2022年2022年初三《圆》知识点及定理

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载相交（图3）有两个交点rrdrr ；一.圆的概念内切（图4）有一个交点drr；集合形式的概念：21 . 圆可以看作为到定点的距离等于定长的点的集合；.圆的外部：可以看作为到定点的距离大于定长的点的集合；内含（图5）无交点drr；3.圆的内部：可以看作为到定点的距离小于定长的点的集合圆学问点及定理外切（图 2）有一个交点drr ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载轨迹形式的概念：1.圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就为以定点为圆心,定长为半径的圆；（补充 ） 2.垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹

2、为这条线段的垂直平分线（也叫中垂线） ；3 .角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹为这个角的平分线；4 .到直线的距离相等的点的轨迹为：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5 .到两条平行线距离相等的点的轨迹为：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线；二.点与圆的位置关系1.点在圆内dr点 c 在圆内；2.点在圆上dr点b 在圆上；3.点在圆外dr点a 在圆外；adrobd三.直线与圆的位置关系c1.直线与圆相离dr无交点；2.直线与圆相切dr有一个交点；3.直线与圆相交dr有两个交点；rdd=rrdddrrrr图1图2dddrrrrrr图3图 4图5五.垂径定理

3、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧；推论 1：（ 1）平分弦（不为直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；（ 2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；（ 3）平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理, 简称 2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3 个结论,即： ab 为直径 abcd cede 弧 bc弧 bd弧 ac弧 ad中任意 2 个条件推出其他3 个结论；a推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等；即：在 o 中, ab cdcd弧 ac弧 bdooabecdeb六.圆心角定理f圆心角定

4、理：同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相o四.圆与圆的位置关系等,所对的弧相等,弦心距相等；此定理也称1 推 3 定理,外离（图1）无交点drr；即上述四个结论中,da精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载只要知道其中的1 个相等,就可以推出其它的3 个结论,即：aobdoe ； abde ； ocof ；弧 ba弧 bd七.圆周角定理 1.圆周角定理： 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半；即：aob 和acb 为弧 ab 所对的圆心角和圆周角线；两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不行即： mnoa 且 mn 过半径 oa

5、外端 mn 为 o 的切线c（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点；o推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载aob2acbbo以上三个定理及推论也称二推肯定理：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中, 相等的圆周角所对的弧为等弧；即：在 o 中,c .d 都为所对的圆周角cd推论 2：半圆或直径所对的圆周角为直角；圆周角为直角所对的弧为半圆,所对的弦为直径；a即：过圆心；过切点；垂直切线,三个条件中知dc道其中两个条

6、件就能推出最终一个；十.切线长定理b o切线长定理：a从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长c相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角；即： pa . pb 为的两条切线manbop精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即：在 o 中, ab 为直径或c 90 papbab a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c90 ab 为直径opo 平分bpa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载推论 3：如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形为直角三角形；即：在abc 中, ocoaobc 十一.圆幂定理d（ 1）相交

7、弦定理 ：圆内两弦相交, 交点分得的bo两p条线段的乘积相等；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 abc 为直角三角形或c90boa即：在 o 中,弦ab . cd 相交于点 p ,a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c注：此推论实为初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理；八.圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角；即：在 o 中,四边形abcd 为内接四边形c pa pbpcpd（ 2）推论：假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半直径所成的两条线段的比例中项；即：在 o 中,直径abcd ,d2cb

8、oea d为它分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cbad180bd180 ceaebea精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载daec九.切线的性质与判定定理b（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线为切（ 3） 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割ed线,切线长为这点到割线与圆交点的两条线段长ocb的比例中项；pae即：在 o 中, pa 为切线, pb 为割线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载pa2pcpb同理,六边形的有关运算在rtoab 中进行,ab : ob : oa1:3 : 2 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资

9、料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 4）割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）；即：在 o 中, pb . pe 为割线 pcpbpd pe十五.扇形.圆柱和圆锥的相关运算公式anr精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载十二.两圆公共弦定理1.扇形：（ 1）弧长公式：l；180nr21osl精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦；a（ 2）扇形面积公式：slr3602b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如图：o1o2 垂直平分ab ；o1o2n ：圆

10、心角r ：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长s ：扇形面积精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即：o1 . o2 相交于 a . b 两点b2.圆柱：（ 1）圆柱侧面绽开图dad1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 o1o2 垂直平分abss2 s= 2rh2r 2母线长精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载十三.圆的公切线a 表侧底b底面圆周长b c1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载两圆公切线长的运算公式：c（1）公切线长： rt o o c 中,ab2co 2o o 2co 2 ；o1（ 2）圆柱的体积：cvr 2 hb1精品学习资料精选学习资料

11、 - - - 欢迎下载121122o2（ 2）圆锥侧面绽开图精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）外公切线长：co2 为半径之差；内公切线长：co2（ 1） sss=rrr 2o精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为半径之和；十四. 圆内正多边形的运算c 表侧底12r精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1）正三角形（ 2）圆锥的体积：ovr h3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在 o 中 abc 为正三角形,有关运算在rtbod 中进十六.圆中常见的帮助线carb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载行： od: bd: ob1:3 :

12、 2 ；b da1）作半径,利用同圆或等圆的半径相等2）作弦心距,利用垂径定理进行证明或运算,或利用“圆心.弧.弦.弦心距” 间的关系进行证明精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）正四边形b同 理 , 四 边 形 的 有 关 计 算 在 r to a e中 进 行 ,c 3）作半径和弦心距,构造由“半径.半弦和弦心距”组成的直角三角形进行运算 4）作弦构造同弧或等弧所对的圆周角精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载o e:a e:o a1 : 1 : ：2ooaed5) 作弦.直径等构造直径所对的圆周角直角6) 遇到切线,作过切点的弦,构造弦切角7) 遇到切线,作过切点的

13、半径,构造直角精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（3）正六边形ba精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8) 欲证直线为圆的切线时,分两种情形：1 如知道直线和圆有公共点时,常连结公共点和圆心证明直线垂直；2 不知道直线和圆有公共点时,常过圆心向直线作垂线,证明垂线段的长等于圆的半径9) 遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点10) 遇到三角形的内心,常作：1 内心到三边的垂线；2 连结内心和三角形的顶点11) 遇相交两圆,常作：1 公共弦； 2 连心线12) 遇两圆相切,常过切点作两圆的公切线13) 求公切线经常过小圆圆心向大圆半径作垂线,将公切线平移成直角三角形的一条直角边十七.圆中较特别的帮助线1) 过圆外一点或圆上一点作圆的切线2) 将割线.相交弦补充完整3) 作帮助圆例 1 如图 23-11 , ca为 o的切线,切点为a,点 b 在 o上,假如 cab 55°,那么 aob等于 a 35°b 90°c 110°d 120°例 2 假如圆柱的底面半径为4cm,母线长为5cm,那么侧面积等于 abcd例 3 如图