2016高考数学大一轮复习14.4不等式选讲教师用书理苏教版

1、§14.4不等式选讲1两个实数大小关系的基本事实a>bab>0；abab0；a<bab<0.2不等式的基本性质(1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>bb<a.(2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.(3)可加性：如果a>b，那么ac>bc.(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)乘方：如果a>b>0，那么an>bn(nN，n>1)(6)开方：如果a&

2、gt;b>0，那么>(nN，n>1)3绝对值三角不等式(1)性质1：|ab|a|b|.(2)性质2：|a|b|ab|.性质3：|a|b|ab|a|b|.4绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a0a<0|x|<ax|a<x<a|x|>ax|x>a或x<ax|xR且x0R(2)|axb|c (c>0)和|axb|c (c>0)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法利用绝对值不等式的

3、几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想5基本不等式(1)定理：如果a，bR，那么a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立(2)定理(基本不等式)：如果a，b>0，那么，当且仅当ab时，等号成立也可以表述为：两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均(3)利用基本不等式求最值对两个正实数x，y，如果它们的和S是定值，则当且仅当xy时，它们的积P取得最大值；如果它们的积P是定值，则当且仅当xy时，它们的和S取得最小值6三个正数的算术几何平均不等式(1)定理如果a，b，c均为正数，那

4、么，当且仅当abc时，等号成立即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均(2)基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当a1a2an时，等号成立7柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时等号成立(2)设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立(3)柯西不等式的向量形式：设，是两个向量，则|·|，当且仅当是零向量，或存在实

5、数k，使k时，等号成立8证明不等式的方法(1)比较法求差比较法知道a>bab>0，a<bab<0，因此要证明a>b，只要证明ab>0即可，这种方法称为求差比较法求商比较法由a>b>0>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时要证明a>b，只要证明>1即可，这种方法称为求商比较法(2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证

6、，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式相反的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立(5)放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地放大或缩小，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立(6)数学归纳法设Pn是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P1(或P0)成立；(2)在假设Pk成立的前提下，推出Pk1也成立，那么可以断定Pn对一切自然数成立1不等式|2x1|x2|<0的解集为_答案x|

7、1<x<1解析方法一原不等式即为|2x1|<|x2|，4x24x1<x24x4，3x2<3，1<x<1.方法二原不等式等价于不等式组或或不等式组无解，由得<x<1，由得1<x.综上得1<x<1，所以原不等式的解集为x|1<x<12不等式1<|x1|<3的解集为_答案(4，2)(0,2)3(2013·福建改编)设不等式|x2|<a(aN*)的解集为A，且A，A.则a的值为_答案1解析因为A，且A，所以|2|<a，且|2|a，解得<a.又因为aN*，所以a1.4(2014&#

8、183;重庆)若不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是_答案1，解析设y|2x1|x2|当x<2时，y3x1>5；当2x<时，yx3>；当x时，y3x1，故函数y|2x1|x2|的最小值为.因为不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，所以a2a2.解不等式a2a2，得1a，故a的取值范围为1，.题型一含绝对值的不等式的解法例1已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围解(1)当a3时，f(x)当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1；当2&

9、lt;x<3时，f(x)3无解；当x3时，由f(x)3得2x53，解得x4.所以f(x)3的解集为x|x1或x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.当x1,2时，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由条件得2a1且2a2，即3a0.故满足条件的a的取值范围为3,0思维升华解绝对值不等式的基本方法：(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解(1)(2014·广东)不等式|x1|x2|5的解集为_(2)(

10、2014·湖南)若关于x的不等式|ax2|<3的解集为x|<x<，则a_.答案(1)x|x3或x2(2)3解析(1)方法一要去掉绝对值符号，需要对x与2和1进行大小比较，2和1可以把数轴分成三部分当x<2时，不等式等价于(x1)(x2)5，解得x3；当2x<1时，不等式等价于(x1)(x2)5，即35，无解；当x1时，不等式等价于x1x25，解得x2.综上，不等式的解集为x|x3或x2方法二|x1|x2|表示数轴上的点x到点1和点2的距离的和，如图所示，数轴上到点1和点2的距离的和为5的点有3和2，故满足不等式|x1|x2|5的x的取值为x3或x2，所以

11、不等式的解集为x|x3或x2(2)|ax2|<3，1<ax<5.当a>0时，<x<，与已知条件不符；当a0时，xR，与已知条件不符；当a<0时，<x<，又不等式的解集为x|<x<，故a3.题型二柯西不等式的应用例2已知x，y，z均为实数(1)若xyz1，求证：3；(2)若x2y3z6，求x2y2z2的最小值(1)证明因为()2(121212)(3x13y23z3)27.所以3.当且仅当x，y，z0时取等号(2)6x2y3z·，x2y2z2，当且仅当x即x，y，z时，x2y2z2有最小值.思维升华(1)使用柯西不等式证明

12、的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为：(aaa)()(111)2n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件已知实数a，b，c，d满足abcd3，a22b23c26d25，求证：1a2.证明由柯西不等式得(2b23c26d2)·()(bcd)2，即2b23c26d2(bcd)2，由已知可得2b23c26d25a2，bcd3a，5a2(3a)2，即1a2.当且仅当，即2b3c6d时等号成立题型三不等式的证明方法例3已知a，b，c(0，)，且abc1，

13、求证：(1)(1)·(1)·(1)8；(2).证明(1)a，b，c(0，)，ab2，bc2，ca2，(1)·(1)·(1)8.(2)a，b，c(0，)，ab2，bc2，ca2，2(abc)222，两边同加abc得3(abc)abc222()2.又abc1，()23，.思维升华用综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加

14、解题思路，开阔视野(1)已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x2y3.(2)设a，b，c>0且abbcca1，求证：abc.证明(1)因为x>0，y>0，xy>0，2x2y2(xy)(xy)(xy)33，所以2x2y3.(2)因为a，b，c>0，所以要证abc，只需证明(abc)23.即证：a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即证：a2b2c2abbcca.而abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)成立所以原不等式成立绝对值不等式的解法典例：(10分)解不等式|x1|x1

15、|3.思维点拨本题不等式为|xa|xb|c型不等式，解此类不等式有三种方法：几何法、分区间(分类)讨论法和图象法规范解答解方法一如图所示，设数轴上与1,1对应的点分别为A，B，那么A，B两点的距离和为2，因此区间1,1上的数都不是不等式的解设在A点左侧有一点A1，到A，B两点的距离和为3，A1对应数轴上的x. 4分1x1x3，得x.同理设B点右侧有一点B1到A，B两点距离之和为3，B1对应数轴上的x，x1x(1)3.x.从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都大于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3.8分所以原不等式的解集是.10分方法二当x1时，原

16、不等式可化为(x1)(x1)3，解得：x.3分当1<x<1时，原不等式可以化为x1(x1)3，即23.不成立，无解6分当x1时，原不等式可以化为x1x13.所以x.9分综上，可知原不等式的解集为.10分方法三将原不等式转化为|x1|x1|30.构造函数y|x1|x1|3，即y3分作出函数的图象，如图所示：函数的零点是，.从图象可知，当x或x时，y0，8分即|x1|x1|30.所以原不等式的解集为.10分温馨提醒这三种方法是解|xa|xb|c型不等式常用的方法，方法一中关键是找到特殊点，方法二中的分类讨论要遵循“不重不漏”的原则，方法三则要准确画出函数图象，并准确找出零点.方法与技巧

17、1解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|xa|xb|m或|xa|xb|m (m为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便2不等式的证明方法灵活，要注意体会，要根据具体情况选择证明方法3柯西不等式的证明有多种方法，如数学归纳法，教材中的参数配方法(或判别式法)等，参数配方法在解决其它问题方面应用比较广泛柯西不等式的应用比较广泛，常见的有证明不等式，求函数最值，解方程等应用时，通过拆常数，重新排序、添项，改变结构等手段改变题设条件，以利于应用柯西不等式失误与防范1理解绝对值不等式的

18、几何意义2掌握分类讨论的标准，做到不重不漏3利用基本不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合几个著名不等式的特征4注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立.A组专项基础训练(时间：50分钟)1已知集合AxR|x3|x4|9，BxR|x4t6，t(0，)，求集合AB.解|x3|x4|9，当x<3时，x3(x4)9，即4x<3；当3x4时，x3(x4)79恒成立；当x>4时，x3x49，即4<x5.综上所述，Ax|4x5又x4t6，t(0，)，x262，当t时取等号Bx|x2，ABx|2x52(2014·江苏)已知x>

19、0，y>0，证明：(1xy2)·(1x2y)9xy.证明因为x>0，y>0，所以1xy23>0,1x2y3>0，故(1xy2)(1x2y)3·39xy.3若a、b、c均为实数，且ax22y，by22z，cz22x.求证：a、b、c中至少有一个大于0.证明假设a、b、c都不大于0，即a0，b0，c0，所以abc0.而abc(x22x)(y22y)(z22z)(x1)2(y1)2(z1)23.所以abc>0，这与abc0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0.4(2013·课标全国)设a、b、c均为正数，且abc1，证明：(1)abb

20、cac；(2)1.证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.5设不等式|2x1|<1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，bM，试比较ab1与ab的大小解(1)由|2x1|<1得1<2x1<1，解得0<x<1.所以Mx|0<x<1(2)由(1)和a，bM可知0<a<1,0<b<1.所以(ab1)(ab

21、)(a1)(b1)>0.故ab1>ab.6(2014·辽宁)设函数f(x)2|x1|x1，g(x)16x28x1.记f(x)1的解集为M，g(x)4的解集为N.(1)求M；(2)当xMN时，证明：x2f(x)xf(x)2.(1)解f(x)当x1时，由f(x)3x31得x，故1x；当x<1时，由f(x)1x1得x0，故0x<1.所以f(x)1的解集为Mx|0x(2)证明由g(x)16x28x14得16(x)24，解得x.因此Nx|x，故MNx|0x当xMN时，f(x)1x，于是x2f(x)xf(x)2xf(x)xf(x)x·f(x)x(1x)(x)2.B组专项能力提升(时间：30分钟)1若nN*，Sn，求证：<Sn<.证明n(n1)>n2，Sn>12n.又<n，Sn<(1)(2)(n)<.<Sn<.2(2013·课标全国)已知函数f(x)|2x1|2xa|，g