2021年湖南省湘潭市益智实验中学高二数学理期末试卷含解析

1、2021年湖南省湘潭市益智实验中学高二数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 直线y=a与函数y=x33x的图象有相异三个交点，则a的取值范围是（）a（2，2）b（2，0）c（0，2）d（2，+）参考答案：a【考点】利用导数研究函数的极值【分析】先求出函数与x轴的交点，然后利用导数求出函数的极值，结合函数y=x33x的图象与y=a的图象，观察即可求出满足条件的a【解答】解：y=x33x=x（x23）=0解得方程有三个根分别为，0，y'=3x23=0解得，x=1或1f（1）=2，f（1）=2画出函数

2、y=x33x的图象与y=a观察图象可得a（2，2）故选a2. 若实数a，b满足，则下列关系中不可能成立的是（    ）a. b. c. d. 参考答案：d【分析】根据题意，结合对数函数的性质，依次分析选项，综合即可得答案【详解】根据题意，实数，满足，对于，若，均大于0小于1，依题意，必有，故有可能成立；对于，若，则有，故有可能成立；对于，若，均大于1，由，知必有，故有可能成立；对于，当时，不能成立，故选：d【点睛】本题考查对数函数的单调性，注意分类讨论、的值，属于中档题. 3. 双曲线的渐近线方程为    

3、0;                                 （    ）abcd参考答案：a4. 如果直线在平面外，那么一定有（a），（b），（c），（d），参考答案：d5. 在极坐标系中,已知点,则过点p且平行于极轴的直线的方程是(

4、60;   )a. b. c. d. 参考答案：a【分析】将点化为直角坐标的点，求出过点且平行于轴的直线的方程，再转化为极坐标方程，属于简单题。【详解】因为点的直角坐标为，此点到轴的距离是，则过点且平行于轴的直线的方程是，化为极坐标方程是故选a.【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于简单题。6. 由给出的数列的第34项是(  ).a.        b.  100         c. &#

5、160;          d.   参考答案：c7. 为了了解某学校2000名高中男生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况.根据所得数据画出样本的频率分布直方图，据此估计该校高中男生体重在7078kg的人数为(   ) a240     b160     c80       d60参考答案：a略8. 如图，在平

6、行六面体abcda1b1c1d1中，m为ac与bd的交点，若=， =， =则下列向量中与相等的向量是（）a+bcd+参考答案：a【考点】相等向量与相反向量【分析】由题意可得 =+=+=+ ，化简得到结果【解答】解：由题意可得 =+=+=+=+（）=+（）=+，故选a9. 某学生寝室6个人在“五一节”前一天各自准备了一份礼物送给室友，他们把6份礼物全部放在一个箱子里，每人从中随机拿一份礼物，则恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物的概率为（   ）a. b. c. d. 参考答案：a【分析】由6份礼物分给6个人，共有种，要使得恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物，则其他3人没有拿到

7、自己准备的礼物，共有，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解【详解】由题意，6份礼物分给6个人，共有种不同的分法，要使得恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物，则其他3人没有拿到自己准备的礼物，共有，所以恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物的概率为，故选a【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中，认真审题，利用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题10. 若等差数列的前5项和=25, 且=3, 则=  (     )a.

8、 12      b. 13    c. 14     d. 15参考答案：b二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如果两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为         参考答案：4：9【考点】球的体积和表面积 【专题】计算题【分析】据体积比等于相似比的立方，求出两个球的半径的比，表面积之比等于相似比的平方，即可求出结论【解答】解：两个球的体积之比为8：27

9、，根据体积比等于相似比的立方，表面积之比等于相似比的平方，可知两球的半径比为2：3，从而这两个球的表面积之比为4：9故答案为：4：9【点评】本题是基础题，考查相似比的知识，考查计算能力，常考题12. 椭圆的两个焦点为，b是短轴的顶点，则=        参考答案：13. 命题p“?xr，sinx1”的否定是   参考答案：?xr，sinx1 【考点】命题的否定【分析】直接把语句进行否定即可，注意否定时?对应?，对应【解答】解：根据题意我们直接对语句进行否定命题p“?xr，sinx1”的否定是：?

10、xr，sinx1故答案为：?xr，sinx114. 设随机变量的概率分布如下表所示，且其数学期望e(x)=3。x1234pab则表中a的值是      . 参考答案：15. 已知，.，类比这些等式，若（a，b均为正整数），则          参考答案：  55   16. 在算式“1×口4×口30”的两个口中，分别填入两个自然数，使它们的倒数之和最小，则这两个数的和为_参考答案：15略17. 若

11、直线平行，则              。参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 设函数.（1）当时，求函数的零点个数；（2）若，使得，求实数m的取值范围.参考答案：(1)见解析；(2)(2,+) 【分析】（1）利用的符号讨论函数的单调性，结合零点存在定理可得零点的个数.（2）不等式有解等价于对任意恒成立即，构建新函数，求出后分和分类讨论可得实数的取值范围.【详解】解：（1），即，则，令解得.当在上单调递减；

12、当在上单调递增，所以当时，.因为，所以.又，所以，所以分别在区间上各存在一个零点，函数存在两个零点.（2）假设对任意恒成立，即对任意恒成立.令，则.当，即时，且不恒为0，所以函数在区间上单调递增.又，所以对任意恒成立.故不符合题意；当时，令，得；令，得.所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，即当时，存在，使，即.故符合题意.综上可知，实数的取值范围是.【点睛】导数背景下的函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明含参数的不等式的有解问题，可转化为恒成立问题来处理，后者以导数为工具讨论函数的单调性从而得到函数的最值，最后由最值的正负得到不等式成立.19. ( 本小题12分）

13、根据给出的程序语言，填入程序框图中空格，并计算程序运行后的结果。        解： 程序运行的结果是输出-_参考答案：j=1 输出n j=j+1 程序运行的结果是输出2-每个4分20. 如图所示，在四棱柱abcda1b1c1d1中，底面abcd是梯形，adbc，侧面abb1a1为菱形，dab=daa1（）求证：a1bbc；（）若ad=ab=3bc，a1ab=60°，点d在平面abb1a1上的射影恰为线段a1b的中点，求平面dcc1d1与平面abb1a1所成锐二面角的大小参考答案：【考点】二面角的平面角及

14、求法；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（）连接ab1、a1d、bd，设ab1交a1b于点o，连od，推导出aa1dabd，从而doa1b，由菱形的性质知aoa1b，从而a1b平面ado，进而a1bad，再由adbc，能证明a1bbc（）分别以射线、射线、射线为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面dcc1d1与平面abb1a1所成锐二面角的大小【解答】证明：（）连接ab1、a1d、bd，设ab1交a1b于点o，连od，如图所示由aa1=ab，dab=daa1，可得aa1dabd，所以a1d=bd，由于o是线段a1b的中点，所以doa1b，又根据菱形的性质知aoa1b，

15、所以a1b平面ado，所以a1bad，又因为adbc，所以a1bbc（6分）解：（）由（）知a1bab1，又由题意知do平面abb1a1，故可分别以射线、射线、射线为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示设ad=ab=3bc=3a，由a1ab=60°知，|oa|=|ob1|=，所以|od|=，从而a（0，0），b（，0，0），b1（0，0），d（0，0，），所以由=，得，所以设平面dcc1d1的一个法向量为=（x0，y0，z0），由，得，取y0=1，则，所以=（）又平面abb1a1的法向量为，所以故平面dcc1d1与平面abb1a1所成锐二面角的大小为（12分）【点评】本题考

16、查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用21. 已知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），求a+b+c的取值范围参考答案：【考点】5b：分段函数的应用；3t：函数的值【分析】根据f（x）的函数图象判断a，b，c的范围，利用f（a）=f（b）=f（c）得出a，b，c的关系，得出a+b+c关于a的函数，求出此函数的值域即可【解答】解：作出函数f（x）的大致图象，如图所示：不妨设abc，则0a1，1bef（a）=f（b），即lna=lnb，ab=1，即b=，同理lna=2lnc， =e2，即c=ae2a+b+c=a+ae2=（e2+1）a+，又0a1，1be，b=，a1，令函数g（a）=（e2+1）a+（a1），则g（a）=e2+10，g（a）在（，1）上单调递增，g（）g（a）g（1），即2e+g（a）e2+22e+a+b+ce2+222. 已知函数（1）若函数是偶函数，求k的值；（2）若函数在1,2上，恒成