2012年元月武汉理工大学线性代数试题及答案

1、 试卷装订线 装订线内不要答题，不要填写考生信息试卷装订线 姓 名学 号专业班级学院武汉理工大学考试试卷（a卷）2011 2012 学年第1 学期 线性代数 课程 闭卷 时间120分钟， 40 学时， 学分，总分100分，占总评成绩 % 2012年1月11日题号一二三四五六合计满分151528151512100得分得分 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1.已知是同阶方阵，下列等式中正确的是 ( ) .a b. c. d.2.线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩的关系是 ( ) .a b.c. d.或3.设是矩阵，则下列命题正确的是 ( ) .a.的行向量组线性无关 b.的

2、行向量组线性相关c.的列向量组线性无关 d.的列向量组线性相关4.是正交矩阵，则下列命题正确的是 ( ) .a.的行向量组是正交单位向量组 b.的行列式为1c.的特征值为1或-1 d.5.设阶方阵与相似，则下列命题不正确的是 ( ) .a b.c.与有相同的特征值 d.与有相同的特征向量a卷1得分二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1设，则 。2设为三阶方阵，且，则 。3设是 阶矩阵，的秩，则齐次线性方程组 的基础解系所含解向量的个数是 。4设3阶方阵的特征值是1，2，3，则的值是 。5.得分 三、计算题（本大题共4小题，共28分）1. 计算行列式：的值.2. 已知，矩阵满足，求

3、矩阵.3.设向量组求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示. 4. 已知可逆矩阵的伴随矩阵有一个特征向量，求参变量.四、（本题15分）已知线性方程组 （1）讨论为何值时，方程组有唯一解、无穷多个解或无解（2）当方程组有无穷多个解时，求出其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系）.五. （本题15分）设矩阵，求正交矩阵，使为对角阵. 六、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）1. 设n阶矩阵满足，证明：（1） ；（2） 2. 设为n阶矩阵，为n维列向量，, 作.若为非零向量组证明它是线性无关组. 装订线 装订线内不要答题，不要填写信息装订线 武汉理工大

4、学考试试题答案（a卷）2011 2012 学年 1 学期 线性代数 课程一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.a； 2.d； 3.d； 4.a； 5.d.二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 24 2.500 3. n-r 4. 15048(或38,22,18) 5. 三、计算题（本大题共4小题，共28分）1. =12 (7分) 或d=（4-1）（4-2）（4-3）（3-2）（3-1）=122.由得 （1分） （2分）所以 （3分） （5分）故 . （7分）3. (3分) (5分)所以r(a)=3，是最大无关组(7分)a卷134.根据题意 有特征向量则也有相同的特征向量 （3分)设对应特征值为则： (5分)即 解得 (7分)四、（本题15分）增广矩阵为 （1分） （5分）时，无解；时，有无穷多解； （8分）且时，有惟一解.时， （11分）基础解系，特解. （13分）通解,为任意常数. （15分）五. （本题15分） (3分)当时 (5分)取正交特征向量为=（1，1，0），=（1，-1，2），(9分)当时 (11分)特征向量可取为=（-1，1，1） (13分)取正交阵则 (15分)六、证明题（每小题6分，共12分）1.证明：由题意则 所以与互为逆矩阵即