【教学随笔】线性规划问题探究

1、钱牲规刻问龜探究线性规划问题是高中数学教材新增添的内容,也是近儿年全国各地高考数学试卷屮的新 成员，已成为高考的热点之一这类试题的特点是：给出儿个条件，求在该条件的制约下目标函数的最大(小)值或取值范 围.解答的一般方法是：画出可行域，运用数形结合的思想方法，结合图形的几何直观性求解.一.直线的截距型/77如果目标函数为：z = ax + by ,则变形为y = -x + -,把幺看作是直线hb hh7y = -x + -在纵轴上的截距，把问题转化为求纵轴上的截距的最大(小)值或取值范围.b by2,则目标函数z = 2x+y的最小值为y3x-6( )(a) 2(b) 3(c) 4(d) 9【

2、解答】：画出变量x、y所满足的约束条件的可行域，在坐标 系中画出可行域如图1所示为abc, a(2, 0), b(l, 1), c(3, 3),则目标函数z =2x+y的最小值为3,选b.【评注】本题只是直接考查线性规划问题，是一道较为简单的送分题.x0沖0y+ xsy + 2x 4标函数z = 3x+ 2y的最大值的变化范围是(a.6,15 b. 7,15 c. 6,8 d.7,8a(0,2),b(4一s2s一4), c(0, $),c(0,4),(1)当35 4时可行域是四边形o abc,此时，7zy + 2x = 4x=4-s亠-,交点为下，当3 s x 5 5时,【评注】rti于有字母

3、参数，所以解答时，要分类讨论.二.两点间的距离型如果目标函数为：z = (x-a)2+(y-b)2,其中o,b 为常数,则问题转化为求可 行域内的点(兀,丿)与定点间的距离平方的最值问题.x例3.己知x- +1 02x- y-2 0例4 b知实数 s 满足兀+?一,0yq则z = |3%-4y + 5|的最大值是【解答】：根据己知条件，在坐标系中画出可行域， 得三个交点为a(3,0)、b(5, 0)、c(l,2),因为z斗3x_4y + 5|=5xh兀一竺+观察知点b(5, 0倒直线3x-4y + 5 = 0的距离的最大，最大值是=|3x5 4x0 + 5| = 20.四、立线的斜率型：图可x

4、2+y2的最小值是|0廿=12+25.三、点与直线间的距离型y （）（dcho） ,则可以变形为z = -x-的形式,czd无一（一）1j将问题转化为求可行域内点p（x,y）与定点 连线的斜率白勺土倍的最大（小）值或v ca ） c取值范围.例5.己知x和y是正实数，且满足约束条件x+ y10,x-y7.【解答】：z = 2二2表示可行域内的点p（x,y）与定点x-32（3,2）的斜率.画出可行域，如图所示，易得a点坐标为（3.5, 6.5）, b点坐标为（6, 4）,点c的坐标为（3.5, 1.5）,15-2直线qc的斜率取得最小值，zmin二上=_1故所求的3.5 3最小值为一1.例6.已

5、知变量兀,y满足约束条件lsx+y 54,-2 wx-y 52.,若h标函数z = ax+y（其中670）仅在点（3,1）处取得最大值，则d的取值范围为_【解答】：在坐标系中画出可行域，如图5为四边形abcd,其中a（3, 1）,kad= 1,kab=-1,目标函数z = ax+y（其中a0）中的 刁表示斜率为一。的直线系中的截距的大小，若仅在点（3,1）处取得最大值，则斜率应小于心 =-1，即-gv-1，所以d的取值范围为（1, +8）五、求平面区域的面积关键在于正确作出线性规划的可行域的图形.x+y-20,例7在平面直角坐标系屮，不等式组x-j + 20,表示的平面区域的面积是（）x0形区域时有0.0 x q,q兀s c|,axx + a2yc.axa2y =(a) c2,(b)a2x + b2yc2,hx + h2y 0,x0,x0,y0护0y0y0cp c?千克且兀千克和y千克都是非负数.故选c.例9.双曲线x2-y2=4的两条渐近线与直线x = 3闱成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是x-