必修5数列知识点总结及题型归纳

1、名师推荐精心整理学习必备数列一、数列的概念（ 1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；（ 2）通项公式的定义：如果数列 an 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如：1，2，3，4， 5， 1111：1，2345（ 3）数列的函数特征与图象表示：456789序号： 123456项 ： 456789（ 4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列） 、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？（ 1）1， 2， 3，4， 5，

2、6， (2)10, 9, 8, 7, 6, 5,(3) 1, 0, 1, 0, 1, 0,(4)a, a, a, a, a,（ 5）数列 an 的前 n 项和 Sn 与通项 a n 的关系： anS1(n1)SS(n 2)nn 1例：已知数列 an 的前 n 项和 sn2n23，求数列 an 的通项公式二、等差数列题型一 、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为an an 1 d (n 2) 或 an 1and (n 1)。例：等差数列 an2n 1，

3、anan 1题型二 、等差数列的通项公式：ana1(n1)d ；等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d0为递增数列， d0 为常数列， d0 为递减数列。例： 1. 已知等差数列an中， a7a916， a41，则 a12 等于（）A15B30C31D 642. a 是首项 a1，公差 d3的等差数列，如果a2005，则序号n等于n1n（ A） 667（ B） 668（ C） 669（D） 670名师推荐精心整理学习必备题型三 、等差中项的概念：定义：如果 a ， A ， b 成等差数列，那么abA 叫做 a 与 b 的等差中项。其中 Aab2a ， A ， b 成等差数列anan 2

4、（ 2an anman m ）A即： 2an 12例： 1设 an是公差为正数的等差数列，若a1 a2a315 ， a1a2a380 ，则 a11a12a13（）A 120B 105C 90D 752. 设数列 a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为 48，则它的首项是（）nA 1 B.2C.4 D.8题型四 、等差数列的性质：（ 1）在等差数列 an 中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（ 2）在等差数列 an 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；（ 3）在等差数列an中，对任意 m ， nN ， anam(nm)d ， danam(mn) ；nm（ 4）

5、在等差数列an中，若 m ， n ， p ， qN 且 mnpq ，则 amanapaq ；题型五 、等差数列的前n 和的求和公式：Snn(a1an )na1n(n 1) d1 n 2 （ a1d ） n 。2222( Sn An 2Bn( A, B为常数 )an 是等差数列 )递推公式： Sn( a1an ) n(aman ( m 1) ) n22例： 1. 如果等差数列an 中， a3a4a5 12，那么 a1a2 . a7（A）14（B） 21（C）28（ D）352.设 Sn 是等差数列an 的前 n 项和，已知 a23 ， a611，则 S7 等于 ()A 13B 35C 49D 6

6、33.设等差数列an的前 n项和为 Sn ，若 S9 72 , 则a2a4a9 =4.若一个等差数列前3 项的和为 34，最后 3 项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有 （）A.13 项B.12项C.11 项D.10 项5.设等差数列an的前 n项和为 Sn，若 a5 5a3 则S9S56.已知 an数列是等差数列，a1010 ，其前10 项的和 S1070 ，则其公差 d 等于 ()21C.1D.2AB3333名师推荐精心整理学习必备7设 an为等差数列，Sn 为数列 an的前 n 项和，已知S77， S15 75，Tn 为数列Sn 的前nn 项和，求 Tn。题型六. 对与一个

7、等差数列， Sn , S2n Sn , S3n S2n 仍成等差数列。例： 1.等差数列 an 的前 m项和为30，前 2m项和为 100，则它的前3m项和为（）A.130B.170C.210D.2602.一个等差数列前n 项的和为48，前 2 n 项的和为 60，则前 3n 项的和为。3.设 Sn 为等差数列an的前 n 项和， S414，S10 S730，则 S9 =4（ 06 全国 II）设n 是等差数列an的前n项和，若 S31，则 S6SS63S12A 3B 1C 1D 110389题型七 判断或证明一个数列是等差数列的方法：定义法：an 1and(常数）（ nN ）an是等差数列中

8、项法：2an1anan 2（n N )an 是等差数列通项公式法：anknb(k,b为常数 )an是等差数列前 n 项和公式法：SnAn2Bn(A, B为 常 数)an是等差数列例： 1.已知一个数列 an 的前 n 项和 sn2n24，则数列 an 为（）A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2. 已知一个数列 an 的前 n 项和 sn2n2 ，则数列 an 为（）A. 等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3. 数列 an 满足 a1 =8， a42，且 an 22an 1an0 （ nN ）求数列an 的通项公式；题型八 . 数

9、列最值（ 1） a0 ， d 0 时， S 有最大值；a 0 ， d 0时， S 有最小值；1n1n（ 2） Sn 最值的求法：若已知 Sn ， Sn 的最值可求二次函数Snan2bn 的最值；可用二次函数最值的求法（ nN ）；或者求出an中的正、负分界项，即：名师推荐精心整理学习必备若已知 an ，则 Sn 最值时 n 的值（ nan0an0N ）可如下确定或an 1。an100例： 1等差数列an中， a1 0，S9S12 ，则前项的和最大。2 设等差数列an的前 n 项和为 Sn ，已知 a312，S120， S130求出公差 d 的范围，指出 S1，S2， ，S12 中哪一个值最大，

10、并说明理由。3. 已知 an 是等差数列，其中 a131，公差 d8 。（ 1）数列 an 从哪一项开始小于0？（ 2）求数列 an 前 n 项和的最大值，并求出对应n 的值题型九 . 利用 anS1( n1)求通项SnSn 1 (n2)1已知数列an的前 n 项和 Snn2则4n 1，2. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn=2n2，求数列 an 的通项公式；3.已知数列 an中， a13，前 n 和 Sn1 (n 1)( an 1)12求证：数列an 是等差数列求数列 an的通项公式4.设数列 an 的前 n 项和 Snn2 ，则 a8 的值为（）（A） 15(B) 16(C)49（D）

11、 64等比数列等比数列定义： 一、递推关系与通项公式递推关系： an1an q通项公式： ana1qn 1推广： an am qnm1 在等比数列an中 , a14, q2 ，则 an2在等比数列an中， a22， a5 54 ，则 a8 =名师推荐精心整理学习必备3. 在各项都为正数的等比数列 an 中，首项 a13，前三项和为21，则 a3 a4a5 （）A33 B72 C84 D189二、等比中项：若三个数a, b, c 成等比数列，则称b 为 a与 c 的等比中项，且为bac，注： b 2ac是成等比数列的必要而不充分条件.例：1.23 和 23 的等比中项为 ()( A)1(B) 1

12、(C) 1(D)2三、等比数列的基本性质，1. （ 1） 若 m npq，则 am ana p aq (其中 m, n, p,qN)（ 2） qn man ， an 2an m an m ( n N )am（ 3） an为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.（ 4） an既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列 .例： 1在等比数列an中 ,a1 和 a10 是方程 2x25x 1 0 的两个根 , 则 a4 a7( )( A)5( B)2(C )11222( D )22. 在等比数列an中， a1 a633， a3 a432， anan 1求 an若 Tnlg a1lg a

13、2lg an ,求 Tn3. 等比数列 an 的各项为正数，且a5 a6 a4a7 18,则 log3 a1log3 a2log3 a10 （）A 12B10C 8D 2+log3 5na1q n )(q1)四、等比数列的前n 项和，Sna1 (1a1an q(q1)1q1q例： 1.已知等比数列 an 的首相 a15 ，公比 q2，则其前 n 项和 Sn2. 设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，已 a26, 6a1a330 ，求 an 和 Sn名师推荐精心整理学习必备3设 f (n)2 242721023n10 (nN ) ，则 f (n) 等于（）A 2 (8n 1)B 2 (8n

14、 1 1)C 2 (8n 3 1)D 2 (8n 41)7777五 .等比数列的前n 项和的性质若数列 a n 是等比数列， Sn 是其前 n 项的和， k N *，那么 Sk ， S2kSk ， S3kS2k 成等比数列 .例： 1. 一个等比数列前 n 项的和为 48，前 2 n 项的和为 60，则前 3 n 项的和为（）A 83B 108C 75D 632. 已知数列 an 是等比数列，且 Sm 10，S2m 30，则 S3m六 . 等比数列的判定法（ 1）定义法： an1q（常数）an 为等比数列；an（ 2）中项法：2an 为等比数列；a1anan 2( an0)n（ 3）通项公式法

15、：ank q n (k, q为常数）an为等比数列；（ 4）前 n 项和法：Snk(1q n ) （k ,q为常数）an 为等比数列。Snkkqn（k, q为常数）an为等比数列。七 . 利用 aS1(n1)求通项nSnSn 1( n2)例： 1. 数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a1=1，an 11Sn ， n=1， 2， 3， ，求2343a ， a ， a 的值及数列 an 的通项公式2. 已知数列an 的首项 a15, 前 n 项和为 Sn ，且 Sn 1Snn5( nN)*，证明数列an1 是等比数列名师推荐精心整理学习必备求数列通项公式方法（ 1）公式法（定义法）根据等差数

16、列、等比数列的定义求通项例： 1 已知等差数列 an 满足： a37, a5a726， 求 an ；2. 已知数列 an 满足 a12,anan 11(n1) ，求数列 an 的通项公式；3.数列 an 满足 a1 =8， a42，且 an 22an 1an0 （ nN ），求数列an 的通项公式；11an 的通项公式；4. 已知数列 an 满足 a1 2,2 ，求数列an 1an5. 设数列 an 满足 a111，求 an 的通项公式0 且11 an 11 an6. 已知数列 an 满足 a12, an3an 1 ( n1) ，求数列 an 的通项公式；7. 已知数列 a 满足，且2N ），

17、求数列 a的通项公式；anan 1（ nnna1 2 a24 an 28. 已知数列 满足n 1nana12an 1 52(an5 )（ nN ），求数列an的通项公式；，且9. 已知数列an 满足a12n 1nanan 1 5 22 3(an 5 2 2)（nN），求数列的通，且项公式；（ 2）累加法1、累加法适用于： an 1anf (n)a2a1f (1)若 an 1 ana3a2f (2)f (n) (n 2) ，则an 1anf (n)名师推荐精心整理学习必备n两边分别相加得 an 1 a1f (n)k1例： 1.已知数列 an 满足 a11, an 1an1，求数列 an 的通项公

18、式。24n212. 已知数列 an 满足 an 1an2n1，a11，求数列 an 的通项公式。3. 已知数列 an 满足 an 1 an 23n1，a13 ，求数列 an 的通项公式。4. 设数列 an 满足 a1 2 ， an 1an3 22n1，求数列 an 的通项公式（ 3）累乘法适用于：an 1f (n) anan 1a2a3f (2)，an1f ( n)若f (n) ，则f (1)，ana1a2an例： 1. 已知数列 an 满足 an 12(n1)5nan， a13 ，求数列 an 的通项公式。2.已知数列an 满足 a12n，求 an 。， an 1an3n 13.已知 a13

19、 ， an 13n1 an (n 1) ，求 an 。3n2（ 4）待定系数法适用于 an 1qanf ( n)解题基本步骤：1、确定f (n)2、设等比数列an1 f ( n) ，公比为3、列出关系式an 11 f (n1)2 an2 f (n)名师推荐精心整理学习必备4、比较系数求1 ， 25、解得数列an1 f (n) 的通项公式6、解得数列 an 的通项公式例： 1. 已知数列 an 中， a11, an2an 1 1(n2)，求数列an 的通项公式。2在数列 an 中，若 a11, an 12an3(n1) ，则该数列的通项 an _3.已知数列 an 满足 an 12an35n，

20、a16 ，求数列 an 的通项公式。解：设 an 1 x5n12(anx5n )4已知数列 an 中， a15, an 11 an( 1) n1 ，求 an6325 已知数列 an 满足 an 12an4 3n1，a11，求数列an 的通项公式。（ 5）递推公式中既有Sn 又有 an把已知关系通过 anS1, n 1转化为数列an 或 Sn 的递推关系，然后采用相应的方法求解。SnSn 1, n21. 数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a1=1， an 11 Sn ， n=1， 2， 3， ，求a2， a3， a4 的值及数列 an3的通项公式2. 已知数列 an中， a1 3，前 n

21、和 Sn1 ( n 1)(an1) 12求证：数列an 是等差数列求数列 an的通项公式3已知数列 an的各项均为正数， 且前 n 项和 Sn 满足 Sn1(an 1)(an 2) ，且 a2 , a4 , a9成等比数列，6求数列 an 的通项公式。（ 6）倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例： 1. 已知数列 an 满足 an 12an, a1 1 ，求数列 an 的通项公式。an 2名师推荐精心整理学习必备数列求和1直接用等差、等比数列的求和公式求和。n(a1 an )n(n 1)na1 ( q1)Snna1dSna1 (1q n )公比含字母时一定要讨论221(q1)q例： 1。已知等差数列 an 满足 a11, a23 ，求前 n 项和 Sn2已知等比数列 an 满足 a11, a23 ，求前 n 项和 Sn3. 设 f (n)2242721023n10 (n N ) ，则 f (n) 等于（）A.2 (8n1)B.2 (8n 1 1)C.2 (8n 3 1)D.2 (8n 41)77772错位相减法求和：如：an等差 , bn 等比 , 求 a1b1 a2 b2an bn的和 .例： 1求和 Sn 1 2x3x2nxn 12.123n求和： Sna 2a