高三学知识点整理归纳之十四极限与导数

1、高三毕业班数学课本知识点整理归纳之十四第十四章极限与导数一、基础知识1极限定义： （ 1）若数列 u n 满足，对任意给定的正数时，恒有 |u n-A|< 成立（ A 为常数），则称 A 为数列 ，总存在正数 m，当 n>m且 n N un 当 n 趋向于无穷大时的极限，记为limf ( x), limf ( x) ，另外 limf (x) =A 表示 x 大于 x0 且趋向于 x0 时 f(x)极限为 A，称右xxxx0极限。类似地 limf (x) 表示 x 小于 x0 且趋向于 x0 时 f(x)的左极限。xx02 极限的四则运算：如果limf(x)=a,limg(x)=b，

2、那么 limf(x)± g(x)=a± b,xx0x x0x x0limf(x)?g(x)=ab,limf ( x)a (b0).x x0x x0 g( x)b3. 连续：如果函数f(x)在 x=x 0 处有定义，且 lim f(x)存在，并且 lim f(x)=f(x 0) ，则称xx0x x0f(x)在 x=x 0 处连续。4最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间 a,b上的连续函数，那么f(x) 在 a,b 上有最大值和最小值。5导数： 若函数 f(x) 在 x0 附近有定义， 当自变量 x 在 x0 处取得一个增量x 时（x 充分小），因变量 y也随之取得增量y(y

3、=f(x 0+x)-f(x0). 若 limyf(x)在存在，则称x 0xx0 处可导，此极限值称为f(x)在点 x0 处的导数（或变化率） ，记作 f ' (x 0) 或 y' xx0或dy，即 f '( x0 )limf (x)f (x0 ) 。由定义知 f(x)在点 x0 连续是 f(x)在 x0 可导的必dx x0xx0xx0要条件。若 f(x)在区间 I上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是： f(x)在点 x0处导数 f ' (x 0) 等于曲线 y=f(x) 在点 P(x 0,f(x0) 处切线的斜率。6几个常用函数的导数

4、： （ 1） (c)' =0（ c 为常数）；（ 2） (xa )'axa 1（ a 为任意常数）；（ 3）(sin x)'cos x; (4) (cos x)'sin x ;(5)( a x )' a xln a;(6)(ex )'ex ; （ 7）(log a x)'1 log a x ；（ 8） (ln x)'1 .xx7导数的运算法则：若u(x),v(x)在 x 处可导，且 u(x)0, 则（ 1 ） u(x)v( x)'u' (x)v' (x)；（ 2 ） u( x)v( x)'u'

5、; (x)v( x) u( x)v'( x) ；（ 3 ） cu( x)' c u' ( x) （ c为 常 数）；（ 4） 1 'u'( x)；（5）u( x)u 2 (x) u(x)'u( x) v' (x) u' ( x)v(x) 。u(x)u 2 ( x)8复合函数求导法：设函数y=f(u),u=(x) ，已知(x) 在 x 处可导， f(u)在对应的点u(u=(x) 处 可 导 ， 则 复 合 函 数 y=f(x)在 点 x 处 可 导 ， 且（f(x) )' = f ' ( x)'( x) .9

6、. 导数与函数的性质： （1）若 f(x) 在区间 I 上可导，则 f(x)在 I上连续；（2）若对一切 x(a,b)有 f ' (x) 0 ，则 f(x) 在 (a,b)单调递增；（ 3）若对一切x (a,b) 有 f ' ( x) 0 ，则 f(x) 在 (a,b) 单调递减。10极值的必要条件：若函数f(x) 在 x0 处可导，且在x0 处取得极值，则f '( x0 )0.11. 极值的第一充分条件：设 f(x) 在 x0 处连续，在 x0 邻域 (x 0- ,x 0+) 内可导，（ 1）若当x (x- ,x 0) 时 f ' (x)0 ，当 x (x 0

7、,x 0+ ) 时f ' ( x) 0，则 f(x)在 x0 处取得极小值；（2）若当 x(x 0- ， x0) 时 f '( x)0 ，当 x (x 0,x0+ ) 时 f ' ( x)0，则 f(x) 在 x0 处取得极大值。12极值的第二充分条件：设f(x)在 x0 的某领域 (x0- ,x 0+) 内一阶可导，在x=x0处二阶可导， 且 f '( x0 ) 0,f ''( x0 )0 。（ 1）若 f ' '(x0 )0 ，则 f(x)在 x0 处取得极小值；（ 2）若 f ''( x0 ) 0，则 f(x

8、)在 x0 处取得极大值。13罗尔中值定理：若函数f(x) 在 a,b上连续，在 (a,b)上可导，且 f(a)=f(b) ，则存在 (a,b)，使 f ' ( )0.证明若当 x (a,b)，f(x) f(a) ，则对任意 x (a,b)， f ' (x) 0. 若当 x (a,b)时，f(x) f(a) ，因为 f(x)在a,b上连续， 所以 f(x) 在 a,b上有最大值和最小值， 必有一个不等于 f(a) ，不妨设最大值m>f(a) 且 f(c)=m ，则 c (a,b)，且 f(c)为最大值，故 f ' (c)0 ，综上得证。14 Lagrange 中值

9、定理：若f(x) 在 a,b上连续，在 (a,b) 上可导，则存在 (a,b)，使f ' ( )f (b)f (a) .ba证明令 F(x)=f(x)-f (b)f ( a) (xa) , 则 F(x) 在 a,b上连续，在 (a,b) 上可导，且baf (b)f (a) .F(a)=F(b)，所以由 13知存在 (a,b)使 F'() =0，即 f ' ()ba15曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I 内具有二阶导数， （ 1）如果对任意xI, f ' '( x)0 , 则曲线 y=f(x)在 I 内是下凸的；（ 2）如果对任意 x I,f &

10、#39; ' ( x) 0 , 则 y=f(x)在 I 内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。16琴生不等式：设 12, ,n+12n是 a,b上的凸函, R ， + + =1。（ 1）若 f(x)数，则 x1,x 2, ,x n a,b有 f(a1x1+a2x2+anxn) a1f(x 1)+a 2f(x 2)+ +an f(x n).二、方法与例题1极限的求法。例 1求下列极限：（1 ） lim12n；（ 2 ） lima nn (a0) ；（ 3）n2n2n21 annlim111；（ 4） limn ( n1n ).n 2n 2n 2n12nn 解 （ 1） l

11、im12n= limn(n1)lim121 ；2222nnnnn2nn22n2（2）当 a>1 时， lima nlim111.1an1n1lim 1n1nnanaanlim a n0当 0<a<1 时， limn0.an1lim a n10n1n当 a=1 时， lim1a nnlim111 .nan12（3）因为n111n.n2n 2n 2n2n2n12n1而 limnlim11, lim1lim11,n21n21nnn1n1n1nn2所以 lim1111.n2n2n 2n12n（4） limn (n1n )limnlim11 .nnn1nn1112n例 2求下列极限：

12、（1） lim(1+x)(1+x2)(1+ x 22) (1+ x 2n)(|x|<1) ；n（2） lim31；（ 3） limx21。1 x3 x1 xx 1 1 x3x 1 解 （1） lim (1+x)(1+x 2)(1+ x2 2) (1+ x 2n)n= lim(1x)(1x)(1x 2 )(1x 2n)lim 1x2 n 11 .n1xn1x1x（2） lim313 1 x x2lim1 x 1 x21 xlim1 x31 x3x 1 1 x3x 1x 1= lim(1x)( 2x)lim2x1.1 x 3x 1x 1 1 xx2（3） limx 21lim( x 21)(

13、 3 x1 x )3x1x3x1x)(3x1x)x 1x1 (= lim ( x1)( x1)(3x1x )lim( x1)(3x1x )x12(1x)x 1222.2连续性的讨论。例 3设 f(x)在 (- ,+ ) 内有定义，且恒满足f(x+1)=2f(x)，又当x 0,1) 时，f(x)=x(1-x)2，试讨论 f(x)在 x=2 处的连续性。 解 当 x 0,1) 时，有 f(x)=x(1-x)2，在 f(x+1)=2f(x)中令 x+1=t ，则 x=t-1，当 x1,2)时，利用 f(x+1)=2f(x)有 f(t)=2f(t-1)，因为t-1 0,1), 再由 f(x)=x(1-

14、x)2得 f(t-1)=(t-1)(2-t)2, 从而 t 1,2)时, 有 f(t)=2(t-1)?(2-t)2；同理，当 x 1,2)时，令x+1=t， 则当t 2,3)时 ， 有f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2.从 而f(x)=2(x1)( 2x)2 , x1,2 ;所以4(x2)(3x) 2 , x2,3 .limf (x)lim 2(x1)(2x)20, limf (x)lim 4(x2)(3x) 20 ，所以x2x2x2x2limlimf(x)=f(2)=0，所以 f(x)在 x=2 处连续。x2f(x)=x23利用导数的几何意义求曲线的切线方程。 解 因为点 (

15、2,0)不在曲线上，设切点坐标为(x 0,y 0) ，则 y01，切线的斜率为x0x'|x011112，所以切线方程为y-y 0=2( xx0 ) ，即 yx02 ( xx0 ) 。又因为x0x0x0此切线过点（2,0 ），所以11(2x0)，所以0x0x02x =1，所以所求的切线方程为y=-(x-2)，即 x+y-2=0.4导数的计算。例 5求下列函数的导数： （ 1）y=sin(3x+1)；（ 2） y5x23xx ；（ 3）y=ecos2x ；（ 4）xyln( xx21)；（ 5）y=(1-2x)x (x>0且 x1) 。2 解 （ 1） y'cos(3x 1)

16、(3x1)' 3cos(3x+1).(5x23xx)' x(5x 23xx )( x)'(2)y'x210x31x5x 23xx2xx 2512.x3（3）'cos2 x(cos2)'cos2 (sin 2 ) (2)'2cos2 xsin 2 .yexexxxex（4） y'1( xx21)'1x1xx21xx21x 211.x21（5） y'(12x) x ' ex ln(12 x) 'ex ln(1 2 x) ( x ln(12x)'(12x) xln(12x)2 x.12x5用导数讨

17、论函数的单调性。例 6设 a>0，求函数 f(x)=x -ln(x+a)(x(0,+ )的单调区间。 解 f ' ( x)1xx1( x0) ，因为 x>0,a>0 ，所以 f ' (x)0x2+(2a-4)x+a 2>0；2af ' (x)0x2+(2a-4)x+a+<0.（1）当 a>1 时，对所有 x>0，有 x2+(2a-4)x+a2>0，即 f ' (x)>0,f(x)在 (0,+ ) 上单调递增；（2）当 a=1 时，对 x 1, 有 x2+(2a-4)x+a2>0，即 f ' (

18、x)0 ，所以 f(x)在（ 0，1）内单调递增，在（ 1， +）内递增，又f(x)在 x=1 处连续，因此f(x) 在 (0,+ ) 内递增；（ 3）当0<a<1时，令 f ' ( x)0，即22，解得x<2-a- 2 1a或x>2-a+ 2 1a，x +(2a-4)x+a >0因此， f(x)在 (0,2-a-21a ) 内单调递增，在 (2-a+ 2 1a ,+ )内也单调递增，而当2-a-2 1a <x<2-a+2 1a 时 ， x2+(2a-4)x+a2<0 ， 即 f ' ( x)0 ， 所 以 f(x)在(2-a-2

19、 1a ,2-a+2 1a ) 内单调递减。6利用导数证明不等式。例 7设 x(0, ) ，求证： sinx+tanx>2x.2证明设 f(x)=sinx+tanx-2x， 则 f ' (x)=cosx+sec 2x-2， 当 x(0, )时 ，2c o xs1c o xs12（ 因为0<cosx<1） ，所以c o2c o 2sx22sxc o xs212 0 . 又 f(x)在 0,上连续，所以 f(x) 在 0,f ' ( x) =cosx+sec x-2=cosx+cos2 x22上单调递增，所以当x0,时， f(x)>f(0)=0，即 sinx

20、+tanx>2x.27. 利用导数讨论极值。例 8设 f(x)=alnx+bx212处都取得极值， 试求 a 与 b 的值，并指出这时 f(x)+x 在 x=1 和 x =2在 x1 与 x2 处是取得极大值还是极小值。 解 因为 f(x) 在(0,+ ) 上连续，可导，又f(x) 在 x1=1， x2=2 处取得极值，所以aa2b10,a2 ,f ' (1) f ' (2)0 ，又 f ' ( x)a解得3+2bx+1，所以4b11x20,b.6所以 f ( x)2 ln x1 x 2x, f ' (x)21 x 1( x 1)( 2 x) .363x3

21、3x所以当 x(0,1)时， f ' ( x)0 ，所以 f(x)在 (0,1上递减；当 x (1,2) 时， f ' ( x) 0 ，所以 f(x) 在 1 ， 2 上递增；当 x (2,+ ) 时， f ' ( x) 0 ，所以 f(x) 在 2 ，+）上递减。综上可知 f(x) 在 x1=1 处取得极小值，在 x2=2 处取得极大值。例 9设 x 0, ,y 0,1，试求函数 f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。 解 首先，当 x0, ,y 0,1时，f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)

22、2xsin(1 y) x 2 y 1 sin x=(1-y) 2x(1y) x(1y)2xsin(1y)xsin xy 2sin x(1y)xx(1y)2xg' ( x)cos x( xtan x) (x),x22，令 g(x)=sin x,x当 x0,时，因为cosx>0,tanx>x，所以 g' ( x)0 ；2当 x,时，因为 cosx<0,tanx<0,x-tanx>0，所以 g '( x)0 ；2又因为 g(x)在 (0, ) 上连续，所以 g(x) 在 (0,) 上单调递减。又因为 0<(1-y)x<x< ，所

23、以 g(1-y)x>g(x)，即 sin(1y) xsin x0 ，(1y) xx又因为y 2sin x0，所以当 x (0, ),y (0,1) 时， f(x,y)>0.(1y)2x其次，当 x=0 时， f(x,y)=0；当 x= 时， f(x,y)=(1-y)sin(1-y) 0.当 y=1 时， f(x,y)=-sinx+sinx=0；当 y=1 时， f(x,y)=sinx 0.综上，当且仅当x=0 或 y=0 或 x= 且 y=1 时， f(x,y) 取最小值 0。三、基础训练题1 lim2 n13n12n3n=_.n2已知 limn 21b2，则 a-b=_.n1an

24、n1cos33x 24x13 lim2(n 1)lim_.n3nn3x2x 224 limx n1(n1) xn_.(x1)2x 15计算 lim2(1) nlim( x 21x21) _.nnx6若 f(x)是定义在 (- ,+ ) 上的偶函数，且f '(0) 存在，则 f ' (0)_.7函数 f(x)在 (- ,+ ) 上可导， 且 f ' (2)1，则 lim f (2h) f ( 2h)_.h 02h8若曲线 f(x)=x 4-x 在点 P 处的切线平行于直线3x-y=0 ，则点 P 坐标为 _.9函数 f(x)=x-2sinx的单调递增区间是 _.10函数

25、f ( x)ln1x 2的导数为 _.1x 211若曲线 y( x 21在点 M ( 2, 1) 处的切线的斜率为1 ，求实数 a.ax)24412. 求 sin29 0 的近似值。13设 0<b<a<, 求证：2四、高考水平练习题sin aatan a .sin bbtan b1计算 lim1242n 113323n 1 =_.n2计算 limx3x2_.2x2x12x13函数 f(x)=2x3-6x 2+7 的单调递增区间是 _. 。exe4函数 yexexx 的导数是 _.5函数f(x)在 x0邻 域 内 可 导 ， a,b 为 实 常 数 ， 若 f '( x

26、0 )c ， 则lf (x0a x)f ( x0b x)i mx_.x06函数 f(x)=1ex (sinx+cosx),xx 0, 的值域为 _.227过抛物线2) 的切线方程为 _.x =2py 上一点 (x ,y008当 x>0 时，比较大小： ln(x+1) _x.9. 函数 f(x)=x5-5x 4+5x3+1,x -1,2 的最大值为 _ ，最小值为 _.10曲线 y=e-x (x 0) 在点 M(t,e-t) 处的切线 l 与 x 轴、 y 轴所围成的三角形面积为S(t) ，则 S(t) 的最大值为 _.11若 x>0，求证： (x 2-1)lnx(x-1)2.12函

27、数 y=f(x) 在区间 (0,+ ) 内可导。导函数f '( x) 是减函数，且f ' (x) >0， x0 (0,+ ).y=kx+m 是曲线y=f(x)在点 (x 0,f(x 0) 处的切线方程，另设g(x)=kx+m ，（ 1 ）用x,f(x0), f '( x0 ) 表示 m；（ 2）证明：当 x (0,+ ) 时， g(x) f(x) ；（ 3）若关于 x 的不等02式 x2 +1 ax+b 3 x 3在 (0,+ ) 上恒成立，其中a,b 为实数，求 b 的取值范围及 a,b 所满2足的关系。13. 设各项为正的无穷数列 x11(n N ) , 证明

28、： x 1(n N). 满足 lnx +nnn+xn 1五、联赛一试水平训练题1设 M= （十进制） n 位纯小数 0? a1 a2an| ai只取0 或 1（ i=1,2, ,n-1 ）， a =1 ，nnTn 是 Mn 中元素的个数， Sn 是 Mn 中所有元素的和，则Sn_.limnTn2若 (1-2x)9111_.展开式的第 3 项为 288，则 limx2xnnx3设 f(x),g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x<0 时，f ' (x)g( x)f ( x) g' (x)0 ，且 g(-3)=0，则不等式 f(x)g(x)<0的解集为 _.4曲线 y21 x2 与 y1 x32 的交点处的切线夹角是_.245已知 a R+，函数 f(x