Leslie矩阵模型

1、3.4 Leslie 矩阵模型本节将以种群为例，考虑种群的年龄结构，种群的数量主要由总 量的固有增长率决定，但是不同年龄结构动物的繁殖率和死亡率有着 明显的不同，为了更精确地预测种群的增长，在此讨论按年龄分组的 种群增长预测模型，这个向量形式的差分方程是Leslie在20世纪40年代用来描述女性人口变化规律的，虽然这个模型仅考虑女性人口的 发展变化，但是一般男女人口的比例变化不大。假设女性最大年龄为s岁，分s岁为n个年龄区间：年龄属于.:ti的女性称为第i组，设第i组女性人口数目为 Xi（i =1,2，,n），称x=（xi,x2 - ,Xn）T为女性人口年龄分布向量，考虑x随 tk的变化情况，

2、每隔-年观察一次，不考虑同一时间间隔内的变化（即n将时间离散化）。设初始时间为to，tk =to 竺时间的年龄分布向量为 nx（k）=（x（k）,x2k）- ,xnk）T，这里只考虑由生育、老化和死亡引起的人口 演变，而不考虑迁移、战争、意外灾难等社会因素的影响。设第i组女性的生殖率（已扣除女婴的死亡率）为 ai （第i组每位 女性在S年中平均生育的女婴数，a：兰0），存活率bi （第i组女性在-nn年仍活着的人数与原来人数之比，0£bi兰1）,死亡率=1-d，假设ai， d在同一时间间隔内保持不变，这个数据可由人口统计资料获得。tk时第一组女性的总数x1k）是tz时各组女性（人数为

3、 x（k4）,i =1,2,，n ）所生育的女婴的总数，可以由下式表示：tk时第i 1组（i 1 ）女性人数x鸡是tk=时第i组女性经-年存活下n来的人数，可以由下式表示:用矩阵将上两式表示为:记：ai a?an_, a.0 00kX2L =0b2匕93,x(k)=kX3，a+ +000 0bn0 _1k Xn .贝U有 x二Lkx称L为Leslie矩阵，由上式可算出tk时间各年龄组人口总数、人口 增长率以及各年龄组人口占总人口的百分比。利用Leslie模型分析人口增长，发现观察时间充分长后人口增长 率和年龄分布结构均趋于一个稳定状态，这与矩阵L的特征值和特征向量有关。矩阵L有唯一的单重正特征

4、值i，对应的特征向量为：若i是矩阵L的正特征值，则L的任一个（实的或者复的）特征值 都满足：若矩阵L的第一行有两个顺序元素ai，ai! 0，则L的正特征值是 严格优势特征值这种要求在人口模型中是能保证的， 所以L矩阵必有 严格优势特征值。若矩阵L有严格优势特征值i，对应特征向量为xi，贝卩：这表明时间tk充分长后，年龄分布向量趋于稳定，即各年龄组人n数X（k）占总数-x（k）的百分比几乎等于特征向量 Xi中相应分量占分量i =±总和的百分比。x（宀）（k）同时tk充分大后，人口增长率 矿1趋于1-1，或说'1 1时,Xi人口递增；1 J时，人口递减；-1 1时，人口总数稳定不

5、变例1加拿大人口数量预测问题为了研究加拿大的人口年龄结构，对加拿大的人口进行数据统计，1965年的统计资料如下表所示（由于大于 50岁的妇女生育者极少，故只讨论050岁之间的人口增长问题）表1加拿大人口统计数据年龄组i年龄区间10,5)0.000000.9965125,10)0.000240.99820310,15)0.058610.99802415,20)0.286080.99729520,25)0.447910.99694625,30)0.363990.99621730,35)0.222590.99460835,40)0.104590.99184940,45)0.028260.998701

6、045,50)0.00240分析：由上表得到加拿大人口的Leslie矩阵L如下所示，求解特征方程,00.000240.058610.286080.447910.363990.222590.104590.028260.002400.9965100000000000.9982000000000000.9980200000000000.99729000000L =00000.9969400000000000.9962100000000000.9946000000000000.99184001000000000.987000可以得到L矩阵的特征值： =1.0763和特征向量：通过上述过程大家可以发现，

7、一旦L矩阵的维数过大，那么求解特征方程将是一个非常复杂的过程，运用matlab求解程序如下： clear all L=zeros(10,10);L(1,:)=0,0.00024,0.05861,0.28608,0.44791,0.36399,0.22259,0.10459,0.02868,0.00240; L(2,1)=0.99651;L(3,2)=0.99820;L(4,3)=0.99802;L(5,4)=0.99729;L(6,5)=0.99694;L(7,6)=0.99621;L(8,7)=0.99460;L(9,8)=0.99184;L(10,9)=0.98700; v,d=eig(L);a1=d(1,1); a2=v(:,1);a3=v(:,1)./sum(v(:,1);pie(a3) legend('0,5)','5,10)','10,15)','15,20)','20,25)','25,30)','30,35)','35,40)','40,45)','45,50)') 结果：图 1 加拿大人口结构示意图由 L 矩阵的特性可知： 当时间充分长后， 年龄分布向量趋于稳定， 即各年龄组人数 xi(k