2007年全国初中数学联赛试题及答案

1、2007年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 已知满足，则的值为（ ）a1. b. c. d.2当分别取值，时，计算代数式的值，将所得的结果相加，其和等于（ ）a1. b1. c0. d2007.3. 设是的三边长，二次函数在时取最小值，则是（ ）a等腰三角形. b锐角三角形. c钝角三角形. d）直角三角形.4. 已知锐角的顶点到垂心的距离等于它的外接圆的半径，则的度数是（ ）a30°. b45°. c60°. d75°.5设是内任意一点，、的重心分别为、，则的值为（ ）a. b. c. d.6袋中装有5个红球

2、、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是（ ）a. b. c. d.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1. 设，是的小数部分，是的小数部分，则_ 2. 对于一切不小于2的自然数，关于的一元二次方程的两个根记作（），则= 3. 已知直角梯形的四条边长分别为，过、两点作圆,与的延长线交于点，与的延长线交于点，则的值为 4 若和均为四位数，且均为完全平方数，则整数的值是 第二试（a）一、（本题满分20分）设为正整数，且，如果对一切实数，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离不小于，求的值.abcdefmnp二、（本题满分25分）如图，四边形是梯形，点是上底边上

3、一点，的延长线与的延长线交于点，过点作的平行线交的延长线于点，与交于点.证明：=.三、 （本题满分25分）已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根.第二试（b）一、（本题满分20分）设为正整数，且，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为.如果对一切实数恒成立，求的值.二、（本题满分25分）题目与（a）卷第二题相同.三、（本题满分25分）设是正整数，二次函数，反比例函数，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求的值.第二试（c）一、（本题满分20分）题目与（b）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目与（a）

4、卷第二题相同.三、（本题满分25分）设是正整数，如果二次函数和反比例函数的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求的值和对应的公共整点.2007年全国初中数学联合竞赛试题答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.b 2.c 3.d 4.c 5.a 6.b（解析：1.由得，所以，故选b.注：本题也可用特殊值法来判断.2 因为，即当分别取值，为正整数）时，计算所得的代数式的值之和为0；而当时，.因此，当分别取值，时，计算所得各代数式的值之和为0.故选c.3. 由题意可得即所以，因此，所以是直角三角形. 故选d.4. 锐角的垂心在三角形内部，如图，设的外心为，为的中点，的延长线

5、交于点，连、，则/，/，则，所以30°，60°，所以60°.故选c.5 a.分别延长、，与的三边、交于点、，由于、分别为、的重心，易知、分别为、的中点，所以.易证，且相似比为，所以.所以.故选a.6设摸出的15个球中有个红球、个黑球、个白球，则都是正整数，且，.因为，所以可取值2，3，4，5.当时，只有一种可能，即；当时，有2种可能，或；当时，有3种可能，或或；当时，有4种可能，或或或.因此，共有123410种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种，所以所求的概率为.故选b.）二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1.1 2. 3.4 4.7

6、（解析：1.，而，.又，而，.，.2.由根与系数的关系得，所以，则， .3.延长交于点，设的中点分别为点，则易知.因为，由割线定理，易证，所以.4设，则，两式相减得，因为101是质数，且，所以，故.代入，整理得，解得，或（舍去）.所以.）第二试 （a）一、（本题满分20分）解：因为一元二次方程的两根分别为和，所以二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为 （5分）由题意，即，即（10分）由题意知，且上式对一切实数恒成立，所以（15分）所以或（20分）二、（本题满分25分）abcdefmnp证明:设与交于点，/，,.(5分)又/，,.(10分),故(15分)又=，pnfpmc，pnfpmc，nf/m

7、c(20分)anfedm.又me/bf，fanmed.anffanedmmed，afn=dme.(25分)三、（本题满分25分）解：观察易知，方程有一个整数根，将方程的左边分解因式，得（5分）因为是正整数，所以关于的方程 （1）的判别式，它一定有两个不同的实数根.而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式应该是一个完全平方数.（10分）设（其中为非负整数），则，即.（15分）显然与的奇偶性相同，且，而，所以或或解得或或而是正整数，所以只可能 （20分）当时，方程（1）即，它的两根分别为和.此时原方程的三个根为1，和.当时，方程（1）即，它的两根分别为和.此时原方程的三个根

8、为1，和.（25分）第二试 （b）一、（本题满分20分）解：因为一元二次方程的两根分别为和，所以；一元二次方程的两根分别为和，所以.（5分）所以， （1）（10分）由题意知，且（1）式对一切实数恒成立，所以 （15分）所以（20分）二、（本题满分25分）题目与（a）卷第二题相同.三、（本题满分25分）解：联立方程组消去得，即，分解因式得 （1）（5分）显然是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点.因为是正整数，所以关于的方程（2）的判别式，它一定有两个不同的实数根.（10分）而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式应该是一个完全平方数. 设

9、（其中为非负整数），则，即.（15分）显然与的奇偶性相同，且，而，所以或或解得或或而是正整数，所以只可能或 （20分）当时，方程（2）即，它的两根分别为和，此时两个函数的图象还有两个交点和.当时，方程（2）即，它的两根分别为和，此时两个函数的图象还有两个交点和.（25分）第二试 （c）一、（本题满分25分）题目与（b）卷第一题相同.二、（本题满分25分）题目与（a）卷第二题相同.三、（本题满分25分）解：联立方程组消去得，即，分解因式得（1）（5分）如果两个函数的图象有公共整点，则方程（1）必有整数根，从而关于的一元二次方程 （2）必有整数根，所以一元二次方程（2）的判别式应该是一个完全平方数.（10分）而.所以应该是一个完全平