 3(2)已知函数已知函数 ysin(2x)20，|2 的最小正周期为的最小正周期为 4，且且xr，

15、有有 f(x)f3 成成立，则立，则 f(x)图象的一个对称中心是图象的一个对称中心是()a.23，0b.3，0c.23，0d.53，0解析：解析：选选 a由由 f(x)sin(x)的最小正周期为的最小正周期为 4，得得12.因为因为 f(x)f3 恒成立，所以恒成立，所以 f(x)maxf3 ，即即12322k(kz)，由由|0)在区间在区间0,1上至少出现上至少出现 50 次最大值，则次最大值，则的最小值为的最小值为()a98b.1972c.1992d100解析解析由题意，至少出现由题意，至少出现 50 次最大值即至少需用次最大值即至少需用 4914个周期，所以个周期，所以1974t197

16、421，15所以所以1972.答案答案b名师微点名师微点解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期 t2与所给区间的关系与所给区间的关系，从而建立不等关系从而建立不等关系类型类型(二二)三角函数的单调性与三角函数的单调性与的关系的关系例例 2若函数若函数 f(x)sin x(0)在区间在区间3，2 上单调递减，则上单调递减，则的取值范围是的取值范围是()a.0，23b.0，32c.23，3d.32，3解析解析令令22kx322k(kz)，得得22kx322k(kz)，因为因为 f(x)在在3，2 上单调递减，上单调递减，所以所以22k3，2322k(kz)，解

17、得解得 6k324k3(kz)又又0，所以，所以 k0，又又 6k324k3(kz)，得，得 0k0)，在区间，在区间3，2 上单调递减，建立不等式，即可求上单调递减，建立不等式，即可求的取值范围的取值范围类型类型(三三)三角函数的对称性、最值与三角函数的对称性、最值与的关系的关系例例 3(1)已知已知 f(x)sin xcos x23 ，若函数，若函数 f(x)图象的任何一条对称轴与图象的任何一条对称轴与 x 轴交点轴交点的横坐标都不属于区间的横坐标都不属于区间(，2)，则，则的取值范围是的取值范围是_16(2)已知函数已知函数 f(x)2sin x 在区间在区间3，4 上的最小值为上的最小

18、值为2，则，则的取值范围是的取值范围是_解析解析(1)f(x)sin xcos x 2sinx4 ，令令x42k(kz)，解得，解得 x34k(kz)当当 k0 时，时，34，即，即34，当当 k1 时，时，342，即，即78.综上，综上，3478.(2)显然显然0，分两种情况：，分两种情况：若若0，当，当 x3，4 时，时，3x4，因为函数因为函数 f(x)2sin x 在区间在区间3，4 上的最小值为上的最小值为2，所以，所以32，解得，解得32；若若0)的图象关于直线的图象关于直线 x34对称对称，且且 f(x)在在0，4 上为单调上为单调函数，则下述四个结论中正确的是函数，则下述四个结

19、论中正确的是()a满足条件的满足条件的取值有取值有 2 个个b.32，0为函数为函数 f(x)的一个对称中心的一个对称中心cf(x)在在8，0上单调递增上单调递增df(x)在在(0，)上有一个极大值点和一个极小值点上有一个极大值点和一个极小值点解析解析： 选选 abc因为函数因为函数 f(x)sin x(0)的图象关于直线的图象关于直线 x34对称对称， 所以所以342k(kz)，解得解得4312k0(kz)，又又 f(x)在在0，4 上为单调函数，所以上为单调函数，所以42，即，即2，所以所以23或或2，即，即 f(x)sin23x 或或 f(x)sin 2x，所以总有所以总有 f32 0，

20、故，故 a、b 正确；正确；由由 f(x)sin23x 或或 f(x)sin 2x 图象知，图象知，f(x)在在8，0上单调递增，故上单调递增，故 c 正确；正确；当当 x(0，)时，时，f(x)sin23x 只有一个极大值点，不符合题意，故只有一个极大值点，不符合题意，故 d 不正确故选不正确故选 a、b、c.7函数函数 ysin xcos x3cos xsin x 的最大值是的最大值是_，最小值是，最小值是_解析：解析：令令 tsin xcos x，则则 t 2， 2(sin xcos x)22sin xcos x1，sin xcos xt212，22y32t2t32，t 2， 2 ，对称

21、轴对称轴 t13 2， 2 ，yminf13 3219133253，ymaxf( 2)32 2.故函数的最大值与最小值分别为故函数的最大值与最小值分别为32 2，53.答案：答案：32 2538(2021 年年 1 月新高考八省联考卷月新高考八省联考卷)写出一个最小正周期为写出一个最小正周期为 2 的奇函数的奇函数 f(x)_.解析解析：基本初等函数中的既为周期函数又为奇函数的函数为基本初等函数中的既为周期函数又为奇函数的函数为 ysin x，此题可考虑在此基此题可考虑在此基础上调整周期使其满足题意由此可知础上调整周期使其满足题意由此可知 f(x)sin x 且且 t2f(x)sin x.答案

22、：答案：sin x9(2020全国卷全国卷)关于函数关于函数 f(x)sin x1sin x有如下四个命题：有如下四个命题：f(x)的图象关于的图象关于 y 轴对称轴对称f(x)的图象关于原点对称的图象关于原点对称f(x)的图象关于直线的图象关于直线 x2对称对称f(x)的最小值为的最小值为 2.其中所有真命题的序号是其中所有真命题的序号是_解析解析：由题意知由题意知 f(x)的定义域为的定义域为x|xk，kz，且关于原点对称且关于原点对称又又 f(x)sin(x)1sin x sin x1sin x f(x)，所以函数，所以函数 f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所为奇函数，其图象关于原

23、点对称，所以以为假命题为假命题，为真命题为真命题因为因为 f2xsin2x1sin2xcos x1cos x，f2xsin2x1sin2xcos x1cos x，所以所以 f2xf2x，所以函数所以函数 f(x)的图象关于直的图象关于直线线x2对称，对称，为真命题当为真命题当 sin x0 时，时，f(x)0，所以，所以为假命题综上，所有真命题的序为假命题综上，所有真命题的序号是号是.答案：答案：2310已知函数已知函数 f(x)cos(2x)02 在在38，6 上单调递增，若上单调递增，若 f4 m 恒成立，恒成立，则实数则实数 m 的取值范围为的取值范围为_解析：解析：f(x)cos(2x

24、)02 ，当当 x38，6 时，时，342x3，由函数由函数 f(x)在在38，6 上是增函数，上是增函数，得得2k34，32k(kz)，则则 2k42k3(kz)又又 02，03.f4 cos2，又，又2256，f4max0，m0.答案：答案：0，)11若函数若函数 y12sin x 在区间在区间8，12 上单调递减，则上单调递减，则的取值范围是的取值范围是_解析：解析：因为函数因为函数 y12sin x 在区间在区间8，12 上单调递减，上单调递减，所以所以0 且函数且函数 y12sin(x)在区间在区间12，8 上单调递增，上单调递增，则则0，12 2k2，kz，82k2，kz，即即0，

25、24k6，kz，16k4，kz，解得解得40.答案：答案：4,0)12已知函数已知函数 f(x)2|cos x|sin xsin 2x，给出下列四个命题：，给出下列四个命题：24函数函数 f(x)的图象关于直线的图象关于直线 x4对称；对称；函数函数 f(x)在区间在区间4，4 上单调递增；上单调递增；函数函数 f(x)的最小正周期为的最小正周期为；函数函数 f(x)的值域为的值域为2,2其中是真命题的序号是其中是真命题的序号是_解析：解析：对于函数对于函数 f(x)2|cos x|sin xsin 2x，由于由于 f4 2，f34 0，所以所以 f4 f34 ，故故 f(x)的图象不关于直线

26、的图象不关于直线 x4对称，故排除对称，故排除.在区间在区间4，4 上上，f(x)2|cos x|sin xsin 2x2sin 2x，2x2，2 ，此时函数此时函数 f(x)单调单调递增，故递增，故正确正确函数函数 f3 3，f43 0.所以所以 f3 f43 ，故函数，故函数 f(x)的最小正周期不是的最小正周期不是，故，故错误错误当当 cos x0 时时， f(x)2|cos x|sin xsin 2x2sin xcos xsin 2x2sin 2x， 故它的最大值为故它的最大值为 2，最小值为最小值为2；当当 cos x0，023 的最小正周期为的最小正周期为.(1)当当 f(x)为偶函数时，求为偶函数时，求的值；的值；(2)若若 f(x)的图象过点的图象过点6，32 ，求，求 f(x)的单调递增区间的单调递增区间解：解：因为因为 f(x)的最小正周期为的最小正周期为，所以