高考数学一轮复习总教案：10.5　直线、平面垂直的判定及其性质_20210103224756

1、10.5直线、平面垂直的判定及其性质典例精析题型一面面垂直的判定与性质【例1】 平面平面，a，b，ab与平面、所成的角分别为和，求ab与，的交线l所成的角的大小.【解析】过a、b分别作aal，bbl，垂足分别为a、b，则aa，bb.连接ab，ab，则aba，bab.设ab1，则aa，ab，bb，所以ab.过b作bcl且bc，连接ac、ac，则abc为ab与l所成的角，来源:数理化网因为abbc，且bbab，所以abbc为矩形，所以acbc.又因为aabc，aaaca，所以bc平面aac，所以acbc.在rtacb中，cosabc，所以abc，即ab与l所成的角为.【点拨】此题关键是根据面面垂直

2、的性质，构造直角三角形.【变式训练1】如图一所示，已知四棱柱abcda1b1c1d1的底面为正方形，o1、o分别为上、下底面的中心，且a1在底面abcd内的射影是o.求证：平面o1dc平面abcd.【证明】要证明平面o1dc与平面abcd垂直，考虑到图中已知平面abcd的垂线a1o，因而设法在平面o1dc中找出a1o的平行线.如图二所示，连接ac，bd，a1c1，则o为ac、bd的交点，o1为a1c1、b1d1的交点.由棱柱的性质知：a1o1oc，且a1o1oc，所以四边形a1oco1为平行四边形，所以a1oo1c.又a1o平面abcd，所以o1c平面abcd，又o1c平面o1dc，所以平面o

3、1dc平面abcd.题型二线面垂直的判定与性质【例2】 rtabc所在平面外一点s满足sasbsc，d为斜边ac的中点.(1)求证：sd平面abc；(2)若abbc，求证：bd平面sac.【证明】(1)设e是ab的中点.因为d是ac的中点.所以debc，又bcab，所以deab.因为sasb，所以seab，又sedee，所以ab平面sde，而sd平面sde，所以absd，又sasc，d为ac的中点，所以sdac.而abaca，所以sd平面abc.(2)若abbc，则bdac.又由(1)知，sd平面abc，所以sdbd，而sdacd，来源:所以bd平面sac.【点拨】证明直线与平面垂直，关键在于

4、证明直线与平面内的两相交直线垂直.【变式训练2】如图，在斜三棱柱abca1b1c1中，bac90°，bc1ac，则c1在上底面abc上的射影h必在()a.直线ab上b.直线bc上c.直线ac上d.abc内部【解析】选a.题型三折叠问题【例3】 在四边形abcd中，adbc，adab，bcd45°，bad90°，将abd沿对角线bd折起，记折起后点a的位置为p，且使平面pbd平面bcd，如图所示：(1)求证：平面pbc平面pdc；(2)在折叠前的四边形abcd中，作aebd于e，过e作efbc于f，求折叠后的图形中pfe的正切值.【解析】(1)折叠前，在四边形abc

5、d中，adbc，adab，bad90°，所以abd为等腰直角三角形.又因为bcd45°，所以bdc90°.折叠后，因为平面pbd平面bcd，cdbd，所以cd平面pbd，又因为pb平面pbd，所以cdpb.又因为pbpd，pdcdd，所以pb平面pdc，又pb平面pbc，故平面pbc平面pdc.(2)aebd，efbc，折叠后的这些位置关系不变，所以pebd，又平面pbd平面bcd，所以pe平面bcd，所以peef，设abada，则bda，所以peabe，在rtbef中，efbe·sin 45°a×a.在rtpfe中，tanpfe.【

6、点拨】翻折与展开是一个问题的两个方面，不论是翻折还是展开，均要注意平面图形与立体图形各个对应元素的相对变化，元素间的大小与位置关系.一般而言，在翻折过程中， 处在同一个半平面内的元素是不变的，弄清这一点是解决这类问题的关键.【变式训练3】如图，平行四边形abcd中，dab60°，ab2，ad4.将cbd沿bd折起到ebd的位置，使平面ebd平面abd.(1)求证：abde；来源:(2)求三棱锥eabd的侧面积.【解析】(1)证明：在abd中，来源:因为ab2，ad4，dab60°，所以bd2.所以ab2bd2ad2，所以abbd.又因为平面ebd平面abd，平面ebd平面abdbd，ab平面abd，所以ab平面ebd.因为de平面ebd，所以abde.(2)由(1)知abbd.因为cdab，所以cdbd. 从而debd.在rtdbe中，因为db2，dedcab2，所以sbdedb·de2.又因为ab平面ebd，be平面ebd，所以abbe.因为bebcad4，所以sabeab·be4.来源:数理化网因为debd，平面ebd平面abd，所以ed平面abd，而ad平面abd，所以edad