2019-2020学年苏教版选修32二项式系数的性质及应用学案

1、1了解二项式系数的性质.2理解二项式系数性质的应用.3.掌握应用硏禧'导学営试 .1.二项式系数表(a + b)0(a + b)1(a + b)2(a + b)3(a + b)4(a + b)5(a + b)61. 5.2二项式系数的性质及应用11 112113311464115 1010 511615201561C0C0 C1c2 c2 c2c0 c3 c2 c3c4cic2c4c4c0 c5 c2 c3 c5 c5c6c6c6cic6c6c62.二项式系数的性质(1) Cm= cnm ；(2) Cm+ Cm_ 1 =血;当<专时，cn<cn+1；当>号时，cn+

2、1<cn；(4)c0+ cn+ Cn = 22Cn + Cn + C4 += Cn + Cri + C5 + o我童1 判断(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列.()(2) 二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的.二项式展开式的二项式系数和为cn+ /+ cn.()答案：(1)2(2) X (3) X2.在(1 + x)n(n N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n等于(C. 10D . 11答案：C3.已知(ax+ 1)n的展开式中，二项式系数和为32n=答案：54.如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数

3、均为3 35657111179182218 9答案：2n- 1探究点 求二项式系数或系数最大的项已知二项式1+ 2x21当n = 7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5, T4的系数为C7x (功饮231T5 的系数为 c7x(2)3X 24= 70.35故展开式中二项式系数最大项的系数分别为35, 70.当n = 14时，展开式中二项式系数最大的项是T8,1所以 T8 的系数为 C14X (-)7X 27= 3 432.故展开式中二项式系数最大的项的系数为3 432.由题意知 C0+ C二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对当n为奇数时，中间两项的二项式系

4、数最大.当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.(2) 展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的,变化情况进行分析.如求(a + bx)n(a, b R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数 + C2= 79,解得n= 12或n=- 13(舍去).设展开式中第(r + 1)项的系数最大，由于(2 + 2x)12= g)12 (1 + 4x)12,C12 4r > C1-1 4r-1,则C12 4r > C1 扌1 4r + 1,所以 9.4W r< 10.4.又 r 0, 1, 2,，12，所以 r = 10,所以系数最大的项为 T11

5、,1352 ,(a + b)n中的n进行讨论.需要根据各项系数的正、且 T11=12 C1° (4x)10= 16 896x10.Ar > Ar - 1 ,法设展开式中各项系数分别为A0, Al, A2,，An,且第r + 1项最大，应用ArAr + 1 ,解出r，即得出系数的最大项.1. 在 (3x 2y)20 中，求：(1) 二项式系数最大的项.(2 )系数绝对值最大的项.(3) 系数最大的项.解：(1)二项式系数最大的项是第11项.T11= C20 310 ( 2)10x10y10ooo1yo1X设系数绝对值最大的项是第r + 1叽于是C2o 320-r2r> C2

6、击1 319-r 2 r + 1,C2o 320-r 2r > C2。1 321 -r 2r- 1,3 (r + 1) > 2 ( 20 - r),化简得2 (21 r) > 3r, 解得十r w 85.因为r N*，所以r = 8,即T9= c2o 312 28x12y8是系数绝对值最大的项.所以 T9= C80 312 28x12y8(3) 由于系数为正的项为奇数项，且第9项的系数的绝对值最大, 是系数最大的项.探究点2 整除或余数问题 伙(1)求证 1 + 2 + 22+ 25n1 能被 31 整除(n N*)；求S= C27 + C27+-+ C除以9的余数.【解】

7、证明：1 + 2+ 22+ 25n1=2 1=25n 1 = 32n 1 = (31 + 1)n 1=Cn X 31n+ Cn31n 1 + + Cn 1X 31 + Cn 1=31(CSx 31n 1+ cn X 31n 2+ + Cn 1),显然上式括号内的数为整数,所以原式能被31整除.(2)S= c27 + &7 + + C27 = 227- 1=89 - 1 = (9 - 1)9 1=C9 X 99 C$x 98+ + c8x 9 C9 1=9(C9 X 98 C§X 97+ + C9) 2=9(C0 X 98 C9x 97+ + C9 1) + 7,显然上式括号内

8、的数是正整数，故S除以9的余数是7.在利用二项式定理证明整除问题或求余数问题时,要进行合理的变形，常用的变形方法是拆数，往往是将幕底数写成两数和或差的形式，其中的一个数是除数或其正整数倍.2如果今天是星期一，那么对于任意的自然数n,经过(23n+ 3+ 7n+ 5)天后的那一天是星期几？解：因为 23n +3+ 7n+ 5= 8n+ 1+ 7n+ 5= (7 + 1)n+ 1+ 7n+ 5=7n + 1 + Q+ 17n+ Cn + 17 1 + + Cn+ 1 7 + Cn1 + 7n+ 5=7(7n+ Cn+ 17n 1+ Cn + 17n 2+ + Cn+ 1+ n) + 6,显然上式括

9、号内的数是正整数.所以23n+3 + 7n + 5被7除所得的余数为6.所以对于任意自然数n,经过(23n+3+ 7n+5)天后的那一天是星期日 抹究点3 “赋值法”的应用'已知(1 2x)7= ao + a1x+ a2x2+ a7x7,求下列各式的值.(1) a1 + a2+ a7；(2) a1 + a3 + a5+ a7；(3) ao + a2 + a4+ a6；(4) |ao|+ |a11+ |a2| + |a7|.【解】 令 x= 1,贝V ao+ a1+ a2 + a3 + a4 + a5 + a6+ a7= 1，令 x = 1,贝V ao a1 + a2 a3+ a4 a5

10、+ a6 a7= 37，因为ao= C0= 1(或令x= 0，得ao= 1), 所以 ai + a2 + a3+ a7= 2.1 37(2)由(一)-2 得 ai + a3+ a5+ a7=1 094.1 + 3由( + )得 ao+ a2+ a4+ a6=2= 1 093.(4) 法一：因为(1 2x)7的展开式中ao,a2,a4,a6大于零，而a1,a3,a5,a7小于零,所以 |ao|+ |a11+ |a2|+ + |a7|=(ao+ a2+ a4+ a6) (a1 + a3+ a5 + a7)=1 093 ( 1 094) = 2 187.法二：ao|+ |a11+ |a2| + |a

11、7是 (1 + 2x)7展开式中各项的系数和,所以 |ao|+ |a1|+ + |a7|= 37 = 2 1 87.赋值法”是解决二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母所取的不同值一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x= 0可得常数项，令x=1可得所有项系数之和，令 x= 1可得奇次项系数之和与偶次项系数之和的差，而当二项展开式中 含负数时，令x=1则可得各项系数绝对值之和.3在二项式(2x 3y)9展开式中，求:(1) 二项式系数之和；(2) 各项系数之和；(3) 所有奇数项系数之和；系数绝对值的和.解：设(2x 3y)9 = a0X9 + a1 x8y + a2x7y2

12、 + + a9y9.(1) 二项式系数之和为 C0+ C9 + C9+ C9= 29.(2) 各项系数之和为 a0+ a1+ a2+ + a9,令 x = 1, y= 1，所以 a0+ a1+ a2 + + a9= (2 3)9= 1.由知，a0+ a1 + a2+ + a9= 1,令 x = 1, y = 1 可得 a0 a1 + a2 一 a9= 59,59 1将两式相加可得ao + a2+ a4+ a6+ a8=?,59- 12即所有奇数项系数之和为(4) |ao|+ |ai |+ |a2|+ + |a9|=ao ai + a2 a3+ a9,令 x = 1, y= 1，则 |ao|+

13、|ai|+ |a2| + + |a9|9=a。一 ai + a2 a3+ 一 a9= 5 .素养提升卜 * |1. 与杨辉三角有关的问题的注意事项(1)通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行之间数据的相互联系后，再对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来，使问题得解.注意二项式系数性质Cm= cnm, Cm+1 = Cm+ cL的应用.2. 释疑二项展开式中系数最大的项(1) 求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.(2) 求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况进

14、行判断.一般采用列不等式、解不等式的方法求解.(3) 系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致.易逞防范1H 已知等比数列an的通项公式为an= 2n 1，其前n项和为0,求证：C1S1+ &住 + CnS3+-+ cnSn= 3n 2n.【证明】因为数列an为等比数列，且an= 2n 1,所以 a1= 1, q = 2,a1 (1 qn)1 2n n3= 2n 1.1 q 1 2所以 CnS1 + CnS2+ C3S3 + CnSn=cn一1) + cn(221)+c3(23 1) + + Cn(2n 1)=(cR2°+c11+c

15、2 22 + + cn 2 n)(cR+ cn + cn+ + cn)=(1 + 2)n 2n3n 2n.UH由an= 2n1，求ai、q是正确求出Sn的前提，否则下步不能处理造成失分.由公式求出S是正确代入的先决条件.将所证等式的左端正确裂项，是为了运用二项式定理及二项式系数的性质，这是关键的一步，此步易失分.二项式定理的逆用， 这里发挥了桥梁作用， 为结果的完美、统一起到了至关紧要的作用.1.当堂緬测"11的展开式中二项式系数最大的项是即 a = 2,A .第6项B .第8项C.第5, 6项D 第6, 7项,r11+111+1解析：选D.由n= 11为奇数，则展开式中第2项和第

16、2 + 1项，即第6项和第7 项的二项式系数相等，且最大.2已知(1 + x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A . 212B . 211C. 210D . 29解析：选D.因为(1 + x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以Cn= C7,1解得n= 10,所以二项式(1 + X)10的展开式中奇数项的二项式系数和为2X 210= 29.3. 已知 x2+ x10 = ao+ a1(x+ 1) + + a9(x+ 1)9+ a10(x + 1)10,贝V a9 的值为.解析：法一：所给等式即1 (x+ 1)2+ 1 (x+ 1)10= a&

17、#176;+ a1 (x+ 1) + + a9(x+ 1)9+ a10(x+ 1)10，而“ (x+ 1)9”只能从1 (x+ 1)10中产生，根据二项式定理，得a9= C?0= C1。=法二：因为a9与x9项的系数有关，等式左边 x9项的系数为0，所以等式右边x9项的系 数也为0.因为x10 的系数为aio=cYo = 1,x9的系数为a9C9 + aio Clo= a9+10=0,所以a9= 10.答案：104. (2 心)8展开式中不含x4项的系数的和为 .r 解析：(2 x)8展开式的通项为 Tr+ 1 = c8 28 r ( ,x)r= C8 28r ( 1)r x2.由2 = 4

18、得 r = 8.所以展开式中x4项的系数为C8= 1.又(2 ,x)8展开式中各项系数和为(2 1)8= 1,所以展开式中不含x4项的系数的和为0.答案：0nJR固训练A基础达标1.若 x3 + x(n N*)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为A. 210B. 252C. 462D. 10解析：选A.由于展开式中只有第 6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以 展开式项数为11,从而n = 10,于是得其常数项为 C60= 210.3 n2. 已知x+ J 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64,则n 等于()A. 4C. 6解析：选C.令x= 1,各项

19、系数和为4n,二项式系数和为2n，故有歹=64，所以n = 6.3. 已知(a x)5= a° + a1x+a2* +a5x5,若a2 = 80,贝Uao+a1 + 宠 + 十a5=()A. 32B . 1C. 243D . 1 或一243解析：选B.展开式的通项为Tr +1= ( 1)rC5 a5-r xr,令 r = 2,贝U a2= ( 1)2C5 a3= 80,故(2 x)5= ao+ aix+ a2/+ + a5x5，令 x= 1，得 ao+ ai+ a5= 1.4.若(1 + .2)5= a+ b 2(a, b 为有理数)，则 a+ b=()B . 55C. 70D .

20、80解析：选 C.因为(1 + 2)5= c5( . 2)0+ CsC.2)1 + C2( . 2)2 + C3( ,2)3+ C5( . 2)4+ C5( . 2)5=1 + 5 2+ 20+ 20 2+ 20+ 4 2= 41 + 29 2,由已知可得41 + 29 ,2= a+ b 2,所以 a+ b= 41 + 29= 70.5.设(1 + x+ x2)n= a°+ a1x + a2x2 + + a2nx2n，贝V a°+ a2+ a4+ + a2n 等于()3n 1B.丁A. 2nC. 2n+13n+ 1D丁解析：选 D.令 x= 1 得 3n= a0+ a1+

21、a2+ + a2n 1 + a2n.令 x = 1 得 1 = a0 a1+ a2一a2n1 + a2n.+ 得 3n+ 1 = 2(ao+ a2+ + a2n),3n+ 1所以 a0+ a2+ + a2n= -2.故选 D.6.设 a Z,且 Ow a<13,若 512 016+ a 能被 13 整除，则 a =解析：由于 51 = 52 1, (52 1)2 016= C2 016522 016 C2 016 522 015+一C20幕521+ 1,又由于13能整除52,所以只需13能整除1 + a,又因为0< a<13,所以a = 12.答案：127.设(23 x 1)

22、n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M , 8, N数成等比数列，则展开式中第四项为解析：当x= 1时，可得M = 1, 二项式系数之和 N = 2n,由题意得 M N = 64,所以2n= 64, n = 6.答案：160x所以第四项T4= C6 (2 3 x)3 ( 1)3= 160x.8. (x2+ 1)(x 2)9= a°+ ai(x 1) + a2(x 1)2 + a3(x 1)3+ + aii(x 1)11，贝V ai+ a2 + a3+ aii的值为.解析：令x= i，得ao= 2.令 x = 2,得 ao+ ai+ a2+ aii= 0.所以 ai +

23、 a2 + a3+ aii = 2.答案： 29. 已知(i + 2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大 的项和系数最大的项.解： T6= C5n(2x)5， T7= Cn6(2x)6.依题意有C5 25 = Cn 26，解得n = 8.所以(I + 2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5= &(2x)4= i i20x4.C8 2r > C8-i 2ri,设第(r + i)项的系数最大，则有C8 2r > C8+ i 2r + i,解得5W rw 6.又 r 0 , i, 2,，8，所以 r = 5 或 r = 6.所以系数最大的项为T

24、6= i 792x5， T7= i 792x6.10. 证明：(C0)2 + (Cn)2+ (C2)2+ (Cn)2= C2n.证明： 因为 (i + x)n(i + x)n= (i + x)2n,所以(cn+ Cnx+ Cnx2 + + cnxr + + cnxn)(cn+ cnx+ Cx2+ + cnxr + + cnxn)=(i + x)2n.而C2n是(I + x)2n的展开式中xn的系数，由多项式的恒等定理,得 C0nCnn+ CinCnn i+ + CnnC0n= C2nn,因为 Cnm= Cnnm(0wmwn),所以(c0)2+ (ci)2 +(cn)2+ +(cn)2= c2n

25、.B 能力提升 1. 若(1 -2x)2017= ao+ aix+ a2 017X2 017(x R)，则牙 +12+ 需的值为()A . 2B . 0C.- 2D . - 1解析：1 1选 D.(1 2x)2 017 = a0+ a1x+ a2 017X2017，令 x=，则(1 2x)2017a1a2a2 017-=ao + + 2 +017= 0,其中ao= 1，所以 g +护+ 22 017=- 1.2. C2n + C$n+ &$+ C2n的值为 .解析：(1 + x)2n= c2n+ C2nX+ C2nx2+ C%X3+ +。2聘0.令 x = 1 得 C0n + C2n + C2n + + C2n- 1 + C2 = 2”；再令 x=- 1 得 C0n- C?n+ C2n-十(-1)C2n+ 一也-1+ C2fU 0.两式相加，再由C0n= 1.得 C2n + C2n+ 2n+ c2n=-1= 22n-1-1.答案：22n-1 - 13. (1)已知(1 x+ x2)3(1 2x2)