步步高高考数学(人教A理)一轮直线与圆圆与圆的位置关系

1、§9.4直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系设直线l：AxByC0 (A2B20)，圆：(xa)2(yb)2r2 (r>0)， d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为. 方法位置关系几何法代数法相交d<r>0相切dr0相离来源:d>r<02.圆与圆的位置关系设圆O1：(xa1)2(yb1)2r(r1>0)，圆O2：(xa2)2(yb2)2r (r2>0). 方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离d>r1r2无解外切dr1r2

2、一组实数解相交来源:中。教。网z。z。s。tep|r1r2|<d<r1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d<|r1r2|(r1r2)无解1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)“k1”是“直线xyk0与圆x2y21相交”的必要不充分条件.(×)(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.(×)(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.(×)(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.(×)(5)过圆O：x2y2r

3、2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0xy0yr2.()(6)过圆O：x2y2r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0xy0yr2.()来源:中+教+网z+z+s+tep2.(2013·安徽)直线x2y50被圆x2y22x4y0截得的弦长为()A.1 B.2 C.4 D.4答案C解析圆的方程可化为(x1)2(y2)25，圆心(1,2)到直线x2y50的距离d1，截得弦长l24.3.圆C1：x2y22x2y20与圆C2：x2y24x2y10的公切线有且仅有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案B解析C1：(x1)2(

4、y1)24，圆心C1(1，1)，半径r12.C2：(x2)2(y1)24，圆心C2(2,1)，半径r22.|C1C2|，|r1r2|0<|C1C2|<r1r24，两圆相交，有两条公切线.4.两圆交于点A(1,3)和B(m,1)，两圆的圆心都在直线xy0上，则mc的值等于_.答案3解析由题意，知线段AB的中点在直线xy0上，20，mc3.5.若圆x2y21与直线ykx2没有公共点，则实数k的取值范围为_.答案(，)解析由圆与直线没有公共点，可知圆的圆心到直线的距离大于半径，也就是>1，解得<k<，即k(，).来源:题型一直线与圆的位置关系例1已知直线l：ykx1，圆

5、C：(x1)2(y1)212.(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长.思维启迪直线与圆的交点个数即为直线方程与圆方程联立而成的方程组解的个数；最短弦长可用代数法或几何法判定.方法一(1)证明由消去y得(k21)x2(24k)x70，因为(24k)228(k21)>0，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.(2)解设直线与圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则直线l被圆C截得的弦长|AB|x1x2|22 ，令t，则tk24k(t3)0，当t0时，k，当t0时，因为kR，所以164t(t3)0，解得1t4，且t0，故t的最

6、大值为4，此时|AB|最小为2.方法二(1)证明圆心C(1，1)到直线l的距离d，圆C的半径R2，R2d212，而在S11k24k8中，(4)24×11×8<0，故11k24k8>0对kR恒成立，来源:中,国教,育出,版网所以R2d2>0，即d<R，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点.(2)解由平面几何知识，知|AB|22 ，下同方法一.方法三(1)证明因为不论k为何实数，直线l总过点P(0，1)，而|PC|<2R，所以点P(0,1)在圆C的内部，即不论k为何实数，直线l总经过圆C内部的定点P.所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个

7、交点.(2)解由平面几何知识知过圆内定点P(0,1)的弦，只有和AC (C为圆心)垂直时才最短，而此时点P(0,1)为弦AB的中点，由勾股定理，知|AB|22，即直线l被圆C截得的最短弦长为2.思维升华(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；(2)勾股定理是解决有关弦问题的常用方法.(1)若直线axby1与圆x2y21相交，则P(a，b)()A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.以上都有可能(2)直线l：y1k(x1)和圆x2y22y0的位置关系是()A.相离B.相切或相交C.相交D.相切(3)在平面

8、直角坐标系xOy中，已知圆x2y24上有且仅有四个点到直线12x5yc0的距离为1，则实数c的取值范围是_.答案(1)B(2)C(3)(13,13)解析(1)由<1，得>1，点P在圆外.(2)圆x2y22y0的圆心是(0,1)，半径r1，则圆心到直线l的距离d<1.故直线与圆相交.(3)根据题意知，圆心O到直线12x5yc0的距离小于1，来源:<1，|c|<13，c(13,13).题型二圆的切线与弦长问题例2已知点M(3,1)，直线axy40及圆(x1)2(y2)24.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线axy40与圆相切，求a的值；(3)若直线axy40与

9、圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2，求a的值.思维启迪在求过某点的圆的切线方程时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程.若点在圆上，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线.在处理直线和圆相交所得的弦的弦长问题时，常考虑几何法.解(1)圆心C(1,2)，半径r2，当直线的斜率不存在时，方程为x3.由圆心C(1,2)到直线x3的距离d312r知，此时，直线与圆相切.当直线的斜率存在时，设方程为y1k(x3)，即kxy13k0.由题意知2，解得k.圆的切线方程为y1(x3)，即3x4y50.故过M点的圆的切线方程为x3或3x4y50.(2)由题意得

10、2，解得a0或a.(3)圆心到直线axy40的距离为，来源:中教网()2()24，解得a.思维升华(1)求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线.(2)求直线被圆所截得的弦长时，通常考虑由弦心距垂线段作为直角边的直角三角形，利用勾股定理来解决问题.已知点P(0,5)及圆C：x2y24x12y240.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.解(1)如图所示，|AB|4，将圆C方程化为标准方程为(x2)2

11、(y6)216，圆C的圆心坐标为(2,6)，半径r4，设D是线段AB的中点，则CDAB，|AD|2，|AC|4.C点坐标为(2,6).在RtACD中，可得|CD|2.设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为y5kx，即kxy50.由点C到直线AB的距离公式：2，得k.故直线l的方程为3x4y200.又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x0.所求直线l的方程为x0或3x4y200.(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，则CDPD，即·0，来源:中+教+网z+z+s+tep(x2，y6)·(x，y5)0，化简得所求轨迹方程为x2y22x11y300.题型三圆与

12、圆的位置关系例3(1)已知两圆C1：x2y22x10y240，C2：x2y22x2y80，则两圆公共弦所在的直线方程是_.(2)两圆x2y26x6y480与x2y24x8y440公切线的条数是_.(3)已知O的方程是x2y220，O的方程是x2y28x100，由动点P向O和O所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是_.思维启迪求动点的轨迹方程关键是寻找与动点有关的等量关系，然后将等量关系用坐标表示出来.答案(1)x2y40(2)2(3)x解析(1)两圆的方程相减得：x2y40.(2)两圆圆心距d<，两圆相交，故有2条切线.(3)O的圆心为(0,0)，半径为，O的圆心为(4,0)，半径为，设

13、点P为(x，y)，由已知条件和圆切线性质得x2y22(x4)2y26，化简得x.思维升华判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.已知两圆C1：x2y22x10y240，C2：x2y22x2y80，则以两圆公共弦为直径的圆的方程是_.答案(x2)2(y1)25解析圆C1的圆心为(1，5)，半径为，圆C2的圆心为(1，1)，半径为，则两圆心连线的直线方程为2xy30，由两圆方程作差得公共弦方程为x2y40，两直线的交点(2,1)即为所求圆的圆心，由垂径定理可以求得半

14、径为，即所求圆的方程为(x2)2(y1)25.高考中与圆交汇问题的求解来源:中国教育出版网一、圆与集合的交汇问题典例：(5分)设M(x，y)|y，a>0，N(x，y)|(x1)2(y)2a2，a>0，则MN时，a的最大值与最小值分别为_、_.思维启迪本题条件MN反映了两个集合所表示的曲线之间的关系，即半圆与圆之间的关系，因此可以直接利用数形结合的思想求解.解析因为集合M(x，y)|y，a>0，所以集合M表示以O(0,0)为圆心，半径为r1a的上半圆.同理，集合N表示以O(1，)为圆心，半径为r2a的圆上的点.这两个圆的半径随着a的变化而变化，但|OO|2.如图所示， 当两圆外

15、切时，由aa2，得a22；当两圆内切时，由aa2，得a22.所以a的最大值为22，最小值为22. 答案2222温馨提醒本题主要考查集合的运算及圆与圆相切的相关知识，考查考生综合运用知识解决问题的能力.借助数形结合的思想方法求解本题较为简捷，在求解时要注意对MN的意义的理解，若题中未指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，例如AB，则A或A两种可能，应分类讨论.本题的设计亮点就是将集合的关系与圆的位置关系较好地结合起来.二、圆与线性规划的交汇问题典例：(5分)如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2(y2)21上，那么|PQ|的最小值为_.思维启迪求解本题应先画出点P所在的平面区域，再画出点Q所在的圆

16、，最后利用几何意义将问题转化为圆上的点到定直线的距离的最值问题，即可求出|PQ|的最小值.解析由点P在平面区域上，画出点P所在的平面区域.由点Q在圆x2(y2)21上，画出点Q所在的圆，如图所示.来源:中教网由题意，得|PQ|的最小值为圆心(0，2)到直线x2y10的距离减去半径1.又圆心(0，2)到直线x2y10的距离为，此时垂足(1,0)在满足条件的平面区域内，故|PQ|的最小值为1.答案1温馨提醒本题考查线性规划及圆、点到直线的距离等知识，并考查考生综合应用知识解决问题的能力.本题的突出特点就是将圆与线性规划问题有机地结合起来，为我们展现了数学知识相互交汇的新天地，求解时既要注意使用线性

17、规划的基本思想，又要利用圆上各点的特殊性.实际上是对数形结合思想的提升，即利用线性或非线性函数的几何意义，通过作图来解决最值问题.三、圆与不等式的交汇问题典例：(5分)(2012·天津)设m，nR，若直线(m1)x(n1)y20与圆(x1)2(y1)21相切，则mn的取值范围是 ()A.1，1B.(，11，)C.22，22D.(，2222，)思维启迪圆与不等式的交汇实质上反映了圆的独特性质，即圆内点、圆外点的性质，直线与圆相交、相离的性质，圆与圆的相交、相离的性质等，这些问题反映在代数上就是不等式的形式.解析圆心(1,1)到直线(m1)x(n1)y20的距离为1，所以mn1mn(mn

18、)2，所以mn22或mn22.答案D温馨提醒直线与圆位置关系的考查，一般是已知位置关系求参数值，基本不等式的考查一般是给出参数关系，利用基本不等式求最值或范围.而本题却以直线与圆的位置关系给出参数之间的数量关系，利用基本不等式转化，结合换元法把关系转化为一元二次不等式， 从而求得mn的取值范围，这一交汇命题新颖独特，考查知识全面，难度中等，需要注意各知识应熟练掌握才能逐一化解.方法与技巧1.过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法来源:中国教育出版网先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系知切线斜率为，由点斜式方程可求切线方程.若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程xx0.2.过圆外一点(x

19、0，y0)的圆的切线方程的求法(1)几何方法当斜率存在时，设为k，切线方程为yy0k(xx0)，即kxyy0kx00.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程.(2)代数方法设切线方程为yy0k(xx0)，即ykxkx0y0，代入圆方程，得一个关于x的一元二次方程，由0，求得k，切线方程即可求出.3.两圆公共弦所在直线方程的求法若两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程.4.圆的弦长的求法(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则2r2d2.(2)代数法：设直线与圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，解方程组消y后得关于x的一元二次方

20、程，从而求得x1x2，x1x2，则弦长为|AB|(k为直线斜率).失误与防范1.求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为1列方程来简化运算.2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解.A组专项基础训练 (时间：40分钟)一、选择题1.圆C1：x2y21与圆C2：x2(y3)21的内公切线有且仅有()来源:中§教§网z§z§s§tepA.1条B.2条C.3条D.4条答案B解析圆心距为

21、3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.2.(2012·重庆)对任意的实数k，直线ykx1与圆x2y22的位置关系一定是()A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心答案C 解析x2y22的圆心(0,0)到直线ykx1的距离d1，又r，0<d<r.直线与圆相交但直线不过圆心.3.直线l过点A(2,4)且与圆x2y24相切，则l的方程为()A.3x4y100B.x2C.xy20D.x2或3x4y100答案D解析显然x2为所求切线之一；另设y4k(x2)，即kxy42k0，而2，k，即切线为3x4y100，x2或3x4y100为所求.4.(2013&#

22、183;山东)过点(3,1)作圆(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()来源:中*国教*育出*版网A.2xy30B.2xy30C.4xy30D.4xy30答案A解析如图所示：由题意知：ABPC，kPC，kAB2，直线AB的方程为y12(x1)，即2xy30.5.已知直线ykxb与圆O：x2y21相交于A，B两点，当b 时，·等于()A.1B.2C.3D.4答案A解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将ykxb代入x2y21得(1k2)x22kbxb210，故x1x2，x1x2，从而·x1x2y1y2(1k2)x1x2kb(x1x2)b2b21

23、b211.二、填空题6.若直线yxb与曲线y3有公共点，则b的取值范围是_. 答案12b3解析由y3，得(x2)2(y3)24(1y3).曲线y3是半圆，如图中实线所示.当直线yxb与圆相切时，2.b1±2.来源:z|zs|由图可知b12.b的取值范围是.7.若过点A(a，a)可作圆x2y22axa22a30的两条切线，则实数a的取值范围为_.答案(，3)解析圆方程可化为(xa)2y232a，由已知可得，解得a<3或1<a<.8.若圆x2y24与圆x2y22ay60 (a>0)的公共弦长为2，则a_.答案1解析方程x2y22ay60与x2y24. 相减得2ay

24、2，则y.由已知条件 ，即a1.三、解答题9.已知以点C(t，)(tR，t0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点.(1)求证：OAB的面积为定值；(2)设直线y2x4与圆C交于点M，N，若OMON，求圆C的方程.(1)证明圆C过原点O，OC2t2.设圆C的方程是(xt)2(y)2t2，令x0，得y10，y2；令y0，得x10，x22t，SOABOA·OB×|×|2t|4，来源:中。教。网z。z。s。tep即OAB的面积为定值.(2)解OMON，CMCN，OC垂直平分线段MN.kMN2，kOC.t，解得t2或t2.当t2时，圆心C的坐标为

25、(2,1)，OC，此时C到直线y2x4的距离d<，圆C与直线y2x4相交于两点.当t2时，圆心C的坐标为(2，1)，OC，此时C到直线y2x4的距离d>.圆C与直线y2x4不相交，t2不符合题意，舍去.圆C的方程为(x2)2(y1)25.10.已知矩形ABCD的对角线交于点P(2,0)，边AB所在直线的方程为x3y60，点(1,1)在边AD所在的直线上.(1)求矩形ABCD的外接圆的方程；(2)已知直线l：(12k)x(1k)y54k0(kR)，求证：直线l与矩形ABCD的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l的方程.解(1)lAB：x3y60且ADAB，点(1,1)在边AD

26、所在的直线上， AD所在直线的方程是y13(x1)，即3xy20.由得A(0，2).来源:|AP|2，矩形ABCD的外接圆的方程是(x2)2y28.(2)直线l的方程可化为k(2xy4)xy50，l可看作是过直线2xy40和xy50的交点(3,2)的直线系，即l恒过定点Q(3,2)，由(32)2225<8知点Q在圆P内，所以l与圆P恒相交.设l与圆P的交点为M，N，则|MN|2(d为P到l的距离)，设PQ与l的夹角为，则d|PQ|·sin sin ，当90°时，d最大，|MN|最短.此时l的斜率为PQ的斜率的负倒数，即，故l的方程为y2(x3)，x2y70.B组专项能

27、力提升(时间：30分钟)1.已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x4y40与圆C相切，则圆C的方程为()A.x2y22x30B.x2y24x0C.x2y22x30D.x2y24x0答案D来源:中。教。网z。z。s。tep解析设圆心为(a,0)，且a>0，则(a,0)到直线3x4y40的距离为2，即23a4±10a2或a(舍去)，则圆C的方程为(x2)2(y0)222，即x2y24x0.2.圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离等于1的点有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案C解析因为圆心到直线的距离为2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个.3.(2013·江西)过点(，0)引直线l与曲线y相交于A、B两点，O为坐标原点，当AOB的面积