函数展开成幂级数48183实用教案

1、一、泰勒(ti l) ( Taylor ) 级数 其中(qzhng)( 在 x 与 x0 之间)称为(chn wi)拉格朗日余项 .则在若函数的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式 ,该邻域内有 :第1页/共21页第一页，共22页。)(00 xxxf200)(!2)(xxxf 为f (x) 的泰勒(ti l)级数 . 则称当x0 = 0 时, 泰勒级数(j sh)又称为麦克劳林级数(j sh) .1) 对此级数(j sh), 它的收敛域是什么 ？2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?待解决的问题待解决的问题 :若函数的某邻域内具有任

2、意阶导数, 0)(xxf在第2页/共21页第二页，共22页。定理(dngl)1 .各阶导数(do sh), 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒(ti l)级数的充要条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足:证明证明:令)(0 xx设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有第3页/共21页第三页，共22页。定理(dngl)2.若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是唯一的 , 且与它的麦克劳林级数(j sh)相同.证证: 设 f (x) 所展成的幂级数为则显然(xinrn)结论成立 .第4页/共21页第四页，共22页。二、函数(hnsh)展开成幂级数 1. 直接直接(

3、zhji)展开法展开法由泰勒级数(j sh)理论可知, 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(R, R) 内是否为骤如下 :展开方法展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知其级数展开式0. 的函数展开第5页/共21页第五页，共22页。例1. 将函数(hnsh)展开(zhn ki)成 x 的幂级数. 解解: 其收敛(shulin)半径为 对任何有限数 x , 其余项满足故( 在0与x 之间)故得级数 第6页/共21页第六页，共22页。例2. 将展开(zhn ki)成 x 的幂级数.解解: 得

4、级数(j sh):其收敛(shulin)半径为 对任何有限数 x , 其余项满足! ) 1( nn0第7页/共21页第七页，共22页。类似(li s)可推出:),(x),(x第8页/共21页第八页，共22页。例3. 将函数(hnsh)展开(zhn ki)成 x 的幂级数, 其中m为任意(rny)常数 . 解解: 易求出 于是得 级数由于级数在开区间 (1, 1) 内收敛. 因此对任意常数 m, 第9页/共21页第九页，共22页。2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(推导推导(tudo)则为避免(bmin)研究余项 , 设此级数的和函数为第10页/共21页第十页，共22页。2!2)

5、 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(称为(chn wi)二项展开式 .说明说明(shumng)：(1) 在 x1 处的收敛性与 m 有关(yugun) .(2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理二项式定理.由此得 第11页/共21页第十一页，共22页。对应(duyng)的二项展开式分别(fnbi)为第12页/共21页第十二页，共22页。2. 间接(jin ji)展开法利用一些已知的函数(hnsh)展开式及幂级数的运算性质, 例例4. 将函数将函数(hnsh)展开成 x 的幂级数.解解: 因为把 x 换成)11(x, 得将所给函数展开成

6、 幂级数. 第13页/共21页第十三页，共22页。例5. 将函数(hnsh)展开(zhn ki)成 x 的幂级数.解解: 从 0 到 x 积分(jfn), 得定义且连续, 区间为利用此题可得上式右端的幂级数在 x 1 收敛 ,所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛第14页/共21页第十四页，共22页。例6. 将展成(zhn chn)解解: 的幂级数. 第15页/共21页第十五页，共22页。例7. 将展成(zhn chn) x1 的幂级数. 解解: 第16页/共21页第十六页，共22页。内容(nirng)小结1. 函数(hnsh)的幂级数展开法(1) 直接(zhji)展开法 利用泰勒公式 ;

7、(2) 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开2. 常用函数的幂级数展开式1x2!21x式的函数 .第17页/共21页第十七页，共22页。x11nxnnmmm!) 1() 1(当 m = 1 时),(x),(x) 1, 1(x第18页/共21页第十八页，共22页。作业(zuy) 10-4 2 (2) , (3) , (5) , (6) ; 3 (2) ; 4 ; 6 第19页/共21页第十九页，共22页。)()1 (xFx例3 附注(fzh)第20页/共21页第二十页，共22页。感谢您的观看(gunkn)！第21页/共21页第二十一页，共22页。NoImage内容(nirng)总结一、泰勒 ( Taylor ) 级数。第1页/共21页。为f (x) 的泰勒级数 .。1) 对此级数, 它的收敛域是什么。第2页/共21页。则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要。展开成 x 的幂级数.。展开