2022年2022年高考数学椭圆与双曲线的经典性质50条

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载椭圆与双曲线的对偶性质- （必背的经典结论）高三数学备课组椭圆1. 点 p 处的切线pt 平分 pf1 f2 在点 p 处的 外角 .2. pt 平分 pf1f2 在点 p 处的外角,就焦点在直线pt 上的射影 h 点的轨迹为以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 pq 为直径的圆必与对应准线相离 .24. 以焦点半径pf1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5. 如 p x、 y x2在椭圆y1 上,就过p 的椭圆的切线方程为x0 xy0 y1.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载00

2、0a 2b 20x2y2a2b 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6.如 p0 x0 、 y0 在椭圆221 外 ,就过 po 作椭圆的两条切线切点为p1.p2,就切点弦 p1p2ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载的直线方程为x0 xy0 y1 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 2b 2x2y2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7. 椭圆2ab21a b 0的左右焦点分别为f1, f 2,点 p 为椭圆上任意一点f1pf2,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就椭圆的焦点角形的面积为22s f1pf2b2 tan.2精品学习

3、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xy8. 椭圆1 （ a b 0）的焦半径公式：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 2b 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载| mf1 |aex0 、 | mf2 |aex0 f1 c、0、f2 c、0m x0 、y0 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载9. 设过椭圆焦点f 作直线与椭圆相交p.q 两点, a 为椭圆长轴上一个顶点,连结ap 和 aq 分别交相应于焦点f 的椭圆准线于m .n 两点,就mf nf.10. 过椭圆一个焦点f 的直线与椭圆交于两点p.q、 a 1.a 2 为椭圆长轴上的顶点,a 1p 和

4、 a 2q 交于点 m ,a 2p 和 a 1q 交于点 n,就 mf nf.x2y2b2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11. ab 为椭圆221 的不平行于对称轴的弦,mabb2 x x0 、 y0 为 ab 的中点,就 komkab2 ,a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 k ab0 ；a2 y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0x2y2x xy yx 2y 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12. 如 p x 、 y 在椭圆1 内,就被 po 所平分的中点弦的方程为0000.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载000a

5、2b 2a 2b2a 2b2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载213. 如 p x、 y x2在椭圆y1 内,就过po 的弦中点的轨迹方程为x2y2x0 xy0 y.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载000a 2b 2a 2b2a2b 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载双曲线1. 点 p 处的切线pt 平分 pf1f2 在点 p 处的 内角 .2. pt 平分 pf1f2 在点 p 处的内角, 就焦点在直线pt 上的射影h 点的轨迹为以长轴为直径的圆,除去长轴的两

6、个端点.3. 以焦点弦 pq 为直径的圆必与对应准线相交 .4. 以焦点半径pf1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切 .（内切： p 在右支；外切：p 在左支）x2y2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5. 如p0 x0 、 y0 在双曲线221 （ a 0、b 0）上,就过abp0 的双曲线的切线方程为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0 xy0 y1.a 2b2x2y2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6.如 p0 x0、y0 在双曲线2ab21 （ a 0、b 0）外,就过po 作双曲线的两条切线切点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为

7、 p . p ,就切点弦p p的直线方程为x0xy0 y1 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载121 2x2y2a 2b 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7. 双曲线221 （ a 0、bo）的左右焦点分别为f1, f 2,点 p 为双曲线上任意一点sb co t2ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f1pf2,就双曲线的焦点角形的面积为f1pf22 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x2y2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8. 双曲线221 （a 0、b o）的焦半径公式：

8、f1 abc、0、f2 c、0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 m x0、y0 在右支上时,| mf1 |ex0a 、 | mf 2 |ex0a .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 m x0、y0 在左支上时,| mf1 |ex0a 、 | mf2 |ex0a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载9. 设过双曲线焦点f 作直线与双曲线相交p.q 两点, a 为双曲线长轴上一个顶点,连结ap 和 aq 分别交相应于焦点f 的双曲线准线于m .n 两点,就mf nf.10. 过双曲线一个焦点f 的直线与双曲线交于两点p.q、 a 1.a2 为双曲线实轴上的顶

9、点,a 1p和 a 2q 交于点 m , a 2p 和 a 1q 交于点 n ,就 mf nf.x2y2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11. ab 为双曲线221（ a 0、b 0）的不平行于对称轴的弦,m x0 、 y0 为 ab 的中点,ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就 k omk abb2 x00a 2 y,即 k abb2 x0；0a2 y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x212. 如 p0 x0 、 y0 在双曲线2ay2b21（ a 0、b 0）内,就被po 所平分的中点弦的方程为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x x

10、y yx 2y 20000a 2b2a 2b2 .2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x2y 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载13.如 p0 x0 、y0 在双曲线221 （ a 0、b 0 ）内,就过po 的弦中点的轨迹方程为ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x2y2x0 xy0 y.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 2b 2a 2b 2椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）高三数学备课组椭圆x2y2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1. 椭圆221 （ a b o）的两个顶点为aba1 x2a 、0y2、 a2

11、a、0,与 y 轴平行的直线交椭精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载圆于 p1.p2 时 a 1p1 与 a2p2 交点的轨迹方程为221.ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x2y2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2. 过椭圆221aba0、 b 0上任一点a x0 、 y0 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆b2 x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载于 b、c 两点,就直线bc 有定向且kbc00a2 y（常数） .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x23. 如 p 为椭圆a 2y2b

12、21（ ab 0）上异于长轴端点的任一点、f1、 f 2 为焦点 、pf1f2、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载acpf2 f1,就actanco t.22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x24. 设椭圆a2y2b 21 （ a b 0）的两个焦点为f1.f2、p（异于长轴端点）为椭圆上任意一精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载点 , 在 pf1f2中 , 记f1pf2、pf1f2、f1 f2 p, 就 有精品学习资料精

13、选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sinsinsince .a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x2y2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5. 如椭圆221（ a b0）的左.右焦点分别为f1.f2,左准线为l ,就当 0e21ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载时,可在椭圆上求一点p,使得 pf1 为 p 到对应准线距离d 与 pf2 的比例中项 .x2y2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6. p 为椭圆221 （ a b 0 ）上任一点、f1、f2 为二焦点,a为椭圆内肯定点,就ab精品学习资料

14、精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 a|af2 | | pa | pf1 |2a| af1 | 、当且仅当a、 f2 、 p 三点共线时,等号成立.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 xx 2 yy 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载227.椭 圆0000ab1 与 直 线axbyc0有 公 共 点 的 充 要 条 件 为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a2 a2b 2b 2 axbyc 2 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x28. 已知椭圆a

15、 2y2b21 （a b 0）,o 为坐标原点, p.q 为椭圆上两动点,且opoq .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1111（1）;（ 2） |op|2+|oq|2 的最大值为4 a2b2;（ 3） sopq 的最精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载| op |2| oq |2a 2b 2a 2b 2a2b 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载小值为.a2b2x2y2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载9. 过椭圆221 （ a b 0）的右焦点f 作直线交该椭圆右支于m、n 两点,弦mn 的ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载垂

16、直平分线交x 轴于 p,就 | pf |e .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x2y2| mn |2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载10. 已知椭圆221 （ a b 0）、a . b.为椭圆上的两点,线段ab 的垂直平分线与ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x 轴相交于点a 2b2p x0 、0 、 就a 2b 2x0.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载aa22xy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11. 设 p 点为椭圆a 2b21 （a b 0 ）上异于长轴端点的任一点、f1 . f2 为其焦点记精品学习资料精选学习资料

17、 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f pf,就 1 | pf | pf|22b.2sb2 tan.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1212x2y21 cospf1 f22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12. 设 a .b 为椭圆2 21（ a b 0）的长轴两端点, p 为椭圆上的一点,pab、ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载pba、bpa, c . e分 别 为 椭 圆 的 半 焦 距 离 心 率 , 就 有 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载| pa |2ab2 | cos|.2tantan1e

18、2 .3s2a 2 b2cot.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a2c2co s2x2y2pabb2a2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载13. 已知椭圆2ab21 （ a b 0）的右准线l 与 x 轴相交于点e ,过椭圆右焦点f 的直精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载线与椭圆相交于a .b 两点 、点 c 在右准线 l 上,且 bcx 轴,就直线 ac 经过线段ef 的中点 .14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,就相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,就该点与焦点的连线

19、必与焦半径互4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载相垂直 .16. 椭圆焦三角形中、 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e 离心率 .（注 : 在椭圆焦三角形中、 非焦顶点的内.外角平分线与长轴交点分别称为内.外点. ）17. 椭圆焦三角形中、 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18. 椭圆焦三角形中、 半焦距必为内.外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）高三数学备课组双曲线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x21. 双曲线2ay2b21（a 0、b 0）的两个顶点为a1 a、0x2、 a2 a 、0y2,与 y 轴平

20、行的直精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载线交双曲线于p1.p2 时 a 1p1 与 a 2p2 交点的轨迹方程为221.ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x22. 过双曲线a 2y 2b21（a 0、b o）上任一点ax0 、 y0 任意作两条倾斜角互补的直线b2 x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载交双曲线于b、c 两点,就直线bc 有定向且kbc00a2 y（常数） .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x23. 如 p 为双曲线a 2y2b 21（ a 0、b 0）右（或左）支上除顶点外的任一

21、点、f1、 f 2 为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载焦点、pf1f2、capf2 f1,就catanco t（或22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载catancax2co t） .22y 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4. 设双曲线221 （a 0、b 0）的两个焦点为f1. f2、p（异于长轴端点）为双曲ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载线上任意一点,在pf1 f2 中,记f1 pf2、pf1f2、f1f2 p,就有精品学习资料精选学习资

22、料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sinsinsince .a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x2y 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5. 如双曲线221 （a 0、b 0）的左.右焦点分别为f1. f2,左准线为l ,就当ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 e21时,可在双曲线上求一点p,使得 pf1 为 p 到对应准线距离d 与 pf2 的比例中项 .x2y2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6. p 为双曲线221（ a 0、b0）上任一点 、f

23、1、f2 为二焦点, a 为双曲线内肯定点,ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就 | af2 |2a| pa | pf1 | 、当且仅当a、 f2 、 p 三点共线且p 和 a、 f2在 y 轴同侧时,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载等号成立 .x2y2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7. 双曲线221 （ a 0、b 0）与直线abaxbyc0 有公共点的充要条件为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 2 a 2b 2 b2x2c 2 .y2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8.

24、 已知双曲线opoq .221 （ b a 0）, o 为坐标原点, p. q 为双曲线上两动点,且ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1）1111;（ 2） |op|2+|oq|2 的最小值为4a2 b 2;（ 3） sopq 的最精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载| op |2| oq |2a 2b 2a 2b2b2a 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载小值为.b2a 2x2y 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载9. 过双曲线221（ a0、b 0）的右焦点 f 作直线交该双曲线的右支于m、n 两点,ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载弦 mn 的垂直平分线交x 轴于 p,就 | pf |e .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x2y2| mn |2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载10. 已知双曲线221 （ a 0、b 0） 、a . b 为双曲线上的两点,线段ab 的垂直平ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分线与 x 轴相交于点x2p x0 、0y2、 就 x0a 2b 2a或 x0a 2b 2.a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11. 设 p 点为双曲线221（ a0、b 0）上异于实轴端点的任一点、f1.f2 为其焦点ab精品学习资料精选学