高中必修第一册《2.1 等式性质与不等式性质》名师优质课导学案

1、第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质（共 2 课时）（第 1 课时）1.会用不等式(组)表示不等关系；2.能够运用作差法比较两个数或式的大小.1. 用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，用不等式（组）研究含有不等关系的问题；2.运用作差法比较代数式大小，对学生数学运算的要求较高1. 我们用数学符号“”、“>”、“<”、“”、“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做_.2不等式中文字语言与数学符号之间的转换大于小于大于等于小于等于至多至少不少于不多于3.比较两实数大小

2、基本方法:(1)两个实数大小的比较原理差值比较原理：设 a、bR，则 abab0，abab0，ab ab<0.a商值比较原理：设 a、bR，则b1ab，aab1 ab， b<1a<b.(2)两个实数大小比较的一般步骤作差比较法其一般步骤是:作差变形判断符号确定大小.注：作差比较大小的关键是作差后的变形，作差变形中，可采用配方、因式分解、通分、有理化等手段进行恒等变形（常数、几个平方和的形式或几个因式积的形式） 变形的过程是至关重要的，无论施以什么方法，最终要变到能够判断符号为止注意变形过程中要保持等价性及正

3、确性1（ 一 ）、 情 境 导 学1.购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过 1.1 m(含 1.1 m)而不超过 1.5 m 的儿童，享受半价客票、加快票和空调票(简称儿童票)，超 1.5 m 时应买全价票每一成人旅客可免费携带一名身高不足 1.1 米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票从数学的角度，应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？2.展示新闻报道：明天白天广州的最低温度为 18，白天最高

4、温度为 30。（二）、探索新知探究一用不等式表示不等关系例 1.某钢铁厂要把长度为 4 000 mm 的钢管截成 500 mm 和 600 mm两种，按照生产的要求，600 mm 钢管的数量不能超过 500 mm 钢管的 3 倍试写出满足上述所有不等关系的不等式归纳总结;跟踪训练：1.某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售，可以售出 8 万本根据市场调查，若单价每提高 

5、;0.1 元，销售量就可能相应减少 2 000 本，若把提价后杂志的定价设为 x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于 20 万元？2某工厂在招标会上，购得甲材料 x t，乙材料 y t，若维持工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要 120 t，则 x、y 应满足的不等关系是()Axy>120Cxy120Bxy<120Dxy120探究二比较数或式子的大小我们学习了关于实数大小比较的一个基本事实：(1)数轴上的任意两点中

6、，右边点对应的实数比左边点对应的实数_.根据这个公理，我们可用什么方法来比较实数的大小？23.设 aR 且 a0，比较 a 与  的大小步骤是什么？第一步，第二步，第三步，第四步例 2.已知 xy0，比较(x2y2)(xy)与(x2y2)(xy)的大小归纳总结;跟踪训练1设 Mx2，Nx1，则 M 与 N 的大小关系是()AM>NBMNCM<ND与 x 有关2.比较 x2y21 与 2(xy1)

7、的大小；1a1.完成一项装修工程,请木工需付工资每人 500 元,请瓦工需付工资每人 400 元,现有工人工资预算 20000 元,设木工 x(x0)人,瓦工 y(y0)人,则关于工资 x,y 满足的不等关系是()A.5x+4y<200B.5x+4y200C.5x+4y=200D.5x+4y2002.若 A= 1 +3 与 B=1+2,则 A 与 B 的大小关系是()𝑥2⻖

8、9;A.A>BB.A<BC.ABD.不确定3.已知甲、乙两种食物的维生素 A,B 含量如下表:食 物/维生素A/(单位kg)维生素B/(单位/kg)甲600800乙700400(1)2x2+3 与 x+2,xR;                (2)a+2 与1-𝑎 ,aR,且 a1.设用 x kg 

9、的甲种食物与 y kg 的乙种食物配成混合食物,并使混合食物内至少含有 56 000 单位的维生素 A 和 63 000 单位的维生素 B.试用不等式组表示 x,y 所满足的不等关系.4.将一个三边长度分别为 5,12,13 的三角形的各边都缩短 x,构成一个钝角三角形,试用不等式(组)表示x 应满足的不等关系.5.比较下列各组中的两个实数或代数式的大小:31.用不等式(组)表示不等关系时,应遵循“一找(不等关系);

10、二析(涉及的量);三设(设出合理的未知数);3依题意，可得不等式组：í，即íïîïî    1.解析提价后杂志的定价为 x 元，则销售的总收入为(8×0.2)x 万元，那么不等关系“销售    (8×0.2)x20.四列(不等式(组)”.2.作差法比较两个实数的大小时，关键是作差后变形，一般变形越彻底越有利于下一步的判断因式分解配方通分分类讨论3.本节课的学习过程中,重点渗透了数学建模思想和函数思想.参考答

11、案：探究一 例 1. 解析设截得 500 mm 的钢管 x 根，截得 600 mm 的钢管 y 根，ìï500x600y4 000ìï5x6y403xy3xy.x0x0y0y0归纳总结;用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：“审题通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量找出体现不等关系的关键词： 至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束

12、条件，将各约束条件用不等式表示跟踪训练：x2.50.1的收入不低于 20 万元”用不等式可以表示为：x2.50.12.解析由题意可得 xy120，故选 C探究二例 2解析xy0，xy0，xy0，(x2y2)(xy)(x2y2)(xy)2xy(xy)0，(x2y2)(xy)(x2y2)(xy)归纳总结：比较两个实数(或代数式)大小的步骤(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；(2)变形：对差进行变形(因式分解、通分、配方等)；(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；(4)作出结论这种比较大小的方法通常称为作差比较法其思维

13、过程：作差变形判断符号结论，其中变形是判断符号的前提41.解析MNx2x1(x  )2  >0，M>N，故选 A3.由 a  2.【解析】由于 A-B= 1 +3-(1 + 2) = (1 - 1)  + 3  3>0,跟踪训练13242. 解析x2y212(xy1)x22x1y22y2(x1)2(y1)210，x2y212(xy1)1a1a1aa1

14、当 a±1 时，aa；11当1a0 或 a1 时，aa；当 a1 或 0a1 时，aa.达标检测1.【答案】D2𝑥2𝑥𝑥244所以 A>B,故选 A.【答案】A3.【解析】由题意知 x kg 的甲种食物中含有维生素 A 600x 单位,含有维生素 B 800x 单位,y kg 的乙种食物中含有维生素 A&

15、#160;700y 单位,含有维生素 B 400y 单位,则 x kg 的甲种食物与 y kg 的乙种食物配成的混合食物总共含有维生素 A(600x+700y)单位,含有维生素 B (800x+400y)单位,600𝑥 + 700𝑦  56 000,6𝑥 + 7𝑦  560,则有𝑥 

16、60;0,            𝑥  0,1-𝑎 当 a<1 时,a+2<故当 a>1 时,a+2>1-𝑎 .5.【解析】  (1)因为(2x2+3)-(x+2)=2x2-x+1=2(𝑥- 1)  + 7  7>0,1-&#

17、119886;  = (𝑎+2)(1-𝑎)-3 = -𝑎2-𝑎-1 = 𝑎2+𝑎+1.(2)(a+2)-由于 a2+a+1=(𝑎 + 1)  + 3  3>0,800𝑥 + 400𝑦  63 000,4𝑥 + 2&

18、#119910;  315,即 𝑦  0,𝑦  0.334. 【解析】各边都缩短 x 后,长度仍然为正数,只要最短边大于零即可,因此 5-x>0.而要构成三角形,还要满足 (5-x)+(12-x)>13-x.当三角形是钝角三角形时 ,应使最大角是钝角 ,此时只需最长边所对的角是钝角即可,因此(5-x)2+(12-x)2<(13-x)2,5-𝑥 > 0,故 

19、x 应满足的不等关系为(5-𝑥) + (12-𝑥) > 13-𝑥,(5-𝑥)2 + (12-𝑥)2 < (13-𝑥)2.2488所以 2x2+3>x+2.31-𝑎1-𝑎𝑎-122445所以当 a>1 时,𝑎 2𝑎1𝑎-1   

20、;  >0,即 a+2>1-𝑎 当 a<1 时,𝑎 2𝑎1𝑎-1     <0,即 a+2<1-𝑎 .332.1 等式性质与不等式性质（第 2 课时）1.掌握常用不等式的基本性质；2.会将一些基本性质结合起来应用。1.将不等关系用不等式表示出来，理解并证明不等式的性质；2.并能用不等式 的性质证明一些简单的不

21、等式；一、设计问题,温故知新问题 1:等式的性质有哪些?请大家用符号表示出来.问题 2:根据等式的这些性质,你能猜想不等式的类似性质吗?请大家加以探究.性质123别名对称性传递性可加性性质内容a>b_a>b，b>c_a>bac  bc注意可逆4可乘性a>büýac  bcc>0þa>büýac  bcc<0þc 的符号ýac  bd56同向可加性同向同正可乘性a>

22、büc>dþa>b>0üýac  bdc>d>0þ同向同向7可乘方性  a>b>0an>bn(nN*，n2)同正a>b>0   a>   b(nN*，n2)8可开方性n n6二、新知探究试证明下列不等式的性质(1)对称性文字语言符号语言作用不等式两边互换后 ,再将不等号改变方向 ,所得不等式与原不等式等价a>b写出与原不等式等价且异向的不等式跟踪

23、训练.1.与 m(n-2)2 等价的是().A.m<(n-2)2B.(n-2)2mC.(n-2)2mD.(n-2)2<m(2)传递性文字语言符号语言变形作用你能证明吗？(3)加法法则文字语言符号语言变形作用(4)乘法法则文字语言符号语言变形作用(5)加法单调性文字语言符号语言变形作用(6)乘法单调性文字语言符号语言作用如果第一个量大于第二个量,第二个量大于第三个量,那么第一个量大于第三个量a>b,b>cab,bcac; a<b,b<ca<c; ab,bcac比较大小或证明不等式不等式的两边都加上同一个实数,所得的

24、不等式与原不等式        .a>ba+c>a<ba+c<b+c；aba+cb+c；aba+cb+c不等式的移项,等价变形不等式的两边都乘同一个正数时,不等号的方向不变;都乘同一个负数时,不等号的方向一定要改变.a>b,c>0           ；a>b,c<0ab,c>0acbc；ab,c<0acbc；a<b,c>0ac<

25、bc；a<b,c<0ac>bcab,c>0acbc；ab,c<0acbc不等式的同解变形两个同向不等式相加,所得不等式与原不等式         .a>b,c>da+c>b+da<b,c<da+c<b+d；ab,cda+cb+d；ab,cda+cb+d由已知同向不等式推出其他不等式两边都是正数的两个同向不等式相乘,所得的不等式与原不等式  .a>b>0,c>d>0ac>bd两个不等式相乘的变

26、形(7)正值不等式可乘方7文字语言符号语言作用当不等式的两边都是      时,不等式两边同时乘方所得的不等式与原不等式         .a>b>0         (nN ,且 n1)不等式两边的乘方变形若 ac>bc，则 a>b；若 a<b，则 ac2<bc

27、2；若a<b<0，则 a>b；若 a>b，c>d，则 ac>bd；例 1已知 a>b>0，c<d<0，e<0，求证：   >   .(1)2ab；(2)ab；(3)  .跟踪训练 2. 给出下列结论：1 1若 a>b，c>d，则 ac>bd.其中正确结论的序号是_.典例解析：用不等式的性质证明不等式eeac bdab&

28、#160;cd跟踪训练 1：若 bcad0，bd>0，求证： b  d .典例解析：利用不等式的性质求取值范围例 2已知2<2，求 2 ， 2 的范围跟踪训练 2：已知 1<a<2,3<b<4，求下列各式的取值范围：ab1已知 a<b<0，c<d<0，那么下列判断中正确的是()Aac<bd        

29、0; Bac>bd          C.  <a bd cDad>bcAabbc       Bacbc           C.   >0      &

30、#160;     D(ab)c204.已知 a>b>0，c<d<0.求证：   <   .2若 a、b、cR，且 a>b，则下列不等式中一定成立的是()c2ab3设 2<a<3，-2<b<-1，则 2a-b 的范围是_3 a 3 bdc一、不等式的性质性质1234别名对称性传递性可加性可乘性性质内容a>b_a>b，b>

31、c_a>bac  bca>büýac  bcc>0þ注意可逆c 的8ýac  bd56同向可加性同向同正可乘性a>büýac  bcc<0þa>büc>dþa>b>0üýac  bdc>d>0þ符号同向同向7可乘方性  a>b>0an>bn(nN*，n2)同正a&g

32、t;b>0   a>   b(nN*，n2)8可开方性n n（5）证明:  𝑎 > 𝑏𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐  a+c>b+d.a<b<0，a<0，b<0，ab>0，a·ab<b·ab，即 b<a，a>

33、b，故正确   a>b>0ü     0>a>bü       a>b>0üýac>bd，     ýac<bd，但     ý  ac>bd，      

34、/ac  bd又e<0，   >   .例 2  解析2<2，42<4，4<24.两式相加，二、运用不等式解决的基本问题由那些？参考答案：新知探究（1）证明:a>b,a-b>0，由正数的相反数是负数,得-(a-b)<0.即 b-a<0,b<a，同理可证,如果 b<a,那么 a>b.跟踪训练 1.答案:C（3）证明:(a+c)-(b+c)=a-b>0,a+c>b+c

35、.（4）证明:ac-bc=(a-b)c.a>b,a-b>0.根据同号相乘得正,异号相乘得负,得当 c>0 时,(a-b)c>0,即 ac>bc;当 c<0 时,(a-b)c<0,即 ac<bc.𝑐 > 𝑑𝑏 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑑（6）证明:a>b>0,c>0,ac>bc，c&g

36、t;d>0,b>0,bc>bd.ac>bd./跟踪训练 2. 解析当 c>0 时，由 ac>bca>b，当 c<0 时，由 ac>bca<b，故错当 c0 时，由 a<bac2<bc2，当 c0 时，由 a<b ac2<bc2，故错1 111c>d，c<d，又 a>b，两不等式不等号的方向不同，不能相加，ac>bd

37、60;错误0>a>bü/ý ac>bd.c>d>0þ0>c>dþ0>c>dþc>d>0þ典例解析 例 1.c<d<0，c>d>0，又a>b>0，a(c)>b(d)>0，11即 ac>bd>0，0<<，eeac bd跟踪训练解析：bcad0，adbc，adbdbcbd，1adbd bcbdab cdbd>0，bd>0，bdbd， b