2022年2022年平面解析几何初步典型例题整理后

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载平面解析几何初步精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载经典例题导讲§ 7.1 直线和圆的方程精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 1 直线 l 经过 p（2、3 ） 、 且在 x、y轴上的截距相等、 试求该直线方程.303解：在原解的基础上、 再补充这样的过程: 当直线过 0、0时 、 此时斜率为 : k、202直线方程为y= 3 x2综上可得 : 所求直线方程为x+y-5=0 或 y= 3 x .2例 2 已知动点p 到 y 轴的距离的3 倍等于它到点a1、3 的距离的平方、 求动点 p 的轨迹方程 .52221

2、1223解：接前面的过程 、 方程化为x- 2 +y-3=4 、 方程化为 x+ 2 +y-3= -4 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5由于两个平方数之和不行能为负数、 故所求动点p 的轨迹方程为: x- 2 02+y-3221=4 x 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2222例 3 m为什么数时,关于x、y的方程（ 2m+m-1）x +（ m-m+2）y +m+2=0的图象表示一个圆？解： 欲使方程 ax2+cy2+f=0 表示一个圆,只要a=c 0,222得 2m+m-1=m-m+2,即 m+2m-3=0,解得 m1=1,m2=-3 ,22(1) 当 m=1

3、时,方程为2x +2y =-3 不合题意,舍去.22221精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(2) 当 m=-3 时,方程为14x+14y =1、 即 x +y =14 、 原方程的图形表示圆.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 4 自点 a-3 , 3 发出的光线l 射到 x 轴上,被x 轴反射,其反射光线所在直线与圆精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22x +y-4x-4y+7 0 相切,求光线l 所在的直线方程.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：设反射光线为l 、 由于 l 和 l关于 x 轴对称, l 过点 a-3 ,3 ,点 a

4、关于 x 轴的对称点 a -3 , -3 ,于为 l过 a-3 ,-3.设 l的斜率为k,就 l的方程为y-3k x-3,即 kx-y+3k-3 0,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载已知圆方程即x-22+y-22 1,圆心 o的坐标为 2 , 2 ,半径 r 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载因 l和已知圆相切,就o到 l的距离等于半径r 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2k23k3即k 2125k51k 21精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载整理得 12k -25k+12 0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解得 k4 或

5、k 334精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载l的方程为y+34 x+3;或 y+3 33 x+3 ；4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 4x-3y+3 0 或 3x-4y-3 0因 l 和 l关于 x 轴对称故 l 的方程为4x+3y+3 0 或 3x+4y-3 0.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 5求过直线x2 y40 和圆 x 2y22 x4 y10 的交点, 且满意以下条件之精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一的圆的方程：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载（ 1） 过原点；（ 2）有最小面积 .精品学习

6、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： 设所求圆的方程为：x 2y 22 x4 y1x2 y40精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即： x2y 2（1）由于圆过原点,所以14故所求圆的方程为：x2y 22x2 20 ,即147 x7 y0 .42y140精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）将圆系方程化为标准式,有：252445522x2y22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当其半径最小时,圆的面积最小,此时22为所求 .52精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故满意条件的圆的方程为x4y84

7、 .555精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 6（ 06 年辽宁理科） 已知点 ax1 、 y1 ,bx2 、 y2（ x1 x2 0）为抛物线y 22 px p0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载上的两个动点,o为坐标原点,向量oa、ob 满意 oaob oaob . 设圆 c 的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载方程为 x 2y x1x2 x y1y2 y0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2（1）证明线段ab 为圆 c 的直径；精品学习资料精选学习

8、资料 - - - 欢迎下载（2）当圆 c 的圆心到直线x2 y0 的距离的最小值为25 时,求p 的值 .25精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：（ 1）证明 oaob oaob ,（ oaob ）2（ oaob ） ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载整理得：oaob 0x1 x2 y1 y2 0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 m（x、 y ）为以线段ab为直径的圆上的任意一点,就mamb 0精品学习资料精选学习

9、资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即xx1 xx2 yy1 yy2 0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载整理得： x 2y x1x2 x y1y2 y0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2故线段 ab为圆 c 的直径 .（2）设圆 c 的圆心为 c（ x、 y ）,就x x1x2 2y y1y22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 y12 px1 , y22 px2 p0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

10、下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2122 x1 x2y 2 y 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4 p精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 x1 x2 y1 y2 0,x1 x2 y1 y2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12 y yy 2 y 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载124 p22 x1 x2 0, y1 y2 0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 y1y2 4 p精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

11、下载xx1x2 21 y 214 p2y21 y 214 p2y22 y1y2 1y y 4 p精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12y2p122p所以圆心的轨迹方程为y 2px2 p 2设圆心 c 到直线 x2 y0 的距离为,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载| x2 y |p| yp2p 2 |555p| 1 y 22 p2 2 y |精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 y p 时,有最小值 p 2.p ,由题设得5p 2555精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 -

12、- - 欢迎下载经典例题导讲 例 1 设双曲线的渐近线为：y圆锥曲线3 x ,求其离心率 .2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： 由双曲线的渐近线为y3 x 为不能确定焦点的位置在x 轴上的,当焦点的位置在y2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b轴上时,a2,故此题应有两解,即：3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2ec1baa21313.或23精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 2 设点 px、y在椭圆4 x2y24 上,求 xy

13、的最大.最小值.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载剖析： 此题中x.y 除了分别满意以上条件外,仍受制约条件4 x 2y24 的约束 . 当 x=1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载时、y此时取不到最大值2、 故 x+y 的最大值不为3. 其实此题只需令xcos、 y2 sin,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就 xycos2sin5 sin ,故其最大值为5 ,最小值为5 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

14、载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 3 已知双曲线的右准线为x4 ,右焦点f 10、0 、 离心率 e2 、 求双曲线方程 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解法一：设 p x、 y为双曲线上任意一点,由于双曲线的右准线为x4 ,右焦点f 10、0 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载离心率 e2 ,由双曲线的定义知 x10 2y 22.整理得x22y21.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载| x4 |1648精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

15、迎下载解法二：依题意,设双曲线的中心为a 2 m、0 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载m4c就cm10解得c2.aa4c8m2.、 所以b 2c 2a 2641648、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故所求双曲线方程为2 x22y1.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1648精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 4 设椭圆的中心为坐标原点,长轴x 在轴上,离心率e3,已知点2p 0、3 到这个2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载椭圆上的最远距离为7 ,求这个椭圆的方程.精品学习资料精

16、选学习资料 - - - 欢迎下载解： 如 b1,就当 y2b 时,d 2 （从而 d ）有最大值 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2于为 7 b3 2 、 从而解得 b211731 、与b2221 冲突 .2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以必有b,此时当2y时,2d（从而 d ）有最大值,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 4b 237 2 ,解得 b 21、 a 24.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2于为所求椭圆的方程为x4y 21.精

17、品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x 2例 5 从椭圆a 2y1 、 a >b>0 上一点 m向 x 轴所作垂线恰好通过椭圆的左焦点f1,2b 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载a.b 分别为椭圆长.短轴的端点,ab om设 q为椭圆上任意一点,当qf2 ab时,延长qf2与椭圆交于另一点p,如 f1pq的面积为203 ,求此时椭圆的方程精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： 此题可用待定系数法求解x2y2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b=c、a =2 c ,可设椭圆方

18、程为12c2c2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载pq ab、 kpq=-1ak abb2 ,就 pq的方程为y=2 x-c,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载代入椭圆方程整理得5x2-8cx+2c 2=0,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载依据弦长公式,得pq 62 c 、5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又点 f1 到 pq的距离 d= 26 c3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 s f1 pq1 pq d 243 c 25、 由 43 c25203,得 c225、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22故所求椭圆方

19、程为xy15025精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x2例 6已知椭圆：9弦 ab的长y21 ,过左焦点f 作倾斜角为6 的直线交椭圆于a.b 两点,求精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2解： a=3、b=1、c=22 ;就 f（ -22 , 0）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由题意知：l : y1 x32 2 与 x29y1 联立消去y 得：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4 x 2122 x150精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设

20、a（x1 、 y1 .b（ x2 、 y2 ,就x1 、 x2 为上面方程的二实根,由违达定理,x1x232精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x1x215 , xm4x1x2232 又由于 a.b.f 都为直线 l 上的点,2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 |ab|=11| x132x2 |3 x1x 24x1 x22181523精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2点评： 也可利用“焦半径”公式运算精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载

21、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2例 7（06 年全国理科）设p 为椭圆 xa 2个动点,求 pq的最大值 .y 21a1) 短轴的一个端点,q为椭圆上的一精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22解：依题意可设p（ 0、1 ）, q（x、 y ）,就 pqx2 y1 2,又由于q 在椭圆上,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以, x 2a1y , pqa1yy 22 y1 122a y22 y1a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料

22、 - - - 欢迎下载 1a2 y1 22221a 211a 21a 2 .11精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于 | y | 1 , a 1,如 a 2 ,就 |1| 1 ,当 ya21a 2时, pq取最大值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 2a 2a 211 ；如 1 a 2 ,就当 y1 时, pq取最大值2.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 8 已知双曲线的中心在原点,过右焦点f（ 2, 0）作斜率为3 的直线,交双曲线于5精品学习资料精选学习资

23、料 - - - 欢迎下载m.n 两点,且mn=4,求双曲线方程精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载222解： 设所求双曲线方程为x2y1a0、b0 ,由右焦点为（2, 0） 知 c=2,b =4- a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 2b 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2就双曲线方程为x2y1 ,设直线 mn的方程为：y3 x2) ,代入双曲线方程精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 24a 25精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2整理得： 20-8 a x 2+12 a 2 x+5 a 4-32 a=0212a 25a 43

24、2a 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 m（ x 1、y 1） 、nx 2、y 2 、 就 x1x2,208a2x1 x2208a 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载mn123x1x254x1 x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2812a225a 4432a224精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5208a208a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解得a 21 ,b 2413精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2故所求双曲

25、线方程为：x2y13点.直线和圆锥曲线经典例题导讲精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 例 1 求过点0、1的直线,使它与抛物线y2 x 仅有一个交点.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：当所求直线斜率不存在时,即直线垂直x 轴,由于过点0、1,所以 x0、 即 y 轴,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载它正好与抛物线y22 x 相切 . 当所求直线斜率为零时,直线为y = 1平行 x 轴,它正好精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习

26、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载与 抛 物 线y22 x 只 有 一 个 交 点 . 一 般 地 , 设 所 求 的 过 点0、1的 直 线 为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ykx1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ykx1 k0 、 就,y 22x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载k 2 x22 k2x10. 令10、 解得 k =2 、 所求直线为y1 x1.2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载综上,满意条件的直线为：y1、x20x 20、yy1 x1.2xm精品学习资料精选学习资料 -

27、 - - 欢迎下载 例 2 已知曲线c：y与直线 l：2仅有一个公共点,求m的范畴 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.（如图）,结合图y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载形易求得m的范畴为 m5或25m25 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载留意：在将方程变形时应时时留意范畴的变化,这样才不会出错.ox精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 例 3 已知 a.b 为圆x 2y21 与 x 轴的两个交点, cd为垂精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载直于 ab的动弦,直线ac和 db相交于点p,问为

28、否存在两个定点 e. f、使 |pe | |pf |为定值？如存在,求出e.y f 的坐标；如不存在,请说明理由.p解： 由已知得 a 1、 0 .b 1、 0 、c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 p x、 y 、 c x0 、 y0 、就 d x0 、y0 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由 a.c.p 三点共线得yy0x1x01aobxd精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由 d.b.p 三点共线得y 2×得yy0x1x012y02精品学习资料精

29、选学习资料 - - - 欢迎下载222x21x01精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2又x0y01、 y01x0,代入得x 2y 21 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即点 p在双曲线x 2y 21 上,故由双曲线定义知,存在两个定点e 2 、 0 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f 2 、 0 （即此双曲线的焦点） ,使 | | pe | | pf | | = 2 即此双曲线的实轴精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载长 为 定 值 . 例 4 已知椭圆的中心在坐标原点o,焦点在坐标轴上, 直线 y=x+1与该椭圆相交于p

30、和 q,10且 op oq, pq =,求椭圆的方程.2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2解： 设所求椭圆的方程为xa 2y 22 =1.b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载依题意知,点p.q的坐标满意方程组：x 2y 21a2b 2yx1将代入,整理得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 2b 2 x 22a 2 xa 2 1b 2 0 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设方程的两个根分别为x1.x2 ,就直线y=x+1 和椭圆的交点为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p x1、x1 +1 , q x2 、x2 +1精品学习资料

31、精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由题设 op oq, op =10,可得2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x11x2x1x2 xx 211 x1 x1 210 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载21212整理得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 x1 4 x1x2 x22 x1 x210216x1 x250精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解这个方程组,得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1x1 x24x1x21x1 x2或4x311x222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

32、下载依据根与系数的关系,由式得2a 232a 21精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a21a 2 1a 2b 22b 2 1b24或 2a 2a 2 1a 2b 22b 2 1b 24精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解方程组 1 .2 得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a2222a22或3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b3b22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故所求椭圆方程为x2y2=1 ,或x2y2=1.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载222233精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 例5 （ 06年 高 考 湖 南 ） 已 知 椭 圆c1 ：x 2y 2 1 , 抛 物 线c2 ：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载43 ym22 px p0 ,且 c1.c2 的公共弦ab 过椭圆 c1 的右焦点；（ 1）当 ab x 轴时,4精品学习资料精选学习资料 -