2022年2022年初一数学一题多解

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载例题一. 如图 1,已知 ab/cd,试找出b .bed 和d 的关系并证明；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载我们找出他们的关系为：bedbd ；证明如下：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载方法一：如图 2,过点 e 作 ef/ab ；由于ab /ef ,所以befb ；由于ab / cd ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab / ef,所以ef / cd,所以fedd,所以精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习

2、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bedbeffedbd ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载方法二：如图3,过点 e 作 ef/ab ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于 ab /ef ,所以befb180 , 即bef180b ；由于ab / cd ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab / ef,所以ef / cd,所以fedd180,即fed180d ；由于精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载befbedfed360,所以精品学习资料精选学

3、习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bed360beffed 360180b180d bd ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载方 法 三 ： 如 图4 , 连 接bd； 因 为ab / cd, 所 以abdb dc1 8 0 , 即精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载abeedc180ebdedb；在bed中,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bed180ebdedb ,所以bedab

4、eedc ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载方法四：如图5,过点e 做 fgab ,垂足为点f,交 cd于点 g；由于ab / cd ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以egd180efb90；在直角 egd中,ged90d ,在直角 efb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载中,f90e bb ,所以精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bed180gedfeb18090d90bbd ；精品学习资料精选学习资

5、料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载方法五：如图6,延长 be交 cd于点 f；由于ab / cd,所以efdb ；在 efd精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载中,efdd180fed,又因为bed180fed,所以精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bedefddbd ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例题二. 证明：假如一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形为直角三角形已知：如图1,在 abc中, ad=bd=cd求

6、证： abc为直角三角形证法 1如图 1,利用两锐角互余 ad=cd, cd=bd, 1= a, 2= b；在 abc中, a+ b+ acb=180°, a+ b+ 1+ 2=180°, 2（ a+ b）=180°, a+ b=90°, acb=90°, abc为直角三角形；证法 2如图 2,利用等腰三角形的三线合一延长 ac到 e 使 ce=ac,连接 be ad=bd, cd为 abe的中位线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 cd1 be ；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 cd1 ab ,2精品学习资料精选

7、学习资料 - - - 欢迎下载 ab=be bcac, abc为直角三角形证法 3如图 3,利用此三角形与某个直角三角形相像（或全等）过点 d作 de bc交 bc于点 e cd=bd,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 be1 bc ,2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 bebcbd1,ab2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 b 为公共角, bde bac； acb= deb=90°, abc为直角三角形；证法 4如图 4,利用假如一条直线垂直于两平行线中的一条,就也垂直于另一条取 bc中点 e,连接 de ad=bd, de为 abc的中位

8、线 deac cd=bd, ce=be, debc acbc, abc为直角三角形证法 5如图 5,构造四边形,并证其为矩形延长 cd到 e 使 de=cd,连接 ae.be ad=bd=cd精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 ad=bd=cd=de且、 ab=ce四边形 abcd为矩形 acb=90°, abc为直角三角形证法 6如图 6,利用勾股定理的逆定理设 ac=b, bc=a, ab=c,取 bc中点 e,连接 de de为 abc的中位线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 de1 ac21 b ；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 c

9、d=bd, de bc；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载在 rt deb中,de 2be 2bd 2 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载21 b2221 a1 c；22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 a 2b 2c 2 , abc为直角三角形；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载证法 7如图 7,利用两直线平行,再证同旁内角相等；延长 cd到 e 使 de=cd,连接 be； ad=bd, 1= 2, adc bde（ sas）, acd= e, a

10、c=be, acbe, acb+ ebc=180°；又 ad=cd, ab=ce； bc为公共边, acb ebc（ sss）； acb= ebc； acb=90°, abc为直角三角形；证法 8如图 8,利用直径所对的圆周角为直角；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载以 d 为圆心, da长为半径作圆； ad=bd=c,d点 c.b 在圆上, ab 为直径； acb=90°； abc为直角三角形；例题三. 某人买 13 个鸡蛋. 5 个鸭蛋. 9 个鹌鹑蛋, 共用去 9.25 元, 假如买 2 个鸡蛋.4 个鸭蛋. 3 个鹌鹑蛋,就共用去3.20 元,

11、试问只买鸡蛋.鸭蛋.鹌鹑蛋各1 个,共需多少钱？这类题目的特点为所能列出的方程的个数少于未知数的个数,看似不行解, 但由于所求的并不为每一个未知数的值,而为一个代数式的值；所以可解； 这类题对同学来说为有一些难度的,但假如把握了以下方法,既可以化繁为简,又可以收到一题多解,提高同学才能的成效；下面让我们先来列出方程；设鸡蛋.鸭蛋.鹌鹑蛋的单价分别为x .y .z 元,就依据题意,可得方程精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载13x5 y2x4 y9z9.25,求 x3z3.20yz 的值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解法一：变元法：1zx把 z 看成常数,解关于x.y

12、 的方程,可得21110zy20精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载然后代入所求式xyz 中,得： xyz1z 21110 z20z1.05精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载答：只买鸡蛋.鸭蛋.鹌鹑蛋各1 个,共需1.05 元；解法二：直接构造法：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于题目中要求xyz 的值,所以将原方程互助组变形直接构造出xyz ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载13x5 y2x4 y9z9.253z3.205 x4 xyzyz8x4z2xz9.253.20精品学习资料精选学习资料

13、- - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4+得21xyz22.05精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xyz1.05精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载答：略解法三：间接构造法：将原方程组中的两边同乘以常数a,的两边同乘以常数b,得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载13ax 2bx5ay 4by9az 3bz9.25a3.20b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 +得13a2b x5a4b y9a3b z9.25a3.20b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载我们想要求

14、的代数式为x+y+z ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载令 13a2b5a4b9 a3b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载可得 a=1, b=4,代入上式得21x+21y+21z=9.25+12.80=22.05x+y+z=1.05例题四.三角形一题多解如图：已知 ab=ac,e 为 ac延长线上一点, 且有 bf=ce,连接 fe 交 bc于 d；求证： fd=de；证法一证明：过e 点作 em ab 交 dc延长线于m点,就 m= b,又由于 acb=bacb= ecm= m,所以 ce=em,又 ec=bf从而 em=bf, bfd= dem就 dbf dme,

15、故fd=de；证法二证明：过e 点作 em ab交 dc延长线于m点,就 m= b,又由于 acb=b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载acb= ecm= bfd= demm,所以 ce=em,又 ec=bf从而 em=bf,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就 dbf dme,故fd=de；证法二证明：过f 点作 fm ae,交 bd于点 m,就 1= 2 = b所以 bf=fm, 又 4= 3 5= e所以 dmf dce,故 fd=de；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例题五.平行四边形一题多解如图 4,平行四边形abcd中 ad=2ab、e.f 在

16、直线 ab上,且ae=bf=ab求、证： df ce.证法一.易知 adf. bce为等腰三角形,故1=f、 2= e、 又 cd ab、故 3=f、 4= e、 从而 1= 3, 2= 4,而000 1+2+ 3+4=180 ,故 3+ 4=90 ,说明 cod=90,所以 df ce；证法二.如图5,连接 mn,就 cd=bf、且 cd bf,故 bfcd为平行精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载四边形,就cn=bn=ab同、理 、dm=ma=ab故、cn=dm且 cndm,得平行四精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载边形 cdm,n 易见 cd=d,m 故 cdmn也为菱形, 依据菱形的对角线相互垂直,结论成立；证法三.如图6,连接 bm.an、 可证 afn中, bn=bf=ba就、 afn为直角三角形,即df an、利用中位线定理可知an ce,故 df ce；证法四.如图7,作 dg ce交 ae延长线