2022年2022年高二数学推理与证明知识点与习题

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点选修 2-2 ：推理与证明一.推理1. 推理：前提.结论2. 合情推理 :合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：（ 1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特点,推出该类事物的全部对象具有这些特点的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理；简言之,归纳推理为由部分到整体.由个别到一般的推理（ 2）类比推理：由两类对象具有某些类似特点和其中一类对象具有的某些已知特点,推出另一类对象也具有这些特点的推理,简言之,类比推理为由特别到特别的推理；3. 演绎推理 :从一般性的原理动身,推出某个特别情形下的结论的推理叫演绎推理,简言之,演绎推理为由一般

2、到特别的推理；重难点：利用合情推理的原理提出猜想,利用演绎推理的形式进行证明题型 1用归纳推理发觉规律1.观看：7152 11 ；5.516.5211 ；33193211 ；. 对于任意正实数a、 b ,试写出使ab211 成立的一个条件可以为 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【点拨】：前面所列式子的共同特点特点为被开方数之和为22,故 a2.蜜蜂被认为为自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作为一个正六边形,如图为一组蜂 巢的截面图 . 其中第一个图有1 个蜂巢,其次个图有 7 个蜂巢, 第三个图有19 个蜂巢,按此规律,以b22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

3、迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f n表示第n幅图的蜂 巢 总数. 就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f 4= ;f n = .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【解题思路】找出f nf n1 的关系式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析 f 11、 f 216、f 31612、f 416121837精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f n 1612186n13n 23n1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【点评】处理“

4、递推型”问题的方法之一为查找相邻两组数据的关系精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载题型 2用类比推理猜想新的命题例 已知正三角形内切圆的半径为高的【解题思路】从方法的类比入手1,把这个结论推广到空间正四周体,类似的结论为 .3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析 原问题的解法为等面积法,即s1 ah23 1 ar 2r1 h ,类比问题的解法应为等体积法,3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载v1 sh34 1 sr 3r1 h 即正四周体的内切球的半径为高144精品学

5、习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【点评】（ 1）不仅要留意形式的类比,仍要留意方法的类比（ 2）类比推理常见的情形有：平面对空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点二.直接证明与间接证明三种证明方法 :综合法.分析法.反证法反证法：它为一种间接的证明方法. 用这种方法证明一个命题的一般步骤：(1) 假设命题的结论不成立；(2) 依据假设进行推理、 直到推理中导出冲突为止(3) 断言假设不成立(4) 确定原命题的结论成立重难点：在函数.三角变换.不等式.立体几何.解

6、析几何等不同的数学问题中,挑选好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题考点 1综合法精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在锐角三角形abc 中 、 求证 :sin asin bsin ccosacosbcosc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析 abc 为锐角三角形,abab ,22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ysin x 在 0、2上为增函数,sin asin2b cos b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载同理可得sin bcosc,

7、 sinccosa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sin asin bsin ccos acosbcosc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载考点 2分析法已知 ab0 、 求证abab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 解析 要证abab ,只需证 ab 2ab 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 ab2abab ,只需证 bab ,即证 ba精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载明显 ba 成立

8、,因此abab 成立精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【点评】留意分析法的“格式”为“要证-只需证 - ”,而不为“由于-所以 -”考点 3反证法精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载已知 fxa xx2 ax11 ,证明方程f x0 没有负数根精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【解题思路】 “正难就反” ,挑选反证法,因涉及方程的根,可从范畴方面查找冲突精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 解析 假设x0 为f x0 的负数根,就x00 且 x01 且 a x 0x02x01精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 -

9、- - 欢迎下载0ax 010x02x011 ,解得 12x02 ,这与 x00 冲突,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故方程f x0 没有负数根精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【点评】否定性命题从正面突破往往比较困难,故用反证法比较多精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点三.数学归纳法一般地 、 当要证明一个命题对于不小于某正整数n 的全部正整数n 都成立时 、 可以用以下两个步骤:(1) 证明当 n=n0 时命题成立 ;精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(2) 假设当 n=k k

10、n 、且kn0 时命题成立 、 证明 n=k+1 时命题也成立 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在完成了这两个步骤后、 就可以确定命题对于不小于n0 的全部正整数都成立. 这种证明方法称为数学归纳法.考点 1数学归纳法题型：对数学归纳法的两个步骤的熟悉例 1 已知 n 为正偶数,用数学归纳法证明时,如已假设n=k（ k2 且为偶数）时命题为真,就仍需证明（）a.n=k+1 时命题成立b. n=k+2时命题成立c. n=2k+2时命题成立d. n=2（ k+2）时命题成立解析 因 n 为正偶数,故只需证等式对全部偶数都成立,因k 的下一个偶数为k+2 ,应选 b【名师指引】 用数

11、学归纳法证明时,要留意观看几个方面： （1）n 的范畴以及递推的起点（ 2）观看首末两项的次数（或精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载其它）,确定 n=k 时命题的形式f k（ 3）从f k1) 和f k的差异,查找由k 到 k+1 递推中,左边要加（乘）上的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载式子考点 2数学归纳法的应用题型 1：用数学归纳法证明数学命题精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载用数学归纳法证明不等式1 223nn11 n212精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析 （ 1）当 n=1 时,左 =2 ,右 =2,不等式成立精品学习资料精选学

12、习资料 - - - 欢迎下载（ 2）假设当n=k 时等式成立,即1 223kk11 k21 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就1 22 3k k1k1 k21 k212k1k2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 k212k1k2k222 k1 k2k1k202精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 22 3kk1 k1 k21 k2112精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 n=k+1 时,不等式也成立综合（ 1）（ 2）,等式对全部正整数都成立【点评

13、】（ 1）数学归纳法证明命题,格式严谨,必需严格按步骤进行；（ 2）归纳递推为证明的难点,应看准“目标”进行变形；（ 3）由 k 推导到 k+1 时,有时可以“套”用其它证明方法,如：比较法.分析法等,表现出数学归纳法“敏捷”的一面精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点推理与证明习题1.用反证法证明命题： “三角形的内角中至少有一个不大于60 度”时,反设正确选项（）；a 假设三内角都不大于60 度；b假设三内角都大于60 度；c假设三内角至多有一个大于60 度；d假设三内角至多有两个大于60 度；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.在十进制中20044

14、100010101022 103 ,那么在5 进制中数码2004 折合成十进制为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a.29b. 254c. 602d. 20042n11a n 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.利用数学归纳法证明“ 1 a a a=,a 1,nn ”时,在验证 n=1 成立时, 左边应当为（）1a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载223a1b1 ac1 a ad1a a a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4.用数学归纳法证明“n1 n2nn2n1 2 2n1 ”（ nn）时,从“ nk到nk1 ”时,精品学习资料精选学

15、习资料 - - - 欢迎下载左边应增加的式子为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 2k1b 22k1c 2k1k1d 2k2k1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5.已知 n 为正偶数,用数学归纳法证明精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11112341211n1n2n41 时,如已假设n 2nkk2 为偶精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载数）时命题为真,就仍需要用归纳假设再证（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a nk1时等式成立b nk2 时等式成立精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 -

16、- - 欢迎下载c n2k2 时等式成立d n2k2) 时等式成立精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6.否定结论“至多有两个解”的说法中,正确选项 a有一个解b有两个解 c至少有三个解d至少有两个解7.否定“自然数a.b.c 中恰有一个偶数”时的正确反设为a a.b.c 都为奇数b a.b.c 或都为奇数或至少有两个偶数c a.b.c 都为偶数d a.b.c 中至少有两个偶数8.已知： a b c>0, ab bc ca>0, abc>0.求证： a>0, b>0, c>0.9.已知 a, b,c 0、1求证： 1 a b,1 b c, 1 c a 不能同时大于 1.4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载*10.（ 1）用数学归纳法证明：n35n 能被 6 整