浅析一阶微分方程的解法

1、乐山师范学院毕业论文（设计）浅析一阶微分方程的解法龙利乐山师范学院 数学与应用数学 09330214摘 要：本论文对一阶常微分方程的解法作了浅析，并举出例子分析了变量分离方程、可化为变量分离方程、一阶齐次和非齐次线性微分方程、伯努利微分方程、恰当微分方程、一阶隐式方程及一阶微分方程的变换解法。关键词：一阶微分方程；初等解法1变量分离方程 上式中的，是关于，的连续函数，叫做变量分离方程如果，则变形为，对于两边积分可以得到， 则为的解假如，如果存在使的，那么还是的解注：当不包含于的时侯一定要补上解 例1求解方程 解当的时候，用除以方程的两端，则原方程化为 ，可以看出上式是一个变量分离方程，对两边同

2、时积分可以得到该方程的通解为 即 为任意的常数此外，当的时候，不能用来除，但是是方程的两个特解，不过在通解公式中允许常数，两个特解就包含在通解之中了。另外，若不规定是自变量，是未知函数，则也是方程的两个特解，它们也包含在通解之中。2.可化为变量分离方程2.1型的齐次微分方程 这里的是的连续函数对于任意的连续函数，方程都可通过变换， 即，将其化为可分离变量方程，把对微分，有， 把，代入可以得到，也就是说 ， 方程是可分离变量方程，当时，进行分离变量，积分后得 或 再将替换上式的，即得方程的通解。 例2求解方程。 解 将方程变形为 令可得，对两边微分得 将上式代入原方程化简得 即 2.2型的微分方

3、程 对作变量变换，求微分方程得，代入方程将替换即得原方程得通解 例3 求解方程 解 对上式作变量变换求微分得 代入方程将替换得 变形积分得原方程得通解为 2.3型的微分方程 对上式做变量变换 则两边微分得 代入原方程化简即得原方程得通解。 例4求解方程 解：对上式做变量变换 则两边微分得 代入原方程化简得 再令 而，两边微分得 将上式代入化简得其通解为 总结：当方程中出现等形式的项的时候，通常要做相应的变量替换. 3线性微分方程3.1一阶非齐次线性微分方程 我们称为一阶非齐次线性微分方程，而，均要求为考虑区间上关于的连续函数我们已经知道当的时候其通解为 现在将中的常数变易为的待定函数令 对上式

4、两边微分得 将，代入化简得到 积分后得到 因此，的通解为 这种解法，我们称之为常数变易法。 例5 求解方程 解首先将该方程化为标准方程对应的齐次线性微分方程为该对应的齐次微分方程的通解为现令 代入方程化简得 两边积分得 故原方程得通解为 3.2 伯努利方程 像这样的方程我们称之为伯努利微分方程当时，我们用乘两边，得到 现令 从而有 将，代入中得到 式就是我们上面讲解的一阶线性非齐次方程，因此，可按上面的方法求得它的通解。此外，当的时候，方程还有解 例6 求解方程 解 将该方程变形为 现令 于是方程变形为 这是线性微分方程，利用常数变易法，求得其对应的齐次微分方程的解为 令,代入方程并整理得 对

5、上式两边积分得 故原方程的通解为 3.3黎卡提方程形如 的方程我们称之为黎卡提方程，其中，均要求为考虑区间上关于的连续函数显然，方程也是一个非线性方程，尽管当时，便是贝努力方程，但是它地求解问题却困难的多，我们知道方程的解不能用初等函数求积表出，但是如果已知它的一个特解，那么它的通解可以由两次求积得到。设是方程的一个特解，于是做变换 代入，再利用恒等形 我们就得到方程 这是贝努力方程，只要再做变换，上式即可化为线性方程 我们知道，线性方程的通解就是利用常数变易法得到的公式，这个公式是用两次求积分得到的，所以对黎卡提方程，只要能求出它的一个特解，那么它的通解就可以由两次求积分得到。 例7 求解方

6、程 解 由直接验证可知是这个黎卡提方程的特解，于是做变换，方程就化为贝努力方程， 再令，便化为线性方程： 利用常数变易法得到的公式得 即 从而该方程的通解为 3.4恰当微分方程 如果方程 的左端恰好是函数的全微分，即 则我们称为恰当微分方程。我们知道对于简单的微分方程我们用观察法就可以求解，但是对于比较复杂的方程，有如何判断该方程是不是一个恰当微分方程呢？事实上，若方程是全微分方程，则存在函数，使得 于是 将第一式对求楄导，第二式对求楄导，得到 根据数学分析中得知当函数是区间上的连续函数时，我们有 所以有 即当方程满足上式后该方程即为恰当微分方程。我们知道当方程满足时，则可设立一个函数，使它满

7、足，由的第一式可得 现在来适当的选取，使得函数满足的第二式，因此应有 即 利用条件，上式可写为 从而有 故 其中是任意常数，代入得 从而，原方程的通解为 例8 求解方程 解 因为 所以原方程是恰当微分方程，由 对积分，得 其中是待定函数，让 求得 故 于是原方程得通解为 注对于一些不是很复杂的恰当微分方程，一般通过“分项组合”变形观察就可以了。 例9求解方程 解原方程可以变形为，即，即，所以，原方程的通解为，如果方程不是恰当方程，即条件不成立，那么怎样将方程化成恰当方程呢？为此，我们需要找一个函数，当方程两边乘以后，便得到一个恰当方程： 即只要满足 这个时候我们称叫做方程的积分因子。展开条件就

8、是 积分因子一般是不容易求得的，那么现在我们考虑简单的积分因子，例如，考虑仅与有关的积分因子，那么此时 ，由式可得 该式与无关，于是 就是方程的一个积分因子。同理，可以得到原方程只含有与有关的积分因子的充要条件是 ，这里仅为的函数求得原方程的一个积分因子 例10 求解 解 改写原方程成对称形式 这里的，由于因此，方程有积分因子 考察方程 将它改写成 积分得该方程的通解为 归纳:一些简单的二元函数的全微分： ； ； ； ； ； 4.一阶隐式微分方程 形如 的方程我们称为一阶隐式方程。大家知道，对于一阶显式方程，常常求得的都是所谓隐式解，那么对于隐式方程来说，能求得显式解的情形就更少了。因此，在讨

9、论隐式方程时，我们经常去求它的隐式解或者利用引入参数的办法去求所谓参数形式解。现在讨论一种比较简单的情形当的左端是关于的次多项式，并且可以分解成个一次实因子的乘积，即方程可以化为 让上式左端每个因子等于零，然后积分 求得通解为 显然，方程的通解可写为 例11 求解 解 因为，于是有 分别进行积分得到 所以原方程得隐式通解为 如果方程能化为 这时，我们取为参数，有 两端对求导，得 即 这是关于的显式方程，如果求得的隐式解为 那么方程的通解可表示为如下的参数形式：其中为参数，为任意的常数 例12 求解方程 解令，得，即由得 故得参数形式通解为结束语一阶常微分方程的解法就是把微分方程的求解问题转化成

10、为积分问题，对于给定的常微分方程，不仅要准确判定它属于哪种类型，还要注重对做题技巧的把握，对各种一阶常微分方程的解题方法进行总结归纳，再根据方程本身的特点，引出变换，将方程转化为我们所能求的类型参考文献：1 金福临，李训经.常微分方程M.上海科学技术出版社，1986.1-30.2 王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松常微分方程M北京：高等教育出版社出版，2008.30-70.3 刘西恒，李永乐，袁萌棠. 数学复习全书北京：国家行政学院出版社，2009.254-267.4 陈文灯，黄先开考研数学复习指南北京理工大学出版社2011(08).148-162.5王光发，吴克乾，邓宗琦，陈永娥，常微分方程，湖

11、南教育出版社，1983.15-61.Elementary Solution of First-order Differential EquationsAbstract: In this paper,fundamental method of first-order differential equations is summarized briefly, at the same time,it introduces several examples to analyze the fundamental method of equation of separated equations,linear differen