2022届高三数学一轮复习（原卷版）第3讲　导数与函数的极值、最值

1、 第 3 讲 导数与函数的极值、最值 一、知识梳理 1函数的极值 函数 yf(x)在点 xa 的函数值 f(a)比它在点 xa 附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点 xa 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，则点 a 叫做函数 yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数 yf(x)的极小值 函数 yf(x)在点 xb 的函数值 f(b)比它在点 xb 附近其他点的函数值都大， f(b)0；而且在点 xb 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)2时，f(x)0)， 当 a10，即 a1 时，f(x)0，函数 f(x)在(0，)上单调递增，无极小值 当 a10，即 a1 时，由 f(x)

2、0，得 0 x0，得 xa1，函数 f(x)在(a1，)上单调递增f(x)极小值f(a1)1ln(a1) 综上所述，当 a1 时，f(x)无极小值； 当 a1 时，f(x)极小值1ln(a1) 利用导数研究函数极值问题的一般流程 角度三 已知函数的极值求参数值(范围) 设函数 f(x)ax2(3a1)x3a2ex. (1)若曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为 0，求实数 a 的值； (2)若 f(x)在 x1 处取得极小值，求实数 a 的取值范围 【解】 (1)因为 f(x)ax2(3a1)x3a2ex， 所以 f(x)ax2(a1)x1ex. f(2)(2a1)e2. 由题设知

3、 f(2)0，即(2a1)e20，解得 a12. (2)由(1)得 f(x)ax2(a1)x1ex(ax1)(x1)ex. 若 a1，则当 x1a，1 时，f(x)0. 所以 f(x)在 x1 处取得极小值 若 a1，则当 x(0，1)时，ax1x10. 所以 1 不是 f(x)的极小值点 综上可知，a 的取值范围是(1，) 已知函数极值点或极值求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为 0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解 (2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 提醒 若函数 yf(x)在区间(a，b)内有极值，那

4、么 yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值 1(2020 昆明市诊断测试)已知函数 f(x)(x2m)ex，若函数 f(x)的图象在 x1 处切线的斜率为 3e，则 f(x)的极大值是( ) a4e2 b4e2 ce2 de2 解析：选 af(x)(x22xm)ex.由题意知，f(1)(3m)e3e，所以 m0，f(x)(x22x)ex.当 x0 或 x0，f(x)是增函数；当2x0 时，f(x)0，f(x)是减函数所以当 x2 时，f(x)取得极大值，f(2)4e2.故选 a 2已知 f(x)x33ax2bxa2在 x1 处有极值 0，则 ab_ 解析：由题意得

5、 f(x)3x26axb，则 a23ab10，b6a30， 解得a1，b3或a2，b9， 经检验当 a1，b3 时，函数 f(x)在 x1 处无法取得极值，而 a2，b9 满足题意，故 ab7. 答案：7 3已知函数 f(x)ex(xln xa)(e 为自然对数的底数，a 为常数，且 a1)判断函数 f(x)在区间(1，e)内是否存在极值点，并说明理由 解：f(x)ex(ln xx1xa1)， 令 g(x)ln xx1xa1，x(1，e)，则 f(x)exg(x)，g(x)x2x1x20 恒成立，所以 g(x)在(1，e)上单调递减， 所以 g(x)g(1)a10，所以 f(x)0 在(1，e

6、)内无解 所以函数 f(x)在区间(1，e)内无极值点 考点二 函数的最值问题(基础型) 复习指导| 会用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值 核心素养：数学运算 (2020 贵阳市检测)已知函数 f(x)x1xln x. (1)求 f(x)的单调区间； (2)求函数 f(x)在1e，e 上的最大值和最小值(其中 e 是自然对数的底数) 【解】 (1)f(x)x1xln x11xln x，f(x)的定义域为(0，) 因为 f(x)1x21x1xx2，所以 f(x)00 x1，f(x)0 x1，所以 f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减 (2)由(1)得 f(x

7、)在1e，1 上单调递增，在(1，e上单调递减， 所以 f(x)在1e，e 上的极大值为 f(1)111ln 10. 又 f1e1eln 1e2e，f(e)11eln e1e，且 f1ef(e) 所以 f(x)在1e，e 上的最大值为 0，最小值为 2e. 求函数 f(x)在a，b上最值的方法 (1)若函数在区间a，b上单调递增或递减，f(a)与 f(b)一个为最大值，一个为最小值 (2)若函数在闭区间a，b内有极值，要先求出a，b上的极值，与 f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成 (3)函数 f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小

8、)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到 1函数 f(x)x22x1在13，1 上的最小值与最大值的和为( ) a13 b23 c1 d0 解析：选 af(x)2x（2x1）2x2（2x1）22x（x1）（2x1）2，x13，1 ，当 f(x)0 时，x0； 当13x0 时，f(x)0；当 00， 所以 f(x)在13，0 上是减函数，在(0，1上是增函数所以 f(x)minf(0)0. 又 f1313，f(1)13. 所以 f(x)的最大值与最小值的和为13. 2(2020 广东五校联考)已知函数 f(x)axln x，其中 a 为常数 (1)当 a1 时，求 f(x)的最大值； (2)若

9、f(x)在区间(0，e上的最大值为3，求 a 的值 解：(1)易知 f(x)的定义域为(0，)， 当 a1 时，f(x)xln x，f(x)11x1xx，令 f(x)0，得 x1. 当 0 x0；当 x1 时，f(x)0. 所以 f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，)上是减函数 所以 f(x)maxf(1)1. 所以当 a1 时，函数 f(x)在(0，)上的最大值为1. (2)f(x)a1x，x(0，e，1x1e， . 若 a1e，则 f(x)0，从而 f(x)在(0，e上是增函数，所以 f(x)maxf(e)ae10，不符合题意； 若 a0 得 a1x0，结合 x(0，e，解得 0 x1

10、a， 令 f(x)0 得 a1x0，结合 x(0，e，解得1axe.从而 f(x)在0，1a上为增函数，在1a，e 上为减函数，所以 f(x)maxf1a1ln1a. 令1ln1a3，得 ln1a2， 即 ae2. 因为e21e，所以 ae2为所求 故实数 a 的值为e2. 考点三 生活中的优化问题(应用型) 复习指导| 通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用 核心素养：数学建模 某生产厂家每天生产一种精密仪器，已知该工厂每天生产的产品最多不超过 30件，且在生产过程中产品的正品率 p 与每日生产产品件数 x(xn*)间的关系为 p(x)mx23 000，

11、每生产一件正品盈利 2 000 元，每出现一件次品亏损 1 000 元，已知若生产 10 件，则生产的正品只有 7 件(注：正品率产品的正品件数 产品总件数100%) (1)将日利润 y(元)表示成日产量 x(件)的函数； (2)求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值 【解】 (1)由题意，知当 x10 时，p(10)710，即 p(10)m1023 000710，解得 m2 200. 所以 p(x)2 200 x23 000. 故 日 利 润 y 2 000 xp(x) 1 000 x1 p(x) 3 000 x p(x) 1 000 x 3 000 x2 200 x23

12、 0001 000 xx31 200 x， 故所求的函数关系式是 yx31 200 x(xn*，1x30) (2)y3x21 200，令 y0，解得 x20. 当 x1，20)时，y0，函数单调递增； 当 x(20，30时，y0，函数单调递减 所以当 x20 时，y 取最大值，最大值为2031 2002016 000(元) 所以该厂的日产量为 20 件时，日利润最大，最大值为 16 000 元 解决优化问题的基本思路 利用导数解决生活中的优化问题的步骤： (1)分析实际问题中各个量之间的关系，确定实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系 yf(x)； (2)求函数的导数 f(x)，

13、解方程 f(x)0； (3)比较函数在区间端点和使 f(x)0 的点的函数值的大小，求出最值； (4)回归实际问题作答 某产品包装公司要生产一种容积为 v 的圆柱形饮料罐(上下都有底)， 一个单位面积的罐底造价是一个单位面积罐身造价的 3 倍， 若不考虑饮料罐的厚度， 欲使这种饮料罐的造价最低，则这种饮料罐的底面半径是_ 解析：由 vr2h，得 hvr2， 设 f(r)32r22rh6r22vr， 所以 f(r)12r2vr212r32vr2， 所以 f(r)在0，3v6上单调递减， 3v6，上单调递增， 所以当 r3v6时造价最低 答案：3v6 基础题组练 1函数 f(x)2x39x22 在

14、4，2上的最大值和最小值分别是( ) a25，2 b50，14 c50，2 d50，14 解析：选 c因为 f(x)2x39x22，所以 f(x)6x218x，当 x4，3)或 x(0，2时，f(x)0，f(x)为增函数，当 x(3，0)时，f(x)0，f(x)为减函数，由 f(4)14，f(3)25，f(0)2，f(2)50，故函数 f(x)2x39x22 在4，2上的最大值和最小值分别是 50，2. 2(多选)已知函数 yf(x)的导函数 f(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是( ) a函数 yf(x)在区间3，12内单调递增 b当 x2 时，函数 yf(x)取得极小值 c函数 yf(

15、x)在区间(2，2)内单调递增 d当 x3 时，函数 yf(x)有极小值 解析：选 bc对于 a，函数 yf(x)在区间3，12内有增有减，故 a 不正确；对于b，当 x2 时，函数 yf(x)取得极小值，故 b 正确；对于 c，当 x(2，2)时，恒有 f(x)0，则函数 yf(x)在区间(2，2)上单调递增，故 c 正确；对于 d，当 x3 时，f(x)0，故 d 不正确 3已知函数 f(x)2f(1)ln xx，则 f(x)的极大值为( ) a2 b2ln 22 ce d2e 解析：选 b函数 f(x)定义域(0，)，f(x)2f（1）x1，所以 f(1)1，f(x)2ln xx，令 f

16、(x)2x10，解得 x2.当 0 x0，当 x2 时，f(x)0，g(x)6x22x1 的 200 恒成立，故 f(x)0 恒成立， 即 f(x)在定义域上单调递增，无极值点 6函数 f(x)x33x24 在 x_处取得极小值 解析：由 f(x)3x26x0，得 x0 或 x2.列表 x (，0) 0 (0，2) 2 (2，) f(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 所以在 x2 处取得极小值 答案：2 7 已知函数 f(x)x3ax2(a6)x1.若函数 f(x)的图象在点(1， f(1)处的切线斜率为 6，则实数 a_；若函数在(1，3)内既有极大值又有极小值，则实数 a 的取值范围

17、是_ 解析：f(x)3x22axa6，结合题意 f(1)3a96，解得 a1；若函数在(1，3)内既有极大值又有极小值，则 f(x)0 在(1，3)内有 2 个不相等的实数根，则 4a212（a6）0，f（1）0，f（3）0，解得337a3. 答案：1 337，3 8 (2020 甘肃兰州一中期末改编)若 x2 是函数 f(x)(x2ax1)ex的极值点， 则 f(2)_，f(x)的极小值为_ 解析：由函数 f(x)(x2ax1)ex可得 f(x)(2xa)ex(x2ax1)ex，因为 x2 是函数 f(x)的极值点，所以 f(2)(4a)e2(42a1)e20，即4a32a0，解得a1.所以

18、f(x)(x2x2)ex.令f(x)0可得x2或x1.当x1时， f(x)0，此时函数 f(x)为增函数，当2x1 时，f(x)0，此时函数 f(x)为减函数，所以当 x1 时函数 f(x)取得极小值，极小值为 f(1)(1211)e1e. 答案：0 e 9(2020 洛阳尖子生第二次联考)已知函数 f(x)mxnxln x，mr. (1)若函数 f(x)的图象在(2，f(2)处的切线与直线 xy0 平行，求实数 n 的值； (2)试讨论函数 f(x)在区间1，)上的最大值 解：(1)由题意得 f(x)nxx2，所以 f(2)n24.由于函数 f(x)的图象在(2，f(2)处的切线与直线 xy

19、0 平行，所以n241，解得 n6. (2)f(x)nxx2，令 f(x)n；令 f(x)0，得 x1 时，函数 f(x)在1，n)上单调递增，在(n，)上单调递减，所以 f(x)maxf(n)m1ln n. 10(2019 高考江苏卷节选)设函数 f(x)(xa)(xb) (xc)，a，b，cr，f(x)为 f(x)的导函数 (1)若 abc，f(4)8，求 a 的值； (2)若 ab，bc，且 f(x)和 f(x)的零点均在集合3，1，3中，求 f(x)的极小值 解：(1)因为 abc，所以 f(x)(xa)(xb)(xc)(xa)3. 因为 f(4)8，所以(4a)38，解得 a2. (

20、2)因为 bc，所以 f(x)(xa)(xb)2x3(a2b)x2b(2ab)xab2， 从而 f(x)3(xb)x2ab3.令 f(x)0，得 xb 或 x2ab3. 因为 a，b，2ab3都在集合3，1，3中，且 ab， 所以2ab31，a3，b3. 此时，f(x)(x3)(x3)2，f(x)3(x3)(x1) 令 f(x)0，得 x3 或 x1.列表如下： x (，3) 3 (3，1) 1 (1，) f(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 所以 f(x)的极小值为 f(1)(13)(13)232. 综合题组练 1(综合型)(2020 河北石家庄二中期末)若函数 f(x)(1x)(x2

21、axb)的图象关于点(2，0)对称，x1，x2分别是 f(x)的极大值点与极小值点，则 x2x1( ) a 3 b2 3 c2 3 d 3 解析：选 c由题意可得 f(2)3(42ab)0， 因为函数图象关于点(2，0)对称，且 f(1)0， 所以 f(5)0， 即 f(5)6(255ab)0， 联立b2a40，b5a250，解得b10，a7. 故 f(x)(1x)(x27x10)x36x23x10， 则 f(x)3x212x33(x24x1)， 结合题意可知 x1，x2是方程 x24x10 的两个实数根，且 x1x2， 故 x2x1|x1x2| （x1x2）24x1x2（4）2412 3. 2(创新型)(2020 郑州质检)若函数 yf(x)存在 n1(nn*)个极值点，则称 yf(x)为 n折函数，例如 f(x)x2为 2 折函数已知函数 f(x)(x1)exx(x2)2，则 f(x)为( ) a2 折函数 b3 折函数 c4 折函数 d5 折函数 解析：选 cf(x)(x2)ex(x2)(3x2)(x2) (ex3x2)，令 f(x)0，得 x2 或 ex3x2. 易知 x2 是 f(x)的一个极值点， 又 ex3x2，结合函数图象，yex与 y3x2 有两个交点又 e23(2)2 4. 所以函数 yf(x)有 3 个极值点，则 f(x)为 4 折函数 3若函数 f(x