数值分析试卷及其答案1（精编版）

1、-x*1. 已知1解:325413, x *0.325413 都有位有效数字，求绝对误差限。（ 4 分)2由已知可知 ,n=6x1*0.325413x2*0.3254132 分106 , k100 , k6, kn0, kn0,绝对误差限16, 绝对误差限21100211020.52 分612. 已知 a0 0解:0024求24a 1 , a, a 2（6 分）a 1max 1,4,88,分amax 1,6,66,1 分a 2maxat a100100100a02202408004402400321 分at2 分max( at a)max 1,8,32321 分a 232423. 设f (x)

2、(x 2a) 3（分）写出 f(x ） 0 解的 net 迭代格式当 a 为何值时，解:xk 1(xk )（ k=0,）产生的序列xk收敛于2kxxf(xk )x( x2a) 35xkakk 1 n wton迭代格式为 :f '( xk )6xk( x 2a) 266 xk3k( x)分5xa66 x' (x)5a, 当' (2)66 x210a 121,即2a22时迭代收敛3分34. 给 定 线 性 方 程 组a =b ， 其 中 ：a123, b用 迭 代 公 式21x( k 1 )x( k)(bax ( k) ) (k= ,)求解 x b,问取什么实数，可使迭代收

3、敛(8 分)解：所给迭代公式的迭代矩阵为bi132a分12其特征方程为(13)2ib0(12)2 分即,解得11,2142 分要使其满足题意，须使(b)1 ，当且仅当00.5分12255.设方程ax=b, 其中 a111, b6试讨论解此方程的jaco迭代法的2217收敛性 ,并建立 gauss- eidel 迭代格式(9 分）解：aldbjdu0221 ( lu )101220k3 分ibj30,12302 分即(bj )01,由此可知jaco i 迭代收敛分gauss eidel 迭代格式：x( k 1)152 x( k )2x(k)23x6( k 1)(k1)1)2( k 1)x(k1(

4、k ) 3(k= ,1,2,3)分xx( k 1)372x12x26. 用 dool ttl 分解计算下列3 个线性代数方程组：axibi （i 1,2,3)其中2114a232， b17, b2x1 ,b3x2( 2 分）2349解： ax1b12114232x172349100211110021= u311101020044a=分ly=1,即1107得y311192由1 分21141由 1y ，即021x13得 1=1002212 分 ax 2b22112322341 2= 1110011由ly= 2=x ，即 110y= 1得y=011110分21110.5由u2=y,即021x2=0得

5、x2=0002002 分ax 3b32110.5232x3=023401000.50.5由l = 3=x2,即110y=0得y=0.5111001 分2110.50.375由u 3 y, 即021x3=0.5得x3=0.25002002 分i31y17. 已知函数y=f(x) 有关数据如下:要求一次数不超过3 的 h 插值多项式 ,使解:作重点的差分表,如下 :h 3 ( xi )y , h ' (x )'（ 6 分)3分h 3 ( x)f x0 f x0, x1( xx0 )f x0, x1, x1( xx0 )( xx1 )f x0, x1, x1, x2( xx0 )(

6、xx ) 21=-1+(x+1)-x(x+ )+2 . (x 1）=2 x3x23 分8. 有如下函数表：试计算此列表函数的差分表,并利用 ew on 前插公式给出它的插值多项式(7 分)解:由已知条件可作差分表,xix0ihi3 分(i 0， 2,3）为等距插值节点，则n w n 向前插值公式为:n(x)f( xx0 )f(xx0 )( xx1 )2 f( xx0 )( xx1 )( xx2 )3 f3001!h2! h 203! h 30 4 x( -1)=x24 x44 分9. 求 f(x)=x在-1 ， 1上的二次最佳平方逼近多项式解:p2 ( x) ,并求出平方误差（ 8 分)令p2

7、( x)a0a1xa x 222 分取 m 1, =x， k= x 2 ，计算得：（ m,m) 11dx 0(m, )=1xdx =(m ，k)=12x dx 0(n,k)=11 x3 dx1=0 5（ k, )=11 x 4 dx1=（ m,y ）11xdx =11(n, )=1 x 2 dx (k ， y） =11 x3 dx 0.51a11得方程组:a 00.5a 200.5a13 分0.5解之得 a0c, a11, a22c（ c 为任意实数，且不为零）即二次最佳平方逼近多项式分p2 ( x)cx2cx2平方误差：222fp 2 222f2ai (i 02i , y)23分10. 已知

8、如下数据 : 用复合梯形公式， 复合 ips n 公式计算留小数点后三位)（分 )解:用复合梯形公式:140 1x2dx 的近似值（保8t1 16f (0)2 f ( 1)8f ( 1 )4f ( 3)8f ( 1 )25f () 8f ( 3)47f () 8f (1)=314 分用复合 impso 公式：4s1 24f (0)4 f ( 1)8f ( 3)85f () 8f ( 7)82 f ( 1 )4f ( 1 )2f ( 3 ) 4f (1).142分11. 计算积分 i2 sin xdx，若用复合simpso公式要使误差不超过011025，问区间 0, 要分为多少等分？若改用复合梯

9、形公式达到同样精确度, 区间 0,2 应分为多少2等分 ?（ 10 分）解:由 simp on 公式余项及f ( x)sin x,f (4 ) ( x)sin x 得rn ( f )2()max4f (4) ( x)() 4 ( 1 ) 4110 51804n0 x2分3604n2即n 42 分665, n5.08 ，取 n=6即区间 0,1 分 分为 12 等分可使误差不超过2110 52对梯形公式同样maxf '' ( x)1 , 由余项公式得0 x2rn ( f )2 ()122n110 522 分即n254.2,取n2 分255即区间 0,分 分为 510 等分可使误差

10、不超过2110 5212. 用改进 eu e格式求解初值问题：y 'yy(1)1y2 sin x0要求取步长h 为 1，计算y(1.）的近似值（保留小数点后三位) 提示 :sin1 0.84, i 1.1=0 9（ 6 分）解：改进 ul r 格式为 :yn 1ynhf ( xn , yn )yn 1yh n2f ( xn, yn )f ( xn1 , yn1 )2 分于是有yy0.1( yy2 sin x )n 1nnnn（ n= ,1,2)2 分2yy0.05( yy 2 sin xyysin x)n 1nnnnn 1n 1n 1由 y( ） =y0 =1，计算得y110.1(112 sin1)0.816y(1.1)2 分y10.838即（ 1.1)的近似值为0.8313.设f ( x)c ' a,b, x(a, b), 定义：f x, x limf x, x, 证明：f x , x f ' x（4 分）证明:0f ' x 0lim0xf xx 0f x0 0lim0f x, x 0f x0, x 0xx0xx0000xx0故可证出 f x0 , x0 n4 分f ' x0 14. 证明 :设 a证明：rn，