圆切线证明与相似无关

1、知识考点:中考复习专题圆的切线的判定及性质2011年11月17日-14-/341、掌握切线的判定及其性质的综合运用，在涉及切线问题时，常连结过切点 的半径，切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂线证半径。2、掌握切线长定理的灵活运用，掌握三角形和多边形的内切圆，三角形的内 心。精典例题:一、若直线1过。上某一点A,证明1是。的切线，只需连0A,证明0AL1 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1如图，在aABC中，AB=AC,以AB为直径的。交BC于D,交AC于E, B为切点的切线交0D延长线于F.求证:EF及。0相切.例2如图，AD是NBAC的平分线，

2、P为BC延长线上一点，且PA=PD.求证：PA及。0相切.例3如图，AB=AC, AB是。0的直径，。交BC于D, DM_LAC于M求证：DM及。0相切.例4如图，已知：AB是。的直径，点C在。上，且NCAB=30°, BD=OB, D 在AB的延长线上.求证：DC是。0的切线例5如图，AB是。0的直径，CD±AB,且OAOD OP.求证：PC是。的切线.例6如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E,交CD于F.求证：CE及4CFG的外接圆相切.二、若直线1及。0没有已知的公共点，又要证明1是的切线，只需作0A ±1，A为垂足，证明0A是。的半

3、径就行了，简称：“作垂直飞例7如图，AB=AC, D为BC中点，0D及AB切于E点.求证：AC及。D相切.例8 已知：如图，AC, BD及。0切于A、B,且ACBD,若NCOD=90°.求证：CD是。的切线.习题练习 例1如图，AB是。的弦（非直径），C、D是AB上两点，并且0C=0D,求证：AC=BD.例2已知：如图，在ABC中，AB=AC,以AB为直径的。及BC交于点D,及AC交于点E,求证：为等腰三角形.例3如图，AB是。0的直径，弦AC及AB成30°角，CD及。切于C,交AB的延长线于D,求证：AC=CD.例4如图20-12, BC为。的直径，AD1BC,垂足为D,

4、 AB = AF 9 BF和AD交于E,求证：AE=BE.F例5如图，AB是。的直径，以0A为直径的。01及。0二的弦相交于D, DE10C,垂足为E.(1)求证：AD=DC. (2)求证：DE是。(X的切线.例6如图，已知直线MN及以AB为直径的半圆相切于点C, ZA=280 .(1)求NACM的度数.(2)在MN上是否存在一点D,使ABCD=AC BC,说明理由.例 7 如图，在 RtZXABC 中，ZC=90° , AC=5, BC=12,。0 的半径为 3.(1)若圆心。及C重合时，。及AB有怎样的位置关系？(2)若点。沿CA移动，当0C等于多少时，。及AB相切？B19.如图

5、，RtZXABC内接于。0, AC=BC, NBAC的平分线AD及。0交于点D,及BCAE=BF； (3)交于点E,延长BD,及AC的延长线交于点F,连结CD, G是CD的中点，连结0G.（1）若OG DE = 3（2-向,求。的面积。判断0G及CD的位置关系，写出你的结论并证明；（2）求证:12、如图，割线ABC及30相交于B、C两点，D为00上一点，E为求?的中点,0E 交 BC 于 F, DE 交 AC 于 G, NADG=NAGD。（1）求证：AD是。的切线；（2）如果 AB = 2, AD = 4, EG = 2,求。0 的半径。13、如图，在ABC中，ZABC = 90°

6、,。是AB上一点，以。为圆心，0B为半径的圆及AB交于点E,及AC切于点D, AD = 2, AE=1,求又班”1 （2007中考）如图，等腰三角形月6。中，AC=BC=1O, AB= 12.以6。为直径作。0交AB于点交月。于点G, DFVAC,垂足为尸，交的延长线于点及求证：直线4是。的切线;求的值。A2 （2008中考）如图，AB是。的直径，AC是弦，NBAC的平分线AD交。0于点D,DE±AC,交AC的延长线于点E, 0E交AD于点F.求证：DE是。的切线；若, 惊的值。3 （2009中考）如图，RtZXABC中，ZABC = 90°,以A3为直径作交AC边于点D,

7、石是边8C的中点，连接OE.（1）求证：直线。石是。的切线;（2）连接OC交OE于点/，若OE =4.如图，点0在NAPB的平分线上，。及PA相切于点C.（1）求证：直线PB及。0相切；（2） P0的延长线及。0交于点E.若。的半径为3, PC=4.求弦CE的长.已知：如图，在RtZXABC中，NC = 90。，点。在A3上，以。为圆心，长为半径的圆及AC A8分别交于点D E, S.ZCBD = ZA.（1）判断直线30及O。的位置关系，并证明你的结论；k（2）若 A£>:AO = 8:5, BC = 2,求 8。的长. 解：（1）27.（本题满分10分）如图18,四边形A8

8、C。内接于8。是。的直径，4ELC。,垂足为E, DA平分NBDE .（1）求证：AE是。的切线；(2)若 NDBC = 30 , DE = 1cm ,求 8。的长.图18以45为直径的。交AC于点上,如图所示，人钻。是直角三角形，ZABC = 90 ,点。是3C边的中点，连结OE.（1）求证：OE及。相切；（2）若。的半径为6，DE = 3,求AE.24、（本题满分10分）如图，AB是。0的直径，ZBAC=30° , M是0A上一点，过M作AB的垂线交AC于点 N,交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,且NECF=NE.（1）证明CF是30的切线；（2）设。的半径为1,且AC

9、=CE,求M0的长.-15-/34例2图例1图【例1】如图，AC为。的直径，B是。0外一点，AB交。于E点，过E点作 。的切线，交BC于D点，DE=DC,作EF_LAC于F点，交AD于M点。（1）求证：BC是00的切线；（2） EM=FMo 证明:【例2】如图，ABC中，AB=AC, 0是BC的中点，以0为圆心的圆及AB相切于点D。求证：AC是。的切线。【例3】如图，己知AB是。的直径，BC为。的切线，切点为B, 0C平行于 弦 AD, 0A=ro(1)求证：CD是。0的切线；(2)求4ZZOC的值；(3)若 AD+OC='r,求 CD 的长。2探索及创新:【问题一】如图，以正方形AB

10、CD的边AB为直径，在正方形内部 作半圆，圆心为0, CG切半圆于E,交AD于F,GA=8 o(1)求NG的余弦值；(2)求AE的长。【问题二】如图，已知ABC中，AC=BC, ZCAB=a (定值)，。的圆心。在-29-/34AB上，并分别及AC、BC相切于点P、Qo(1)求 NPOQ；问题二图(2)设D是CA延长线上的一个动点，DE及相切 于点M,点E在CB的延长线上，试判断ND0E的大小是否 保持不变，并说明理由。圆的切线证明及线段长求解在在中考中的常见题型1、已知：如图，在矩形A8C。中，点。在对角线8。上，以。的长为半径的3。及AO, 8。分别交于点A点尸，且NA8七二N。8c.(1

11、)判断直线8E及。的位置关系，并证明你的第论；.一、0(2)若，CD = 2,求。O的半径.I A2、已知：如图，。的半径3垂直弦46于点乂连接6G过点力作弦过点。作物交国延长线于点，延长。交熊于点尸.(1)求证：为。的切线；(2)若 BC=5, AB=S,求行'的长./(3、如图，M8C是等腰三角形，AB=ACf以AC为 直径的。及8c交于点O, DE工AB,垂足为E,E。的延长线及AC的延长线交于点尸.(1)求证：。石是。的切线;第3题图(2)若。的半径为2, BE=1,求cosA的值.4、己知：如图，A3是0O的直径，8c切0。于 交。于尸，。为8c边的中点，连结。P.(1)。尸

12、是0。的切线； (2)若，。的半径为5,求。尸的长.5、如图，在ABC中，AB = AC9 AE是角平分线，BM c平分乙48c交AE于点"，经过8, M两点的。交8c于点G,交A8于点尸，所恰为。的直径./二(1)求证：AE及。相切；-(2)当时，求。的半径.6、如图，AB是0。的直径，C = 30。，M是0A上一点，过M作AB的垂线交AC 于点N,交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,且ZEb = NE.(1)证明CF是0。的切线E(2)设。0的半径为1.且AC=CE,求M0的长. K7、如图，已知也为。的直径,力切。于点a过点作。艮L期垂足为£龙交月。于点

13、63;求证：。尸。是等腰三角形.8、在以ZXAFD中，N后90° ,点6、。分别在办FD上,以切9直径的半圆。过点C,联结月。，将月尸。沿40®折得AEC,且点E恰好落在直径AB上.(1)判断：直线尸。及半圆加勺位置关系是：并证明你的结论.(2)若畛阱2,求谢长.9、己知：如图，在aABC中，AB=AC,以AB为直径的。0分别交BC、AC于点D、E, 联结EB交0D于点F.(1)求证：0D±BE；(9题图)(2)若DE二番，AB=5,求AE的长.10、如图所示，也是。的直径，O，_L弦6。于点尸，且交。于点区 若/AE3/（1）判断直线加和。的位置关系，并给出证明

14、;当月店10,於8时，求劭的长.11、已知：也是的弦，a?_L月6于必交。于点，也交4?的延长线于C.（1）求证：AD= DC；,<（2）过作。的切线交6。于区若龙=2, 6£口，f pX求。的半径._山BEC12、如图，A8为。的直径，AO平分NA4C交。于点。, 。石，ACAC的延长线于点E, BF_LAB交AD的延长线于点F,（1）求证：。七是。的切线；（2）若OE = 3,。的半径为5,求3E的长.13、如图，等腰三角形域中，AC=BC=6, AB=S.以用为直径作。交也于点D,交力。于点G, DFLAC,垂足为尸，交绫的延长线于点公(1)求证：直线砥是。的切线;(2)

15、求s力?N£的值.14、如图，为半圆。的直径，点C在半圆。上，过点。作BC的平行线交4。于 点E,交过点A的直线于点。，且"= NB4C(1)求证：AO是半圆。的切线；(2)若 BC = 2, CE = &,求 AO的长.15、已知：如图，在aABC中，AB=BC, D是AC中点，BE平分NABD交AC于点E, 点。是AB上一点，。过B、E两点，交BD于点G,交AB于点F.(1)求证：AC及。相切；(2)当BD=2, sinC=L时，求。的半径.216、如图，AB是。0的直径，点C在。0上，M是位 的中点，0M交。0的 切线BP于点P.（1）判断直线PC和。0的位置

16、关系，并证明你的结论.（2）若 sinNBAC=0.8,。的半径为 2,求线段PC的长.17、如图，在。中，血是直径，月是弦，/ADE = 60° , NC=30° .（1）判断直线必是否为。的切线，并说明理由;(2)若CD = 36 ,求6。的长.18、已知，如图，直线劭V交。于4 6两点,4。是直径, 四平分NBV交。0于。，过。作应1助丫于£（1）求证：应是。的切线；（2）若DE = 6cm, A£=3cm,求。的半径.19、已知：如图，A8为。的直径，弦AC/。，切。于3,联结8.（1）判断8是否为。的切线，若是请证明；若不是请说明理由.（2）若

17、 AC=2,。£> = 6,求。O 的半径.20、如图，。的直径46N, a，为圆周上两点，且四边形仍切是菱形，过点的直线及“力。，交胡、6。的延长线于点艮F.（1）求证：万是0。的切线;（2）求应的长.21、己知：在。0中，AB是直径，AC是弦，于点E,过点C作直线FC,使NFCA=NA0E,彳专万、AB的延长线于点D.AU-oJB（1）求证：FD是。0的切线；一/（2）设0C及BE相交于点G,若0G=2,求。0半径的长；（3）在（2）的条件下，当0E = 3时，求图中阴影部分的面积.22、已知：如图，点A是。上一点，半径OC的延长线及过点A的直线交于点8, OC=BC,.（

18、1）求证：A8是。的切线；（2）若NAC0 = 45。，OC = 2,求弦CO的长.DO第19题AB23、如图，点，是©0直径。的延长线上一点，点6在。上，且49=49=10.（1）求证：劭是。的切线；（2）若点£是劣弧勿上一点，弦4?及6。相交于点E 且6F=9, cosZj5E4=-,求用的长户424、如图，己知也为。的弦，。为。上一点，AOABAD,且劭_L月6于3（1）求证：49是©0的切线；（2）若。的半径为3,止4,求49的长.一、25、已知：如图，月6是。的直径，5是月6延长线上的一点，是。上的一点,（1）判断直线B及。的位置关系，并证明（2）若&q

19、uot;：心5： 3,月后16,求。的直径0 B且助平分/月氏瓦月尸交力尸的延长线于点C.C的长.26、己知：如图，在月6。中，AB=AC,点是边6。的中点.以物为直径作圆。, 交边月6于点尸，联结尸G交助于点日（1）求证：助是圆。的切线；（2）若尸。是圆。的切线，BC=8,求比的长.27、己知：如图，在45。中，ZACB = 90 , N46。的平分线劭交力。于点。，DELDB交AB于点、E,过B、D、E三点作。（1）求证3。是。的切线；（2）设。交6。于点尸,连结跖若吩9,。=12.求生的值.AC28、在Rt胸中，ZC=90°, BO9, （24=12, N/6C的平分线劭交力。

20、于点，,DE2DB交AB于点E,。是£庞的外接圆，交BC于点F（1）求证是。的切线；（2）联结所，求生的值 AC14、如图，AB是半圆（圆心为0）的直径，0D是半径，BY切半圆于B, 0C及弦AD平行且交BM于C。（1）求证：CD是半圆的切线;（2）若AB长为4,点D在半圆上运动，设AD长为工，点A到直线CD的距离为y,试求出了及x之间的函数关系式，并写出臼变量元的取值范围。PC± AB 交。015、如图，AB是。0的直径，点C在。0的半径A0上运动, 于 E, PT 切。0 于 T, PC=2. 5。（1）当CE正好是。0的半径时，PT = 2,求。的半径；（2）设。尸=

21、门AC = X,求出），及X之间的函数关系式；（3） APTC能不能变为以PC为斜边的等腰直角三角形？若能，请求出aPTC 的面积；若不能，请说明理由。（11 年）20.如图，在ZU8C中.AB=/1C,以.48为直径的0。分 别交，IC、8c于点，点F在AC的延长线I- , 0.4 CBF =乙（1）求证:直线4”是的切线:(2)若/1B = 5, siniCBF = g，求和 81的长.(10 年)20.已知：如图，在ZUBC中，。是13边上一点，圆。过。、3、NDOC=2ZACD=90。（1）求证：直统HC是圆。的切线；J（2）如果N4c8=75,圆。的半径为2,求8。的长。“（09 年

22、）20. Bill；如时在IBC中ABM4C/朽是角平分，8M平分NARC变工E于点此经过两点的06交ELF点G,交AB 于点F.通恰为0。的直转.（1）求证：AE与0U相切：（2）当月C=4,cnsC=：时，求0。的半径.（08 年）19 .（本小题满分5分）已珈 如图，在RQABC中,ZC=90".点。在Afi上,以0为惬心,OA K为 半径的圆与八C、八8分别交于点。、£且NCBD=NA.（I）判断T.线RD与0。的位馈关系.并证叨你的结论;（2）若/Z） ： .W -S ： 5- RC=2.求朋5|川Q（东城一模）20 .已知：45是。的弦，于材交。于点。, _L

23、46交相的延长线于。.（1）求证：AD=DC（2）过作。的切线交6。于其 若庞=2, CE=,（西城一模）21 .如图.是O0的直径以延长线上一点，点8在OO上，且48=初=4。（I）求证述0是。的切线；,（2）若E是劣瓠RC上一点, 与HC相交于点F、的面积为 8.旦= pD ' Jr求AACF的面积.（海淀一模）20 .如图,八月为。的直径，A厌1点C在O。上.CF1OC.且"=".（1）证明8户是©O的切飨；（2）谀AU与酎的延K线交于点M,若WC6,求NMCF的大小.（朝阳一模）21 .已知；如图的半径OC垂直弦由8千点H送检AC,这点A作弦律力H

24、C,过点C作cn/fKA交EA延K期于点D,延长co交必于点£gT（】）求证:CD为。的切找；y7x若睨：=5，,必应求OF的长，/I少（0（丰台一模）20.在此AAPD中，N490° ,点反。分别在4）、尸。上,以皿为直径的半圆。过点C,联结AC,将4尸。沿4点切折得aec，且点E恰好落 在直径AB上.（1）判断：直线尸。及半圆。的位置关系是:并证明你的结论.A O E B-31-/34（2）若姓娇2,求6Z的长.（昌平一模）20.如图所示，出是。的直径，_L弦6。于点尸，且交。于点区若NAE3/ ODB.（1）判断直线切和G）。的位置关系，并给出证明；（2）当月户10,

25、小8时，求劭的长.（房山）20.（本小题满分5分）已知：如图，在aABC中，AB二AC,以AB为直径的。0分别交BC、AC于点D、E,联结EB交0D于点F.（1）求证：0D±BE；（2）若 DE=AB=5,求 AE 的长.（密云） 20.如图，AB是O。的直径，ZBAC = 30°, M是0A上一点，过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,且 （1）证明CF是。O的切线（2）设。的半径为1.且AC=CE,求M0的长.(11 年)20.如图，在ZU8C中,AB二HC,以八为直竹的0。分 别交AC.BC于点D、E,点、一在/1C的延长线I- ,

26、 H,( CBF = y4C4/?.(1)求证:直线B一是。的切线;(2)若八8 = 5, win乙C8P = g,求BC和8*的代.(10 年)20.已知：如图，在ZU5C中，。是43边上一点，圆。过。、B、C三点，p ZDOC=2Z4CD=90°o。(1)求证：直线C是圆。的切线；v(2)如果24c8=75。，圆。的半径为2,求的长。“(09 年)20.已如:如图,在A4BC中，A加4QE是中平分线,力，平分 /八班:交于点M经过AM两点的6。交RC F点G,交AB 于点F.F8龄为0。的直径.(1)求证：AE与相切；(2)当BC=4,cmC=g时，求QO的半径.(08 年)19

27、.(本小题满分5分)已珈 如图，在R3ABC中,ZC=9O".点。在Afi上,以0为回心,OAK为 半径的圆与AC、AB分别交于点.0、E,且NIWW/A(I)判断直线白。与O。的位置关系,并证明你的结诒;(2)若3。：AO =S ： 5. BC=2,求的 |J勖(1)11模拟（东城一模）20.已知：也是。0的弦，_L4?交4?的延长线于C.Q_L46于朗交。于点D,（1）求证：AD=DC（2）过作。的切线交反?于£,若应=2, CE=,（西城一模）21.如图是O。的直径CA延长线上一点，点B在0。上，且"8 =AD=AO.（I）求证是。的切线；,（2）若K是劣弧

28、BC上一点,A£与RC相交于点F、 HEF的面积为8.旦""力=y,D ' Jr求AACr的面积.（海淀一模）20 .如图，八月为。的直径，人展1启C在0。上，CFLOC,且CF=BE. （1）证明BF是0O的切飨；（2）改AU与.的延K线交于点M,若MC=6,求NMCT的大小.”（一）（朝阳一模）21 .已知；如图©。的半役OC垂直弦"千点H.迂接AC,这点A作弦能力,过点C作 cn/nA交EA延K线于点u,延长co交必于点£xT（1）求证:CD为。的切找i若鼠：二5,仞应求OF的长，/（ jKn （丰台一模）20.在APD

29、中，N490° ,点反。分别在4）、尸。上,以皿为直径的半圆。过点C,联结力C,将沿46H折得aec，且点E恰好落 在直径AB上.（1）判断：直线尸。及半圆。的位置关系是:并证明你的结论.月 O E B-41-/34(2)若梦阱2,求的长.(昌平一模)20.如图所示，也是。的直径，_L弦6。于点E且交。于点£,若NAEU/ ODB.(1)判断直线班和。的位置关系，并给出证明； (2)当月历10,小8时，求劭的长.(房山)20.(本小题满分5分)已知：如图，在ABC中，AB=AC, 以AB为直径的。0分别交BC、AC于点D、E,联结EB交0D于点F.(1)求证：0D±BE；(2)若 DE=AB=5,求 AE 的长.(密云)20.如图，AB是O。的直径，ZBAC = 30°, M是0A上一点, 于点N,交BC的延长线于点E,直线CF交EN于点F,且