《高中试卷》2018-2019学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷

1、2018-2019学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷一、选择题；本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的1（4分）已知复数z（1+x）+i（i为虚数单位，xr）在复平面内对应的点在第二象限，那么x的取值范围是（）ax1b1x0cx0d0x12（4分）已知a0，b0，那么下列不等式中一定成立的是（）aba0b|a|b|ca2abd3（4分）已知等差数列an的前15项和s1545，那么a4+a12等于（）a6b10c12d154（4分）已知复数z，则z为（）a1+ib1ic1+2id12i5（4分）已知椭圆y21的一个焦点是（2，0），那

2、么实数k（）abc3d56（4分）已知sn为数列an的前n项和，a12，an+1sn，那么a5（）a4b8c16d327（4分）“直线l平面”是“直线在平面外”的（）a充分非必要条件b必要非充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件8（4分）已知为直线l的方向向量，分别为平面，的法向量（，不重合）那么下列说法中：；l；l正确的有（）a1个b2个c3个d4个9（4分）三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面垂直，aa1abac1，abac，n是bc的中点，点p在a1b1上，且满足，当直线pn与平面abc所成的角取最大值时，的值为（）abcd10（4分）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1

3、，2，4，8，16，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推那么该数列的前50项和为（）a1044b1024c1045d1025二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，11（4分）命题xr，x2x+30的否定是 12（4分）当且仅当x 时，函数y4x（x0）取得最小值13（4分）已知抛物线c的顶点在原点，准线方程为y2，则抛物线c的标准方程为 14（4分）不等式0的解集为 15（4分）已知f1，f2是椭圆的两个焦点，过f1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于a，b两点，若abf2是等边三角形，则这个椭圆的离心率是 16（4分）如图所示，四棱锥p

4、abcd中，pd底面abcd，底面abcd是边长为2的正方形，pd2，e是棱pb的中点，m是棱pc上的动点，当直线pa与直线em所成的角为60°时，那么线段pm的长度是 三、解答题：本大題共4小题，每小題9分，共36分，解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤17（9分）等差数列an中，a36，a510（）求数列an的通项公式；（）若a4，a8分别是等比数列bn的第4项和第5项，试求数列bn的通项公式18（9分）已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线c经过点p（3，6）（）求抛物线c的标准方程；（）经过抛物线c的焦点且斜率为2的直线l交抛物线c于a，b两点，求线段ab的长19（9分）如图

5、，在三棱锥pabc中，pa底面abc，bac90°点d，e分别为棱pa，pc的中点，m是线段ad的中点，n是线段bc的中点，paac4，ab2（）求证：mn平面bde；（）求直线mn到平面bde的距离；（）求二面角bdep的大小20（9分）已知椭圆c的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为（）求椭圆c的方程；（）若过点p（1，1）的直线与椭圆c交于a，b两点，且p点平分线段ab，求直线ab的方程；（）一条动直线l与椭圆c交于不同两点m，n，o为坐标原点，omn的面积为求证：|om|2+|on|2为定值2018-2019学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一

6、、选择题；本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的1（4分）已知复数z（1+x）+i（i为虚数单位，xr）在复平面内对应的点在第二象限，那么x的取值范围是（）ax1b1x0cx0d0x1【解答】解：复数z（1+x）+i（i为虚数单位，xr）在复平面内对应的点在第二象限，则1+x0，解得x1那么x的取值范围是x1故选：a2（4分）已知a0，b0，那么下列不等式中一定成立的是（）aba0b|a|b|ca2abd【解答】解：若a0，b0，则a0，则ba0，故a错误，|a|b|不一定成立，a2ab，则c不成立，0，0，则，成立，故d正确，故选：d

7、3（4分）已知等差数列an的前15项和s1545，那么a4+a12等于（）a6b10c12d15【解答】解：等差数列an的前15项和s1545，s15（a1+a15）45，解得a4+a126故选：a4（4分）已知复数z，则z为（）a1+ib1ic1+2id12i【解答】解：故选：a5（4分）已知椭圆y21的一个焦点是（2，0），那么实数k（）abc3d5【解答】解：因为椭圆y21的一个焦点是（2，0），所以k1，所以k14，k5故选：d6（4分）已知sn为数列an的前n项和，a12，an+1sn，那么a5（）a4b8c16d32【解答】解：n2时，an+1sn，ansn1，可得：an+1ana

8、n，化为an+12ann1时，a2a12数列an从第二项起为等比数列，公比为2，首项为2那么a52×2316故选：c7（4分）“直线l平面”是“直线在平面外”的（）a充分非必要条件b必要非充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件【解答】解：“直线l与平面平行”“直线l在平面外”“直线l在平面外”则直线l与平面平行或相交，故“直线l在平面外”不能推出“直线l与平面平行”故“直线l与平面平行”是“直线l在平面外”的充分非必要条件故选：a8（4分）已知为直线l的方向向量，分别为平面，的法向量（，不重合）那么下列说法中：；l；l正确的有（）a1个b2个c3个d4个【解答】解：平面，不重合；平

9、面，的法向量平行（垂直）等价于平面，平行（垂直）；正确；直线l的方向向量平行（垂直）于平面的法向量等价于直线l垂直（平行）于平面；都错误故选：b9（4分）三棱柱abca1b1c1的侧棱与底面垂直，aa1abac1，abac，n是bc的中点，点p在a1b1上，且满足，当直线pn与平面abc所成的角取最大值时，的值为（）abcd【解答】解：如图，以ab，ac，aa1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系axyz，则p（，0，1），（，1），平面abc的一个法向量为（0，0，1）sin，当时，（sin）max，此时角最大为arcsin故选：a10（4分）已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8

10、，1，2，4，8，16，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推那么该数列的前50项和为（）a1044b1024c1045d1025【解答】解：将已知数列分组，使每组第一项均为1，即：第一组：20，第二组：20，21，第三组：20，21，22，第k组：20，21，22，2k1，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：211，221，231，2k1，每项含有的项数为：1，2，3，k，总共的项数为n1+2+3+k，当k9时，45，故该数列的前50项和为s50211+221+231+291+1+2+4+8+169+311044故选：a二、填空题：本大

11、题共6小题，每小题4分，共24分，11（4分）命题xr，x2x+30的否定是xr，x2x+30【解答】解：原命题为：xr，x2x+30原命题为全称命题其否定为存在性命题，且不等号须改变原命题的否定为：xr，x2x+30故答案为：xr，x2x+3012（4分）当且仅当x时，函数y4x（x0）取得最小值【解答】解：由于x0，由基本不等式可得，当且仅当，即当时，等号成立故答案为：13（4分）已知抛物线c的顶点在原点，准线方程为y2，则抛物线c的标准方程为x28y【解答】解：由题意可设抛物线c的方程为x22py，（p0），准线方程为y2，解得p4抛物线c的标准方程为x28y故答案为：x28y14（4分

12、）不等式0的解集为1，3）【解答】解：不等式等价为，即，即1x3，则不等式的解集为1，3），故答案为：1，3）15（4分）已知f1，f2是椭圆的两个焦点，过f1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于a，b两点，若abf2是等边三角形，则这个椭圆的离心率是【解答】解：abf2是正三角形，af2b60°，直线ab与椭圆长轴垂直，f2f1是正三角形abf2的高，af2f160°30°，rtaf2f1中，设|af1|m，sin30°，|af2|2m，|f1f2|因此，椭圆的长轴2a|af1|+|af2|3m，焦距2cm椭圆的离心率为e故答案为：16（4分）如图所示，四棱

13、锥pabcd中，pd底面abcd，底面abcd是边长为2的正方形，pd2，e是棱pb的中点，m是棱pc上的动点，当直线pa与直线em所成的角为60°时，那么线段pm的长度是【解答】解：如图建立空间直角坐标系，则a（2，0，0），p（0，0，2），b（2，2，0），e是棱pb的中点，e（1，1，1），设m（0，m，2m），则，|cos|，解得m，m（0，），pm，故答案为：三、解答题：本大題共4小题，每小題9分，共36分，解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤17（9分）等差数列an中，a36，a510（）求数列an的通项公式；（）若a4，a8分别是等比数列bn的第4项和第5项，试求数

14、列bn的通项公式【解答】解：（）在等差数列an中，由a36，a510，得d，ana3+2（n3）6+2n62n；（）在等比数列bn中，有b4a48，b5a816，公比q，则18（9分）已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线c经过点p（3，6）（）求抛物线c的标准方程；（）经过抛物线c的焦点且斜率为2的直线l交抛物线c于a，b两点，求线段ab的长【解答】解：（）由题意设抛物线c的标准方程为y22px，其图象经过点p（3，6），则626p，解得p6，抛物线c的标准方程为y212x；（）抛物线c的标准方程为y212x，焦点f（3，0），准线方程为x1；过焦点且斜率为2的直线l方程为y2（x3），由，消

15、去y，整理得x29x+90，由根与系数的关系得x1+x29，线段ab的长为|ab|x1+x2+p9+61519（9分）如图，在三棱锥pabc中，pa底面abc，bac90°点d，e分别为棱pa，pc的中点，m是线段ad的中点，n是线段bc的中点，paac4，ab2（）求证：mn平面bde；（）求直线mn到平面bde的距离；（）求二面角bdep的大小【解答】证明：（）在三棱锥pabc中，pa底面abc，bac90°点d，e分别为棱pa，pc的中点，m是线段ad的中点，n是线段bc的中点，paac4，ab2以a为原点，ab为x轴，ac为y轴，ap为z轴，建立空间直角坐标系，m（

16、0，0，1），b（2，0，0），c（0，4，0），n（1，2，0），d（0，0，2），p（0，0，4），e（0，2，2），（1，2，1），（2，0，2），（2，2，2），设平面bde的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，0，1），0，mn平面bde，mn平面bde（）（2，0，1），直线mn到平面bde的距离：d（）平面bde的法向量（1，0，1），平面dep的法向量（1，0，0），设二面角bdep的大小为，则cos二面角bdep的大小为20（9分）已知椭圆c的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为（）求椭圆c的方程；（）若过点p（1，1）的直线与椭圆c交于a，b两点，且p点平分

17、线段ab，求直线ab的方程；（）一条动直线l与椭圆c交于不同两点m，n，o为坐标原点，omn的面积为求证：|om|2+|on|2为定值【解答】解：（）设椭圆方程为1（ab0），即有2b2，即b，e，即ac，由a2b2c2，可得a，则椭圆方程为1；（）设a（x1，y1），b（x2，y2），点p（1，1）为ab的中点，可得x1+x22，y1+y22，由2x12+3y126，2x22+3y226，相减可得2（x1x2）（x1+x2）3（y1y2）（y1+y2），可得kab，即有直线ab的方程为y1（x+1），化为2x3y+50；（）证明：设m（x3，y3），n（x4，y4），则|om|2+|on|2x32+x42+y32+y42，当直线l的斜率不存在时，m，n关于x轴对称，即x3x4，y3y4，由1，omn的面积为，可得|x3|2y3|，即有|x3|，|y3|1，可得|om|2+|on|22（1）5；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykx+m（m0），代入椭圆方程2x2+3y26，可得（2+3k2）x2+6km+3m260，可得x3+x4