2015年考研数学二真题及答案（精编版）

1、2015年考研数学二真题一、选择题：（1 8 小题, 每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）(1) 下列反常积分中收敛的是(a)+1+ ?2?(b)2?(c)?+1?(d)?+? ?2?2?【答案】 d。【解析】题干中给出4 个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。+1+2?=?2?|2=+；+ ?+12+2?=? 2? ?(?=?)(?|?)= + ；2+1+12222|+?=?(?=?ln) ? (?)?= + ；+?+ -?-? |+ + -?2?=?-2?= -?2+ 2?2=2?-2-?-? | + =3?-2 ，因此(d) 是收

2、敛的。综上所述，本题正确答案是d。【考点】高等数学一元函数积分学反常积分?2(2)函数?( ?) = lim (1 +) ?在(- ,+ ) 内? 0?(a) 连续(b)有可去间断点(c) 有跳跃间断点(d)有无穷间断点【答案】 b【解析】这是“ 1”型极限，直接有 ?( ?) = lim?2)(1 + ? ?lim?2 (1+ ?lim? 0?=? 0? -1)=e? 0?= ?(?0) ,?( ?) 在?= 0处无定义，且lim ?( ?) =lim ?=1,所以 ?= 0是?( ?)的可去间断点，选b。? 0? 0综上所述，本题正确答案是b。【考点】高等数学函数、极限、连续两个重要极限(

3、3) 设函数 ?( ?) =?cos 1?, ?>0，( >0, ?> 0).若?( ?) 在?=0,? 00 处连续，则(a) ->1(b)0 <- 1(c) ->2(d)0 <?- 2【答案】 a【解析】易求出?-1 cos 1+ ?- -1sin1,?>0，?(?) =?0,? 0再有 ?( 0) =lim?( ?) -?( 0)=lim? -1 cos 1=+0,>1,x 0+?x 0+? 不存在， 1，?-?( 0) =0于是， ?(0) 存在?>1，此时 ?( 0) = 0.当>1 时， lim ? -1 cos 1

4、=0，x 0?lim ?- -1sin1 =0,-1 >0,x 0?不存在， -1 0，因此， ?(?) 在?=0连续? ->1。选 a综上所述，本题正确答案是c。【考点】高等数学函数、极限、连续函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4) 设函数 ?(?在) (- ,+ ) 内连续，其?(?)二阶导函数 ?(?)的图形如右图所示，则曲线 ?=?(?的) 拐点个数为aob?(a)0(b)1(c) 2(d)3【答案】 c【解析】 ?(?在) (- ,+ ) 内连续，除点 ?= 0外处处二阶可导。?= ?(?的) 可疑拐点是 ?(?) =0的点及 ?(?)不存在的点。?(?) 的零点有两

5、个，如上图所示，a 点两侧?(?)恒正，对应的 点不是 ?=?( ?)?拐点，b 点两侧 ?(?) 异号，对应的点就是 ?=?( ?)的拐点。虽然f (0)不存在， 但点x =0两侧f (x) 异号， 因而(0, f(0) )是y = f( x) 的拐点。综上所述，本题正确答案是c。【考点】高等数学函数、极限、连续函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5) 设函数 ?( ,满)足 ?(?+ ?,?)=?2 -?2 ，则?|与?|依次? =1 =1是? =1 =1(a) 12(c)-, 0(b) 0, 1211, 0(d) 0, -22【答案】 d【解析】先求出 f( ,)=x + y,x =,令y?

6、 ,1+ =x ,y =1+ 2于是f( ,) =2(1+ )-2 2(1+ )22 (1- )=1+ 22(-1)1+ 因此?f |? =1 =1=2(21+ -1)|=0( 1,1 )?f? | =1 =1=-22 (1+ )1|=-( 1,1 )22综上所述，本题正确答案是d。【考点】高等数学 -多元函数微分学 -多元函数的偏导数和全微分(6) 设 d 是第一象限中由曲线 2?=?1,4?=?1与直线 ?=?, ?=3?围成的平面区域，函数 f(x, y) 在 d 上连续，则 ? df( x, y) dxdy =(a) 31sin 2 d 1f(r cos r,sin )rdr42sin

7、 21(b) 34(c) 34d sin2 f(r cos r,sin )rdr1 2sin 211dsin 2 f(r cos,r sin )dr2sin 2(d) 3411d sin2 f(r cos r,sin )dr 2sin2【答案】b【解析】 d 是第一象限中由曲线 2xy =1,4xy =1与直线y =x, y =3x围成的平面区域， 作极坐标变换， 将? d积分。f( x, y) dxdy 化为累次d 的极坐标表示为 ，11 ，34sin 2因此2sin 2? df( x, y) dxdy=3411d sin2 f(rcos r,sin )rdr 2sin2综上所述，本题正确答

8、案是b。【考点】高等数学多元函数积分学二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。111(7) 设矩阵 a= 12? , b=14?21? 。若集合=1,2 ，则线性方程?2?=? ? 有无穷多解的充分必要条件为(a)?,?(b)?,?(c)?,?(d)?,?【答案】 d【解析】 ax =b 有无穷多解 ?r ( a|b) =r ( a) <3| a|是一个范德蒙德行列式，值为( a -1) (a -2) ,如果a?，则| a| 0， r( a) =3，此时ax =b有唯一解，排除 (a),(b)类似的，若 d? ，则r (a| b) =3，排除 (c)当a ,d 时， r( a|b) =r

9、 ( a) =2，ax =b 有无穷多解综上所述，本题正确答案是d。【考点】线性代数 -线性方程组 -范德蒙德行列式取值，矩阵的秩， 线性方程组求解。(8) 设二次型 ?(?1,?2 , ?3 ) 在正交变换 ?=?下? 的标准形为 2y1 2 +y2 2 -y3 2 , 其中?=(?,?= ?下? 的标准形为?,?), 若 q=(?,-?, ?) 在正交变换(a)2y1 2 -y22 +y3 2(b)2y1 2 + y2 2 -y3 2(c)2y1 2 -y22 -y3 2(d)2y1 2 + y2 2 + y3 2【答案】 a【解析】设二次型矩阵为a, 则200?-? ?=?= 010 0

10、0-1可见?, ?, ?都是 a的特征向量，特征值依次为2,1,-1，于是- ?也是 a的特征向量，特征值为 -1 ，因此200?=?-?= 0-10001因此在正交变换 ?=?下? 的标准二次型为 2y1 2 -y2 2 + y3 2综上所述，本题正确答案是a。【考点】线性代数 - 二次型- 矩阵的秩和特征向量， 正交变换化二次型为标准形。二、填空题： ( 914 ) 小题，每小题 4 分，共 24 分。?=?,?2 ?(9) 设?=3?+ ?3?,则|2?=?=1【答案】 48【解析】由参数式求导法?=?=?3+3?211+?2=3(1 +?2?) 2再由复合函数求导法则得?2 ? =?

11、3(1 +?2?) 2 = ? 3(1 + ?2?) 2 ?21?2?=6(1 + ?)? 2?2=12?(1+ ?2?) 2 ,?2 ?|?=1?=48?综上所述，本题正确答案是48。【考点】高等数学 - 一元函数微分学 - 复合函数求导(10) 函数?( ?) = ?2 2?在?=0处的 n 阶导数 ?(?) ( 0) =【答案】 ?(?-1) (?2?)-2 (?=1,2,3,? )【解析】解法 1用求函数乘积的 ?阶导数的莱布尼茨公式 在此处键入公式。?=0?( ?) ( ?)= ?( ?2 )?(2 ?) (?-?)?其中? =?!,注意( ?2 ) ?|= 0( ? 2)，?2 =

12、?(?-1) , 于是?(! ?-?) !?=0?2?( ?) ( 0) =?2 ?2? (2 ?) (?-2) |?=0=?( ?-1) (?2?)-2(?2)?( 0) = 0因此?( ?) ( 0) =?( ?-1) (?2?)-2 (?= 1,2,3, ?)解法 2利用泰勒展开?( ?) =?2 2? =?2 ?=22? ?=0(?2?)?!=?=0?2?!?+2 =?=2?-2 2( ?-2 ) !?由于泰勒展开系数的唯一性，得?-2 2( ?-2 ) !=?( ?) ( 0 )?!可得?( ?) ( 0) =?( ?-1) (?2?)-2 (?= 1,2,3, ?)综上所述，本题正

13、确答案是?( ?-1) (?2?)-2(?=1,2,3,? ?)【考点】高等数学一元函数微分学高阶导数，泰勒展开公式(11) 设函数 ?( ?)?连续， ( ?) =?( 1) =?20?(?.)?若?( 1) =1， (1)= 5,则【答案】 22【解析】改写 ( ?) =? ? ?(?)?, ?由?变限积分求导法得020( ?)? =? ?(?)?+?( ?2 )?2?=?20?(?)?+?2?2 ?( ?2 )由( 1)=1=1 ?(?)?，?( 1) =1 ?(?)?+?2?( 1) =1 + 2?( 1)00可得?( 1) = 2综上所述，本题正确答案是2【考点】高等数学一元函数积分

14、学变限积分函数的性质及应用(12) 设函数y =y( ?) 是微分方程 ?+?-2?=0 的解，且在?=0处 y( ?) 取得极值 3，则y( ?) =【答案】 ?-2? + 2?【解析】求 y( ?) 归结为求解二阶常系数齐次线性方程的初值问题?+?-2?=0y(0) =3，?(0 ) = 0由特征方程 2 + -2 =0可得特征根1 =-2，2 =1，于是得通解?=?1?-2? + ?2 ?又已知?1 + ?2 =3? =1，? =2-2?1 + ?2 =012综上所述，本题正确答案是?-2? + 2?【考点】高等数学常微分方程二阶常系数齐次线性方程(13) 若函数 ?=?(?, 由)方程

15、 ?+2?+3?+ ?=?1确定，则dz|( 0,0 ) =【答案】 -1?-?32?3【解析】先求?(0,0) ，在原方程中令 ?=0, ?=0得?3? = 1? ?(?0,0) =0方程两边同时求全微分得?+2?+3?( ?+?2?+?3?) ?+?+?+?=?0?令?=0, ?=0, ?=0得dx + 2dy + 3dz|( 0,0 ) = 0dz|( 0,0 )=-13?-?2 ?3综上所述，本题正确答案是-13?-?2 ?3【考点】高等数学 - 多元函数微分学 - 隐函数的偏导数和全微分(14) 设 3 阶矩阵 a 的特征值为 2,-2,1， ?=?-?+ ?, 其中 e 为 3阶单

16、位矩阵，则行列式 | b| =【答案】 21【解析】a的特征值为 2,-2,1,则 b的特征值对应为3,7,1所以| b| =21【考点】线性代数行列式行列式计算线性代数矩阵矩阵的特征值三、解答题： 1523 小题，共 94 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(15) 设函数 ?( ?)? =?+ ?(?1?+ ?) + ?,?( ?) = ?3?, 若?( ?) 与?( ?) 在?0时是等价无穷小，求 ?, ?, ?的值。【解析】利用泰勒公式?( ?) =?+ ?(?1?+?) + ?=?+ ?-1213(3 )13(3)? +2? +?3 + ?+?6? + ? =( 1 + ?

17、) ?+(?-?) ?2 + ?3 + ?( ?3 )23当?0时， ?( ?) ?( ?) ，则?=-1,?=-12, ?= -13【考点】高等数学函数、极限、连续无穷小的比阶，泰勒公式)(16) 设 a>0，d 是由曲线段 ?= ?(?0 2及直线y =0, ?= 所2围成的平面区域， ?1?, ?2?分别表示 d 绕?轴与绕 ?轴旋转所成旋转体的体积。若 ?1? =?2?，求 a 的值【解析】?22? =?2?2 sin ?2 = ?2?21-cos2? ?100?=?24由 a>0 可得?0?2 =2?2?0= -2 a2 ?cos ?=-2 a(?| 2? -2 ? ?)

18、 ?00=2?又 ? = ?可得 a=812【考点】高等数学一元函数积分学定积分的应用(17) 已知函数 ?( ?, ?) 满足?( ?, ?) =2( ?+ 1) ?, ?( ?0, ) =( ?+ 1) ?, ?( 0, ?) =?2 + 2?求?( ?, ?) 的极值。【解析】?由 ?(?, ?) = 2( ?+1) ?，得?(?, ?) = (?+ 1) 2 ?+ ?(?)?又已知 ?( ?0, ) =( ?+ 1) ?可得?+ ?( ?) =( ?+ 1) ?得?( ?) = ? ?,从而?(?, ?) = (?+ 1) 2 ?+ ? ?对?积分得?( ?, ?) =(?+1) 2

19、?+( ?-1) ?+ (y)又?( 0, ?) =?2 + 2?， 所以( y) =0所以?( ?, ?) =(?+ 1) 2 ?+ ( ?-1) ?于是?( ?, ?) =(2?+ 2)?,?( ?, ?) =(?+ ?2 + 2?+ 2)?,?( ?, ?) =2?令?( ?, ?)=0，? ( ?, ?)= 0得驻点 (0,-1)，所以a=?( 0, -1) =1b=?( 0, -1) = 0?c=?( 0, -1) =2?由于b2 -ac <0，a > 0, 所以极小值为 ?( 0, -1) =-1【考点】高等数学多元函数微分学二元函数的无条件极值(18) 计算二重积分

20、? ?(?+?)?,?其中 d=(?,?)|?2?+ ?2 2, ? ?2 【解析】因为区域 d关于 y 轴对称，所以 ? ?=?0?d0原式=?2 ?=?2? 1 2-?2?2?2 ?1=2 0?2 ( 2-?2 -?2 )?1=2 0?2 2-?2 ?-?12 0?4 ?令?=2 ?,?则?12?221? ?2-?2 ?=?4 4 ?=?4( 1 -?)?4?=?00208又 1 ?4 ?=? 105所以二重积分 =?-245【考点】高等数学多元函数积分学二重积分的计算(19) 已知函数?( ?) =数1?1+?2?+?211 + ? ?，?求?( ?) 的零点个【解析】?( ?) =-

21、1+ ?2 + 2? +1?2, 令?( ?) =0，得驻点 ?=1 ,22当?<1 时， ?( ?) <0,?( ?) 单调减少；2当?>1 时， ?( ?) >0,?( ?) 单调增加；因为?( 1) =0，所以 ?( ?) 在( 121,+)上存在唯一零点。1又?()< ?( 1) =0,lim?( ?) =+ ，所以 ?( ?) 在(-，) 上存2在唯一零点。? - 2综上可知， ?( ?)有且仅有两个零点。【考点】高等数学一元函数微分学方程的根（零点问题）(20) 已知高温物体置于低温介质中， 任一时刻改物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正

22、比。现将一初始温度为120 的物体在 20恒温介质中冷却， 30min 后该物体降温至30，若要将该物体的温度继续降至21，还需冷却多长时间？【解析】设该物体在 t时刻的温度为 ?( ?)?，由题意得?=-?(?-20)?其中 k 为比例系数， k>0. 解得?= ?-?+ 20将初始条件 t(0)=120代入上式，解得c=100所以将?=30, ?=30 代入得 ?=?1,030- ?10?= 100?30 ?+ 20令 t=21，得 t=60,因此要降至 21 摄氏度，还需60-30=30 （min ）【考点】高等数学常微分方程一阶常微分方程，微分方程应用(21) 已知函数 ?( ?

23、)在区间 ?+, 上具有 2 阶导数， ?( ?) = 0, ?( ?) >0,?(?) >0. 设?>?曲, 线?=?( ?) 在点( ?, ?(?) )处的切线与 ?轴的交点是 ( ?0 ,0),证明?<?0? <?【解析】曲线?=?( ?) 在点( ?, ?(?) )处的切线方程是?-?( ?) =?( ?) (?-?) ,解得切线与 ?轴交点的横坐标为?0?=?-?(?)?(?)由于?( ?) >0，故?( ?) 单调增加。由 ?>?可知 ?(?) >?( ?) =0.又?( ?) >0, 故 ?(?) > 0, 即有?<?(?)0? -a =b -?(?) -?=( ?-?) ?( ?) -?(?)0?(?)?(?)由拉格朗日中值定理得?( ?) =?( ?) -?( ?) = ?( ?)( ?-?) ,?<?<?因为?(?) >0，所以 ?( ?) 单调增加，从而 ?( ?)? <?( ?) , 故?( ?) <?( ?)( ?-?)由此可知 ?0 -?>0