2022年2022年初三数学圆知识点复习专题经典

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结优秀学问点圆章节学问点复习一.圆的概念集合形式的概念：1. 圆可以看作为到定点的距离等于定长的点的集合；2.圆的外部：可以看作为到定点的距离大于定长的点的集合；3.圆的内部：可以看作为到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1.圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就为以定点为圆心,定长为半径的圆；（补充 ） 2.垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹为这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3.角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹为这个角的平分线；4.到直线的距离相等的点的轨迹为：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5.到两条平行线

2、距离相等的点的轨迹为：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线；二.点与圆的位置关系ad1 .点在圆内dr点 c 在圆内；rob2 .点在圆上dr点 b 在圆上；3 .点在圆外dr点 a 在圆外；三.直线与圆的位置关系1 .直线与圆相离dr无交点 ；2 .直线与圆相切dr有一个交点；3 .直线与圆相交dr有两个交点；dcrdd=rrd四.圆与圆的位置关系外离（图1）无交点drr；外切（图2）有一个交点drr；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结优秀学问点相交（图3）有两个交点rrdrr；内切（图4） 内含（图5）有一个交点无交点d dr rr ；r ；dddrrrr

3、rr图 1图 2图3ddrrrr图4图 5五.垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧；推论 1：（1 ）平分弦（不为直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；（ 2 ）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；（ 3 ）平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理,简称2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中,只要知道其中2 个即可推出其它3 个结论,即： ab 为直径 abcd cede弧 bc弧 bd弧 ac弧aad中任意 2 个条件推出其他3 个结论；oe推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等；cdcdbob即：在 o 中, a

4、b cda弧ac弧 bd例题 1. 基本概念1下面四个命题中正确的一个为（）a 平分一条直径的弦必垂直于这条直径b 平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结优秀学问点c弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心d在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2以下命题中,正确选项（）a 过弦的中点的直线平分弦所对的弧b 过弦的中点的直线必过圆心c弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦,且过圆心d弦的垂线平分弦所对的弧例题 2.垂径定理1. 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如下列图, 假如油的最大深度为 16cm,那么油面宽度ab 为

5、cm.2.在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,假如油面宽度为48cm,那么油 的最大深度为 cm.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.如图,已知在o 中,弦 abcd ,且 abcd ,垂足为 h , oeab 于 e , ofcd 于 f .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）求证：四边形oehf 为正方形 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）如 ch3 , dh9 ,求圆心 o 到弦 ab 和 cd 的距离 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4.已知： abc 内接于

6、o, ab=ac ,半径 ob=5cm ,圆心 o 到 bc 的距离为 3cm,求 ab 的长5.如图, f 为以 o 为圆心, bc 为直径的半圆上任意一点,a 为的中点, ad bc 于 d ,求证： ad=f1bf.2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ae精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例题 3.度数问题1.已知：在o 中,弦 abbdoc12cm , o 点到 ab 的距离等于ab 的一半,求：aob的度数和圆的半径.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.已知： o 的半径 oa例题 4.相交问题1,弦

7、 ab.ac 的长分别为2 .3 .求bac 的度数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如图,已知o 的直径 ab 和弦 cd 相交于点e, ae=6cm , eb=2cm , bed=30 °,求 cd 的长 .ceabod例题 5.平行问题在直径为50cm 的 o 中,弦 ab=40cm ,弦 cd=48cm ,且 ab cd ,求： ab 与 cd 之间的距离 .例题 6.同心圆问题精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结优秀学问点如图,在两个同心圆中,大圆的弦ab ,交小圆于c.d 两点,设大圆和小圆的半精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

8、径分别为a 、b .求证： adbda 2b 2 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例题 7.平行与相像已知： 如图, ab 为 o 的直径, cd 为弦, aecd 于e ,bfcd 于 f .求精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证：ecfd .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载六.圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等；此定理也称1推 3 定理,即上述四个结论中,e只要知道其中的1 个相等,就可以推出其它的3 个结

9、论,f o即：aobdoe ； abde ；dac ocof ；弧 ba弧 bdb七.圆周角定理c1 .圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半；即：aob 和acb 为弧 ab 所对的圆心角和圆周角boaaob2acb2 .圆周角定理的推论：dc推论1 ：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载等弧；即：在 o 中,c .d 都为所对的圆周角 cd推论2 ：半圆或直径所对的圆周角为直角；圆周角为直角所对的弧b oac为半圆,所对的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载弦为直径；bao即：在 o 中,

10、ab 为直径或c90精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结优秀学问点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c90ab 为直径精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载推论3 ：如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形为c直角三角形；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即：在 abc 中,ocoaobabc 为直角三角形或baoc 90精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注：此推论实为初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理；【例 1】用直角钢尺检查某一工件为否恰好为半圆环形,依据图形3-3-19所表示的

11、情形,四个工件哪一个确定为半圆环形？【例 2】如图,已知o中, ab为直径, ab=10cm,弦 ac=6cm, acb的平分线交 o 于 d,求 bc. ad和 bd的长【例 3】如下列图,已知ab为 o的直径, ac为弦, odbc,交 ac于 d, bc=4cm（ 1）求证： ac od；（ 2）求 od的长；（ 3）如 2sina 1=0,求 o的直径【例 4】四边形abcd中, ab dc, bc=b, ab=ac=ad=,a 如图,求bd的长【例 5】如图 1, ab为半 o的直径,过a.b 两点作半 o 的弦,当两弦交点恰好落在半o 上 c 点时,就有 ac· ac b

12、c· bc=ab22（ 1）如图 2,如两弦交于点p 在半 o内,就 ap· ac bp· bd=ab为否成立？请说明理由2（ 2）如图 3,如两弦 ac.bd的延长线交于p 点,就 ab=参照（ 1）填写相应结论,并证明你填写结论的正确性精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结优秀学问点八.圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角；即：在 o 中,dc四边形 abcd 为内接四边形精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cbad daec180bd180bae精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例

13、 1.如图 7-107 , o中,两弦abcd, m为 ab的中点,过m点作弦 de求证： e, m, o, c四点共圆九.切线的性质与判定定理（ 1 ）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线为切线；两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不行即： mnoa 且 mn 过半径 oa 外端mn 为 o 的切线o精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2 ）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论 1 ：过圆心垂直于切线的直线必过切点；推论 2 ：过切点垂直于切线的直线必过圆心；man精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结优秀学问点以上三个定理及推论也称二推

14、肯定理：即：过圆心；过切点；垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最终一个；十.切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角；即： pa . pb 为的两条切线bpapboppo平分bpaa利用切线性质运算线段的长度例 1： 如图,已知： ab为 o的直径, p 为延长线上的一点,pc切 o于 c,cdab于 d,又 pc=4, o的半径为 3求： od的长利用切线性质运算角的度数例 2： 如图,已知： ab 为 o的直径, cd切 o于 c,ae cd于 e, bc的延长线与ae的延长线交于f,且 af=bf求： a 的度数利用切

15、线性质证明角相等例 3： 如图,已知： ab 为 o的直径,过a 作弦 ac.ad,并延长与过b 的切线交于m.n求证： mcn= mdn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结优秀学问点利用切线性质证线段相等例 4： 如图,已知： ab 为 o直径, co ab, cd切 o于 d, ad交 co于 e求证： cd=ce利用切线性质证两直线垂直例 5： 如图,已知：abc中, ab=ac,以 ab 为直径作 o,交 bc于 d, de切 o于 d,交 ac于 e求证： de ac十一.圆幂定理dbo（ 1 ）相交弦定理 ：圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等；pa即：在

16、o 中,弦 ab . cd 相交于点p ,cpa pbpcpd精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2 ）推论：假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半为它分直径所成比例中项；即：在 o 中,直径 abcd ,cboea d的两条线段的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ce 2aebe精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结优秀学问点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 3 ） 切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割线,切线与圆交点的两条线段长的比例中项；p即：在 o 中, pa 为切线,pb 为割线a线

17、长为这点到割deocb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 pa2pcpb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 4 ）割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图） ；即：在 o 中, pb . pe 为割线pc pbpd pe例1. 如图 1,正方形abcd的边长为 1,以 bc为直径；在正方形内作半圆o,过 a 作半圆切线,切点为f,交 cd于 e,求 de： ae的值；例2. o中的两条弦ab 与 cd相交于 e,如 ae 6cm, be2cm, cd7cm,那么 ce c

18、m；图2例3. 如图 3, p 为o 外一点, pc切o 于点 c, pab为o 的割线,交o 于 a.b 两点,假如pa： pb 1： 4, pc 12cm,o的半径为 10cm,就圆心o到 ab的距离为 cm；图3例4. 如图 4,ab为o 的直径,过b 点作o 的切线 bc, oc交o 于点 e,ae的延长线交bc于点 d,（1）求证：；（ 2）如 ab bc 2厘米,求ce.cd的长；图4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载名师总结优秀学问点例5. 如图 5,pa.pc切o 于 a.c, pdb为割线；求证： ad·bccd·ab图5例6. 如图 6,在直

19、角三角形abc中, a90°,以ab边为直径作 o,交斜边bc于点 d,过 d点作o 的切线交 ac于 e；图6求证： bc 2oe；十二.两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦；a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如图：o1o2 垂直平分ab ；o1o2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即：o1 . o2 相交于 a . b 两点b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载o1o2 垂直平分ab十三.圆的公切线两圆公切线长的运算公式：abco1o2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 -

20、 - - 欢迎下载（ 1 ）公切线长：rto o c 中, abcoo oco；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2222121122精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2 ）外公切线长：co2 为半径之差；内公切线长：co2 为半径之和；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载十四. 圆内正多边形的运算c（ 1 ）正三角形ob在 o 中 abc 为正三角形,有关运算在rtbod 中进行：a d精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载od :bd : ob1 :3 : 2；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2 ）正四边形同理,四边形的有关运算在rtoae 中进行,oe : ae : oabco