2016高考数学大一轮复习4.4函数y＝Asinωx＋φ的图象及应用教师用书理苏教版

1、§4.4函数yAsin(x)的图象及应用1yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A>0，>0)，x0，)振幅周期频率相位初相ATfx2.用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示.xx02yAsin(x)0A0A03.函数ysin x的图象经变换得到yAsin(x)的图象的步骤如下：【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)作函数ysin(x)在一个周期内的图象时，确定的五点是(0,0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0)这五个点(×)(2)将函数y3sin 2x的图象左移个单位长度后所得

2、图象的解析式是y3sin(2x)(×)(3)函数ysin(x)的图象是由ysin(x)的图象向右移个单位长度得到的()(4)函数ysin(2x)的递减区间是(k，k)，kZ.(×)(5)函数f(x)sin2x的最小正周期和最小值分别为，0.()(6)函数yAcos(x)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()1(2013·江苏)函数y3sin(2x)的最小正周期为_答案解析2，T.2(2013·四川改编)函数f(x)2sin(x)(>0，<<)的部分图象如图所示，则，的值分别是_答案2，解析T，T，2，2

3、15;2k，kZ，2k，kZ，又，.3设函数f(x)cos x (>0)，将yf(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值为_答案6解析由题意可知，nT (nN*)，n· (nN*)，6n (nN*)，当n1时，取得最小值6.4设函数f(x)3sin(x)(>0，<<)的图象关于直线x对称，它的周期是，则下列说法正确的是_(填序号)f(x)的图象过点(0，)；f(x)在，上是减函数；f(x)的一个对称中心是(，0)；将f(x)的图象向右平移|个单位长度得到函数y3sin x的图象答案解析周期为，2，f(x)3sin(2x)，f()3s

4、in()，则sin()1或1.又(，)，(，)，f(x)3sin(2x)：令x0f(x)，正确：令2k<2x<2k，kZk<x<k，kZ.令k0<x<，即f(x)在(，)上单调递减，而在(，)上单调递增，错误：令xf(x)3sin 0，正确：应平移个单位长度，错误.题型一函数yAsin(x)的图象及变换例1设函数f(x)sin xcos x(>0)的周期为.(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f(x)的图象可由ysin x的图象经过怎样的变换而得到的解(1)f(x)sin xcos x2(sin

5、xcos x)2sin(x)，又T，即2.f(x)2sin(2x)函数f(x)sin xcos x的振幅为2，初相为.(2)令X2x，则y2sin2sin X.列表，并描点画出图象：xX02ysin X01010y2sin02020(3)方法一把ysin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到ysin的图象，再把ysin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到ysin的图象，最后把ysin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y2sin的图象方法二将ysin x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得到ysin 2x的图象；再将ysin 2x

6、的图象向左平移个单位长度，得到ysin 2sin的图象；再将ysin的图象上每一点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，得到y2sin的图象思维升华(1)五点法作简图：用“五点法”作yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设zx，由z取0，2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象(2)图象变换：由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”把函数ysin(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位，那么所得函数的解析式为_答案ycos 2x解析将ysin(x)图象上各点的横坐

7、标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数ysin(2x)；再将图象向右平移个单位，得到函数ysin2(x)sin(2x)cos 2x.题型二由图象求函数yAsin(x)的解析式例2(1)已知函数f(x)2sin(x)(其中>0，|<)的最小正周期是，且f(0)，则_，_.(2)已知函数f(x)Asin(x) (A>0，|<，>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为_答案(1)2(2)f(x)2sin解析(1)f(x)(>0，|<)的最小正周期为，T，2.f(0)2sin ，即sin (|<)，.(2)观察图象可知：A2且点(0,1)在图象上

8、，12sin(·0)，即sin .|<，.又是函数的一个零点，且是图象递增穿过x轴形成的零点，2，2.f(x)2sin.思维升华根据yAsin(x)k的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A；k的确定：根据图象的最高点和最低点，即k；的确定：结合图象，先求出周期T，然后由T (>0)来确定；的确定：由函数yAsin(x)k最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为(即令x0，x)确定.如图为yAsin(x)的图象的一段(1)求其解析式；(2)若将yAsin(x)的图象向左平移个单位长度后得yf(x)，求f(x)的对称轴方程

9、解(1)由图象知A，以M为第一个零点，N为第二个零点列方程组解得所求解析式为ysin.(2)f(x)sinsin，令2xk(kZ)，则x (kZ)，f(x)的对称轴方程为x (kZ)题型三函数yAsin(x)的性质例3(2014·重庆改编)已知函数f(x)sin(x)(>0，<)的图象关于直线x对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值；(2)当x0，时，求函数yf(x)的最大值和最小值解(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为，所以f(x)的最小正周期T，从而2.又因f(x)的图象关于直线x对称，所以2·k，kZ，由<得k0所以.综上，

10、2，.(2)由(1)知f(x)sin(2x)，当x0，时，2x，当2x，即x时，f(x)最大；当2x，即x0时，f(x)最小.思维升华函数yAsin(x)(A>0，>0)的性质(1)奇偶性：k(kZ)时，函数yAsin(x)为奇函数；k(kZ)时，函数yAsin(x)为偶函数(2)周期性：yAsin(x)存在周期性，其最小正周期为T.(3)单调性：根据ysin t和tx(>0)的单调性来研究，由2kx2k(kZ)得单调增区间；由2kx2k(kZ)得单调减区间(4)对称性：利用ysin x的对称中心为(k，0)(kZ)来解，令xk(kZ)，求得其对称中心利用ysin x的对称轴

11、为xk(kZ)来解，令xk(kZ)得其对称轴已知函数f(x)Asin(x)(xR，A>0,0<<)的最大值为2，最小正周期为，直线x是其图象的一条对称轴(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)f(x)f(x)的单调递增区间解(1)最小正周期为.即2.又直线x是函数图象的一条对称轴，2×k，kZ，即k，kZ.又(0，)，.又A2，函数f(x)的解析式为f(x)2sin(2x)(2)g(x)f(x)f(x)2sin2(x)2sin2(x)2sin 2x2sin(2x)2sin(2x)由2k2x2k，kZ可得kxk，kZ.即函数g(x)的单调递增区间是k，k，k

12、Z.三角函数图象与性质的综合问题典例：(14分)已知函数f(x)2sin()·cos()sin(x)(1)求f(x)的最小正周期(2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间0，上的最大值和最小值思维点拨(1)先将f(x)化成yAsin(x)的形式再求周期；(2)将f(x)解析式中的x换成x，得g(x)，然后利用整体思想求最值规范解答解(1)f(x)2sin()·cos()sin(x)cos xsin x4分2sin(x)，6分于是T2.7分(2)由已知得g(x)f(x)2sin(x)，9分x0，x，sin(x)，1，11分g(x)

13、2sin(x)1,212分故函数g(x)在区间0，上的最大值为2，最小值为1.14分解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤：第一步：(化简)将f(x)化为asin xbcos x的形式第二步：(用辅助角公式)构造f(x)·(sin x·cos x·)第三步：(求性质)利用f(x)sin(x)研究三角函数的性质第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范温馨提醒(1)在第(1)问的解法中，使用辅助角公式asin bcos sin()(其中tan )，或asin bcos cos()(其中tan )，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到

14、，应特别加以关注(2)求g(x)的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解.方法与技巧1五点法作图及图象变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角x的变化2由图象确定函数解析式由函数yAsin(x)的图象确定A、的题型，常常以“五点法”中的第一个零点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置要善于抓住特殊量和特殊点3对称问题函数yAsin(x)的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图象上坐标为(x，±A)的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝

15、对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)失误与防范1由函数ysin x的图象经过变换得到yAsin(x)的图象，如：先伸缩，再平移时，要把x前面的系数提取出来2复合形式的三角函数的单调区间的求法函数yAsin(x)(A>0，>0)的单调区间的确定，基本思想是把x看做一个整体若<0，要先根据诱导公式进行转化3函数yAsin(x)在xm，n上的最值可先求tx的范围，再结合图象得出yAsin t的值域.A组专项基础训练(时间：40分钟)1(2013·山东改编)将函数ysin(2x)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值为_答案k，kZ解析把函数ys

16、in(2x)沿x轴向左平移个单位后得到函数ysin 2sin为偶函数，则k，kZ，k，kZ.2(2013·浙江改编)函数f(x)sin xcos xcos 2x的最小正周期和振幅分别是_答案，1解析f(x)sin xcos xcos 2xsin 2xcos 2xsin.所以最小正周期为，振幅为1.3已知函数f(x)2sin(x)(>0，且|<)的部分图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是_答案k，k，kZ解析由函数的图象可得T，T，则2.又图象过点(，2)，2sin(2×)2，2k，kZ，|<.取k0，即得f(x)2sin(2x)，其单调递增区间为k

17、，k，kZ.4.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数IAsin(t)(A>0，>0,0<<)的图象如右图所示，则当t秒时，电流强度是_安答案5解析由图象知A10，100.I10sin(100t)图象过点，10 sin(100×)10，sin()1，2k，kZ，2k，kZ，又0<<，.I10sin，当t秒时，I5安5已知函数f(x)2sin x在区间，上的最小值为2，则的取值范围是_答案(，2，)解析当>0时，x，由题意知，即；当<0时，x，由题意知，2.综上可知，的取值范围是(，2，)6.设偶函数f(x)Asin(x)(A>0

18、，>0,0<<)的部分图象如图所示，KLM为等腰直角三角形，KML90°，KL1，则f()的值为_答案解析取K，L中点N，则MN，因此A.由T2得.函数为偶函数，0<<，f(x)cos x，f()cos .7某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数yaAcos (x1,2,3，12，A>0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28，12月份的月平均气温最低，为18，则10月份的平均气温值为_.答案20.5解析由题意得y235cos，当x10时，y235×20.5.8已知函数f(x)cos xsin x(xR)，给出下

19、列四个命题：若f(x1)f(x2)，则x1x2；f(x)的最小正周期是2；f(x)在区间，上是增函数；f(x)的图象关于直线x对称其中真命题是_答案解析f(x)sin 2x，当x10，x2时，f(x1)f(x2)，但x1x2，故是假命题；f(x)的最小正周期为，故是假命题；当x，时，2x，故是真命题；因为f()sin ，故f(x)的图象关于直线x对称，故是真命题9已知函数f(x)cos x·cos(x)(1)求f()的值；(2)求使f(x)<成立的x的取值集合解(1)f()cos·coscos·cos()2.(2)f(x)cos xcos(x)cos x&#

20、183;(cos xsin x)cos2xsin xcos x(1cos 2x)sin 2xcos(2x).f(x)<等价于cos(2x)<，即cos(2x)<0，于是2k<2x<2k，kZ.解得k<x<k，kZ.故使f(x)<成立的x的取值集合为x|k<x<k，kZ10(2014·福建)已知函数f(x)cos x(sin xcos x).(1)若0<<，且sin ，求f()的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间解方法一(1)因为0<<，sin ，所以cos .所以f()×()

21、.(2)因为f(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin(2x)，所以T.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为k，k，kZ.方法二f(x)sin xcos xcos2xsin 2xsin 2xcos 2xsin(2x)(1)因为0<<，sin ，所以，从而f()sin(2)sin.(2)T.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为k，k，kZ.B组专项能力提升(时间：25分钟)1将函数ysin(x)的图象F向左平移个单位长度后得到图象F，若F的一个对称中心为(，0)则的一个可能取值是_答案2

22、已知A，B，C，D是函数ysin(x)(>0,0<<)一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A(，0)，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则，的值分别为_答案2，解析因为在x轴上的投影为，又点A(，0)，所以函数的四分之一个最小正周期为.即函数的最小正周期为，故2.又点A(，0)是处于递增区间上的零点，所以2×()2k(kZ)，则2k(kZ)又因为0<<，所以.3函数f(x)Asin(x)(A>0，>0，|<)的部分图象如图所示，若x1，x2(，)，且f(x1)f(x2)，则f(x1x2)_.答案解析由f(x)的图象可得A1，T()，所以最小正周期T2.又f()sin()0，|<，所以.又x1，x2(，)，且f(x1)f(x2)，所以x1x2，所以f(x1x2)sin(2×).4(2014·湖北)某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10costsint，t0,24)(1)求实验室这一