高中直线与方程知识点解析及经典例题

1、高中数学必修2知识点一一直线与方程一、直线与方程(1) 直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 0度。因此，倾斜角的取值范围是0°W aV 180°(2) 直线的斜率 定义：倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即k二ta=90°)。斜率反映直线与 x轴的倾斜程度。当 0 ,90 时，k_0;当："90 180 时，k ： 0;当，=90 时，k 不存在。过两点的直线的斜率公式：k = 2 - y1仗1 = x2)X

2、2 x注意下面四点：(1)当X1 =X2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°(2) k与P、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。例.如右图，直线li的倾斜角：=30°,直线li丄-，求直线丨1解：ki = ta n30311 丄 123ki k2 = 1例：直线x '.3y -5 =0的倾斜角是A.120 °B.150 °C.60°(3 )直线方程 点斜式：y-y1 =k(x-X1)直线斜率k，且过点x,，%注意：当直线的斜率为

3、 0°时，k=0,直线的方程是y=y1。当直线的斜率为 90。时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因I上每一点的横坐标都等于 X1,所以它的方程是 X=X1。 斜截式：y = kx b，直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b 两点式： 上必 匚生(为=X2,y1 =丫2)即不包含于平行于 x轴或y直线两点轴的直 线，直线两点 冷 , X2,y2 ,当写成(X2-xj(y-) =(y2-y1)(x-x)的形式时，方程 可以表示任何一条直线。 截矩式：兰丄=1a b其中直线I与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即I与x轴、y轴的截距分别为a,b。 对于平行于坐标轴或

4、者过原点的方程不能用截距式。 一般式：Ax By 0 (A, B不全为0)注意：O各式的适用范围特殊的方程如：平行于x轴的直线：y = b ( b为常数)； 平行于y轴的直线：x = a (a为常数)； 例题：根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：1(1) 斜率是_丄，经过点 A(8 , 2) ； .2(2) 经过点B(4,2)，平行于x轴；在x轴和y轴上的截距分别是3. _3 ;24)经过两点 Pi(3, 2)、P2(5, 4); .例1：直线l的方程为Ax+By+C = 0,若直线经过原点且位于第二、四象限，则()A.C=0, B>0B .C=0, B>0, A>

5、0C.C=0, AB<0D.C=0, AB>0例2:直线l的方程为Ax ByC=0,若A、B、C 满足 AB.>0且 BC<0,则1直线不经的象限是()A.第一B 第二C 第三D第四(4) 直线系方程：即具有某一共同性质的直线(一) 平行直线系平行于已知直线 AoX Boy C 0( Ao,Bo是不全为o的常数)的直线系：Aox Boy 0(C为常数)(二) 过定点的直线系(门斜率为k的直线系：y 一 y。= k x- Xo ，直线过定点x。，yo ；(ii)过两条直线l1 :A1xB1yC o ,12: A2xB2yC2= o的交点的直线系方程为(Ax+By + G片

6、九(A2x + B2y+ C2 )=o ( k为参数)，其中直线l2不在直线系中。(三) 垂直直线系垂直于已知直线 Ax + By + C = o ( a,b是不全为o的常数)的直线系：Bx - Ay C = o例 1:直线 I: (2m+1)x+(m+1) y7m4= o所经过的定点为 。 (m R)(5) 两直线平行与垂直当 l1 : k1x b1, l2 ： y = k2x b2时，(i)h /12 = « = k2,b| = b2 ； (2)h - l2 二 k|k2 八 1注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。(3) & 二 k2,d 二 d

7、二 h 与 J 重合；(4) k1=k2= h 与 l2 相交。另外一种形式：一般的，当h : Ax+ B+ G = 0(A1, 不全为0), 与 l2：Ax B2y C 0(A2,B2不全为 0)时，A1B2 -A2B1 =0fAB _AR _0(1 ) J/，或者严2-豳- 0。IB1C2 65 知AC? 一 AC1 式 0(2) h - l2 = A|A2 B1B = 0。(3) l1 与 12重合 u AB2 -A2B1 = BC2 _'B2G = A|C2 - A2G =0。(4) l1 与 12 相交二 AB?-'B =0。例.设直线 l1 经过点 A(m, 1)、

8、B( 3, 4)，直线 l2 经过点 C(1, m)、D( 1, m+1),当(1) l1/ l2(2) h丄l1时分别求出m的值例1.已知两直线1仁 x+(1 + m) y =2 m和l2: 2mx+4y+16=0, m为何值时l1与l2相交平行例 2.已知两直线 l1: (3a+2) x+(1 4a) y + 8=0 和 l2: (5a2)x+(a+4)y 7=0 垂直，求 a值(6 )两条直线的交点l1 : Ax B1y C 0 l2 ： A2x B2y C2 二 0 相交Ax 十 By + C = 0交点坐标即方程组 的一组解。A2x + B2y +C2 = 0方程组无解=I1/I2

9、；方程组有无数解二h与l2重合例3.求两条垂直直线l1: 2x+ y +2= 0和l2： mx+4y 2= 0的交点坐标1例4.已知直线l的方程为y x 1，2(1)求过点(2，3)且垂直于I的直线方程；(2)求过点(2，3)且平行于I的直线方程。例2:求满足下列条件的直线方程(1)经过点P(2, 3)及两条直线11： x+3y4=0和“：5x+2y+1=0的交点Q ； 经过两条直线l1： 2x+y 8= 0和l2 : x 2y+ 1 = 0的交点且与直线 4x3y 7= 0平行; 经过两条直线 丨1： 2x 3y+10 = 0和12： 3x+4y2=0的交点且与直线 3x 2y+4=0垂直;

10、(7)两点间距离公式：设A(x1, y1)， EB x2, y2)是平面直角坐标系中的两个点,则 | AB|=,区-xj2 - yj2(8)点到直线距离公式：一点 P x0 , y0 到直线l1： Ax By 0的距离 |Axo +By° +CA2 B2(9)两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。对于l1: Ax B1y C 0 l2 :民乂 B2y C2 = 0来说：G _C2d _Va2 + B2例1:求平行线l1： 3x+ 4y 12=0与l2：ax+8y+11 = 0之间的距离。例2:已知平行线11： 3x+2y 6=0与R： 6x+4y

11、3=0，求与它们距离相等的平行线方程。(10) 对称问题1)中心对称 A、若点 皿(知力)及N(x,y)关于P(a,b)对称，则由中点坐标公式得x =2a -y = 2b_X1,y1.B、直线关于点的对称,主要方法是：在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们对于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用I1/I2，由点斜式得出所求直线的方程。2）轴对称A、点关于直线的对称：若珊心力）与P2（X2,y2）关于直线I: Ax By 0对称，则线段RF2的中点在对称轴I上，而且连结RF2的直线垂直于对称轴I，由方程组A x1 x2 y1 y2 A -2 B -2 C

12、 =0,22可得到点R关于I对称的点P2的坐标（X2,y2）（其中 _ BX - x?AB、直线关于直线的对称：此类问题一般转化为关于直线对称的点来解决，若已知直线li与对称轴I相交，则交点必在与li对称的直线I2上，然后再求出Il上任一个已知点 R关于对称轴I对称的点P2，那么经过交点及点 P2的直线就是I2 ；Il到直线I的距离相等，由平行直线若已知直线I1与对称轴I平行，则与I1对称的直线和系和两条平行线间的距离，即可求出I1的对称直线。例1:已知直线1: 2x 3y+仁0和点P（ 1， 2）.（1）分别求：点 P（1， 2）关于x轴、y轴、直线y=x、原点0的对称点Q坐标y=x、原点0

13、的对称的直线方程.分别求：直线I : 2x 3y+仁0关于x轴、y轴、直线求直线I关于点P（ 1， 2）对称的直线方程。求P（ 1， 2）关于直线I轴对称的直线方程。例2:点P（ 1， 2）关于直线I: x+y 2=0的对称点的坐标为Xi + x211.中点坐标公式：已知两'_P1（X1,y”、P1（X1,y”，则线段的中点M坐标为（-，2yiy-）2 ）例已知点A（7， 4）、B（ 5,6）,求线段AB的垂直平分线的方程直线方程练习题1 过点(1,3)且平行于直线x2y+3 = 0的直线方程为 2 .若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则 a=3、直线2x+3y-5=0关于直线y=x对称的直线方程为 4、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是 5、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是 6、过点(1，2)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 7两直线2x+3y k=0和x ky+12=0的交点在y轴上，则k的值是8、两平行直线 x +3y 4 = 0与2x +6y 9 =0的距离是 9、已知三角形 ABC的顶点坐标为 A (-1 , 5)、B (-2 , -1 )、C (4, 3) , M是BC边上的中点。 (1 )求AB边所在的直线方程；(2)求中线AM的长(3