高考数学二轮复习专题六 第3讲椭圆、双曲线、抛物线

1、 第第 3 讲讲 椭圆、双曲线、抛物线椭圆、双曲线、抛物线 考情分析考情分析 高考对这部分知识考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率、渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题 考点一 椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程 核心提炼 1圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|pf1|pf2|2a(2a|f1f2|) (2)双曲线：|pf1|pf2|2a(02ab0)的离心率为35，两焦点分别为f1，f2，m为椭圆上一点，且f1f2m 的周长为 16，则椭圆 c的方程为( ) a.x216y2251 b.x225y291 c.x29y2251 d.x225y2161 答

2、案 d 解析 椭圆x2a2y2b21(其中 ab0)的两焦点分别为 f1，f2，m 为椭圆上一点，且f1f2m 的周长为 16，可得 2a2c16， 椭圆x2a2y2b21(其中 ab0)的离心率为35，可得ca35，解得 a5，c3，则 b4，所以椭圆c的方程为x225y2161. (2)(2020 全国)设 f1，f2是双曲线 c：x2y231 的两个焦点，o 为坐标原点，点 p在 c上且|op|2，则pf1f2的面积为( ) a.72 b3 c.52 d2 答案 b 解析 方法一 由题意知 a1，b 3，c2，f1(2,0)，f2(2,0)， 如图，因为|of1|of2|op|2， 所以

3、点 p 在以 f1f2为直径的圆上，故 pf1pf2， 则|pf1|2|pf2|2(2c)216. 由双曲线的定义知|pf1|pf2|2a2， 所以|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|4， 所以|pf1|pf2|6， 所以pf1f2的面积为12|pf1|pf2|3. 方法二 由双曲线的方程可知，双曲线的焦点 f1，f2在 x 轴上，且|f1f2|2 134. 设点 p的坐标为(x0，y0)， 则 x20y2031，x20y202，解得|y0|32. 所以pf1f2的面积为 12|f1f2| |y0|124323. 易错提醒 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误 双曲线的定义中忽略“绝对值”

4、致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为 a2b2c2，双曲线中的关系式为 c2a2b2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置 跟踪演练 1 (1)设抛物线 c：y22px(p0)的焦点为 f，点 m 在 c 上，|mf|5.若以 mf 为直径的圆过点(0,2)，则 c的方程为( ) ay24x 或 y28x by22x或 y28x cy24x或 y216x dy22x 或 y216x 答案 c 解析 方法一 因为以 mf 为直径的圆过点(0,2)，所以点 m在第一象限 由|mf|xmp25，得 xm5p2， 即 m5p2，2p5p2. 从而以 mf 为直径的圆的圆心 n的坐标为5

5、2，122p5p2. 因为点 n 的横坐标恰好等于圆的半径， 所以圆与 y 轴相切于点(0,2)， 从而 2122p5p2， 即 p210p160，解得 p2或 p8， 所以抛物线方程为 y24x或 y216x. 方法二 由已知得抛物线的焦点 fp2，0 ， 设点 a(0,2)，点 m(x0，y0)， 则afp2，2 ，amy202p，y02 . 由已知，得af am0，即 y208y0160， 解得 y04，m8p，4 . 由|mf|5，得8pp22165. 又因为 p0，解得 p2 或 p8， 所以抛物线 c 的方程为 y24x或 y216x. (2)已知椭圆 c：x2my2m41(m4)

6、的右焦点为 f，点 a(2,2)为椭圆 c内一点，若椭圆 c上存在一点 p，使得|pa|pf|8，则实数 m的取值范围是( ) a(62 5，25 b9,25 c(62 5，20 d3,5 答案 a 解析 椭圆 c：x2my2m41(m4)的右焦点 f 的坐标为(2,0)设左焦点为 f，则 f(2,0) 由椭圆的定义可得 2 m|pf|pf|， 即|pf|2 m|pf|，可得|pa|pf|pa|pf|2 m82 m. 由|pa|pf|af|2，可得282 m2， 解得 3 m5，所以 9m25. 又点 a在椭圆内，所以4m4m44)， 所以 8m164)， 解得 m62 5. 由得 62 50

7、，b0)共渐近线 bx ay0 的双曲线方程为x2a2y2b2(0) 例 2 (1)设 f1，f2分别是椭圆 e：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点，过 f2的直线交椭圆于a，b 两点，且af1 af20，af22f2b，则椭圆 e的离心率为( ) a.23 b.34 c.53 d.74 答案 c 解析 af22f2b， 设|bf2|x，则|af2|2x， |af1|2a2x，|bf1|2ax， af1 af20，af1af2， 在 rtaf1b中，有(2a2x)2(3x)2(2ax)2， 解得 xa3，|af2|2a3，|af1|4a3， 在 rtaf1f2中，有4a322a32(2c

8、)2， 整理得c2a259，eca53. (2)(2020 莆田市第一联盟体联考)已知直线 l：yx1与抛物线 y24x 相交于 a，b两点，m是 ab的中点，则点 m 到抛物线准线的距离为( ) a.72 b4 c7 d8 答案 b 解析 由题意可知直线 yx1 过抛物线 y24x 的焦点(1,0)，如图，aa，bb，mm都和准线垂直，并且垂足分别是 a，b，m， 由图象可知 |mm|12(|aa|bb|)， 根据抛物线的定义可知|aa|bb|ab|， |mm|12|ab|，联立 yx1，y24x， 得 x26x10， 设 a，b 两点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)， x1x26，|

9、ab|x1x228， |mm|4. 二级结论 抛物线的有关性质：已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 f，直线 l 过点 f 且与抛物线交于两点 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 (1)|ab|x1x2p2psin2( 为直线 l的倾斜角) (2)以 ab为直径的圆与抛物线的准线相切 (3)1|af|1|bf|2p. 跟踪演练 2 (1)已知 f 是抛物线 c：y22px(p0)的焦点，抛物线 c 的准线与双曲线 ：x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线交于 a，b 两点，若abf 为等边三角形，则 的离心率 e等于( ) a.32 b.2 33 c.217 d.213 答案 d

10、 解析 抛物线的焦点坐标为p2，0 ，准线方程为 xp2， 联立抛物线的准线方程与双曲线的渐近线方程得 xp2，ybax，解得 ypb2a，可得|ab|pba， 由abf为等边三角形，可得 p32pba， 即有ba23， 则 eca1b2a2143213. (2)已知抛物线 c：y22px(p0)的焦点为 f，点 m(x0,2 2)x0p2是抛物线 c 上一点，圆 m与线段 mf相交于点 a，且被直线 xp2截得的弦长为 3|ma|，若|ma|af|2，则|af|等于( ) a.32 b1 c2 d3 答案 b 解析 如图所示，由题意知，|mf|x0p2. 圆 m 与线段 mf相交于点 a，且

11、被直线 xp2截得的弦长为 3|ma|， |ma|2|dm|2x0p2. |ma|af|2，|mf|32|ma|， x0p. 又点 m(x0,2 2)在抛物线上，2p28， 又p0，p2. |ma|2x0p22，|af|1. 考点三 直线与圆锥曲线的位置关系 核心提炼 解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题要点如下： (1)设直线与椭圆的交点坐标为 a(x1，y1)，b(x2，y2)； (2)联立直线的方程与椭圆的方程； (3)消元得到关于 x 或 y 的一元二次方程； (4)利用根与系数的关系设而不求； (5)把题干中的条件转化为含有 x1x2，x1x2或 y1y2，y1

12、y2的式子，进而求解即可 例 3 (2020 全国)已知椭圆 c：x225y2m21(0m0，由题意知 yp0. 由已知可得 b(5,0)，直线 bp 的方程为 y1yq(x5)， 所以|bp|yp1y2q，|bq| 1y2q. 因为|bp|bq|，所以 yp1. 将 yp1代入 c的方程，解得 xp3 或3. 由直线 bp的方程得 yq2或 8， 所以点 p，q 的坐标分别为 p1(3,1)，q1(6,2)；p2(3,1)，q2(6,8) 所以|p1q1| 10，直线 p1q1的方程为 y13x， 点 a(5,0)到直线 p1q1的距离为102， 故ap1q1的面积为12102 1052；

13、|p2q2| 130，直线 p2q2的方程为 y79x103， 点 a 到直线 p2q2的距离为13026， 故ap2q2的面积为1213026 13052. 综上，apq的面积为52. 规律方法 解决直线与圆锥曲线位置关系的注意点 (1)注意使用圆锥曲线的定义 (2)引入参数，注意构建直线与圆锥曲线的方程组 (3)注意用好圆锥曲线的几何性质 (4)注意几何关系和代数关系之间的转化 跟踪演练 3 (1)(2019 全国)已知椭圆 c 的焦点为 f1(1,0)，f2(1,0)，过 f2的直线与 c 交于 a，b 两点若|af2|2|f2b|，|ab|bf1|，则 c的方程为( ) a.x22y2

14、1 b.x23y221 c.x24y231 d.x25y241 答案 b 解析 由题意设椭圆的方程为x2a2y2b21(ab0)，连接 f1a，令|f2b|m，则|af2|2m，|bf1|3m.由椭圆的定义知，4m2a，得 ma2，故|f2a|a|f1a|，则点 a 为椭圆 c 的上顶点或下顶点令oaf2(o为坐标原点)，则 sin ca1a.在等腰三角形 abf1中，cos 2(2m)2(3m)2(3m)222m 3m13，因为 cos 212sin2，所以13121a2，得 a23.又 c21，所以 b2a2c22，椭圆 c的方程为x23y221. (2)设 f 为抛物线 y22px(p0

15、)的焦点，斜率为 k(k0)的直线过 f 交抛物线于 a，b 两点，若|fa|3|fb|，则直线 ab 的斜率为( ) a.12 b1 c. 2 d. 3 答案 d 解析 假设 a 在第一象限，如图， 过 a，b 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 d，e， 过 a 作 eb 的垂线，垂足为 c，则四边形 adec 为矩形， 由抛物线定义可知|ad|af|， |be|bf|， 又|fa|3|fb|， |ad|ce|3|be|，即 b为 ce 的三等分点， 设|bf|m，则|bc|2m，|af|3m，|ab|4m， 即|ac| |ab|2|bc|2 16m24m22 3m， 则 tanabc|

16、ac|bc|2 3m2m 3， 即直线 ab的斜率 k 3. 专题强化练专题强化练 一、单项选择题 1(2020 福州模拟)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为 y23x，则此双曲线的离心率为( ) a.134 b.132 c.133 d.134 答案 c 解析 因为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为 y23x，所以ba23，所以双曲线的离心率 eca1ba21232133. 2(2020 全国)已知 a 为抛物线 c：y22px(p0)上一点，点 a 到 c 的焦点的距离为 12，到 y轴的距离为 9，则 p 等于( ) a2 b3 c6 d9 答案 c

17、 解析 设 a(x，y)，由抛物线的定义知，点 a 到准线的距离为 12，即 xp212. 又因为点 a到 y轴的距离为 9，即 x9， 所以 9p212，解得 p6. 3已知椭圆 c：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 f1，f2，左、右顶点分别为 m，n，过 f2的直线 l 交 c 于 a，b 两点(异于 m，n)，af1b 的周长为 4 3，且直线 am 与 an 的斜率之积为23，则 c的方程为( ) a.x212y281 b.x212y241 c.x23y221 d.x23y21 答案 c 解析 由af1b的周长为 4 3， 可知|af1|af2|bf1|bf2|4a4

18、3， 解得 a 3，则 m() 3，0 ，n( 3，0) 设点 a(x0，y0)(x0 3)， 由直线 am 与 an 的斜率之积为23， 可得y0 x0 3y0 x0 323， 即 y2023(x203)， 又x203y20b21，所以 y20b21x203， 由解得 b22. 所以 c的方程为x23y221. 4设 f 为双曲线 c：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点，o 为坐标原点，以 of 为直径的圆与圆 x2y2a2交于 p，q两点若|pq|of|，则 c 的离心率为( ) a. 2 b. 3 c2 d. 5 答案 a 解析 如图，由题意，知以 of为直径的圆的方程为xc22y

19、2c24， 将 x2y2a2记为式， 得 xa2c，则以 of为直径的圆与圆 x2y2a2的公共弦所在直线的方程为 xa2c， 所以|pq|2a2a2c2. 由|pq|of|，得 2a2a2c2c， 整理得 c44a2c24a40， 即 e44e240，解得 e 2. 5(2020 潍坊模拟)已知点 p 为双曲线 c：x2a2y2b21(a0，b0)右支上一点，f1，f2分别为c 的左、右焦点，直线 pf1与 c 的一条渐近线垂直，垂足为 h，若|pf1|4|hf1|，则该双曲线的离心率为( ) a.153 b.213 c.53 d.73 答案 c 解析 如图，取 pf1的中点 m，连接 mf

20、2.由条件可知 |hf1|14|pf1|12|mf1|， o 是 f1f2的中点， ohmf2， 又ohpf1，mf2pf1， |f1f2|pf2|2c. 根据双曲线的定义可知|pf1|2a2c， |hf1|ac2， 直线 pf1的方程是 yab(xc)， 即 axbyac0， 原点到直线 pf1的距离|oh|ac|a2b2a， 在ohf1中，a2ac22c2， 整理为 3c22ac5a20，即 3e22e50， 解得 e53或 e1(舍) 二、多项选择题 6(2020 新高考全国)已知曲线 c：mx2ny21.( ) a若 mn0，则 c 是椭圆，其焦点在 y 轴上 b若 mn0，则 c是圆

21、，其半径为 n c若 mn0，则 c是两条直线 答案 acd 解析 对于 a，当 mn0 时，有1n1m0，方程化为x21my21n1，表示焦点在 y 轴上的椭圆，故 a 正确 对于 b，当 mn0 时，方程化为 x2y21n，表示半径为1n的圆，故 b错误 对于 c，当 m0，n0 时，方程化为x21my21n1，表示焦点在 x 轴上的双曲线，其中 a1m，b1n，渐近线方程为 ymnx；当 m0 时，方程化为y21nx21m1，表示焦点在 y 轴上的双曲线，其中 a1n，b1m，渐近线方程为 ymnx，故 c正确 对于 d，当 m0，n0 时，方程化为 y1n，表示两条平行于 x 轴的直线

22、，故 d正确 7已知双曲线 c过点(3， 2)且渐近线为 y33x，则下列结论正确的是( ) ac的方程为x23y21 bc的离心率为 3 c曲线 yex21经过 c的一个焦点 d直线 x 2y10与 c有两个公共点 答案 ac 解析 因为渐近线方程为 y33x，所以可设双曲线方程为x29y23，代入点(3， 2)，得 13，所以双曲线方程为x23y21，选项 a 正确；该双曲线的离心率为2 33，选项 b 不正确；双曲线的焦点为( 2,0)，曲线 yex21 经过双曲线的焦点(2,0)，选项 c 正确；把 x2y1代入双曲线方程，得 y22 2y20，解得 y 2，故直线 x 2y10与曲线

23、 c只有一个公共点，选项 d不正确 8已知抛物线 c：y22px(p0)的焦点为 f，直线 l 的斜率为 3且经过点 f，直线 l 与抛物线 c交于 a，b 两点(点 a在第一象限)，与抛物线的准线交于点 d.若|af|8，则下列结论正确的是( ) ap4 b.dffa c|bd|2|bf| d|bf|4 答案 abc 解析 如图所示，分别过点 a，b 作准线的垂线，垂足分别为 e，m，连接 ef.抛物线 c 的准线交 x 轴于点 p，则|pf|p，由于直线 l 的斜率为 3，则其倾斜角为 60 .又 aex 轴，eaf60 ，由抛物线的定义可知，|ae|af|，则aef 为等边三角形，efp

24、aef60 ，则pef30 ，|af|ef|2|pf|2p8，解得 p4，故 a 正确；|ae|ef|2|pf|，pfae，f 为线段 ad 的中点，则dffa，故 b 正确；dae60 ，ade30 ，|bd|2|bm|2|bf|(抛物线定义)，故 c 正确；|bd|2|bf|，|bf|13|df|13|af|83，故 d 错误 三、填空题 9(2019 全国)设 f1，f2为椭圆 c：x236y2201 的两个焦点，m 为 c 上一点且在第一象限若mf1f2为等腰三角形，则 m 的坐标为_ 答案 (3， 15) 解析 不妨令 f1，f2分别为椭圆 c 的左、右焦点，根据题意可知 c3620

25、4.因为mf1f2为等腰三角形，所以易知|f1m|2c8，所以|f2m|2a84. 设 m(x，y)，则 x236y2201，|f1m|2(x4)2y264，x0，y0，得 x3，y 15， 所以 m 的坐标为(3， 15) 10(2020 全国)已知 f 为双曲线 c：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点，a 为 c 的右顶点，b为 c 上的点，且 bf 垂直于 x轴若 ab的斜率为 3，则 c的离心率为_ 答案 2 解析 如图，a(a,0) 由 bfx 轴且 ab的斜率为 3， 知点 b在第一象限，且 bc，b2a， 则 kabb2a0ca3， 即 b23ac3a2. 又c2a2b2，

26、即 b2c2a2， c23ac2a20， e23e20. 解得 e2或 e1(舍去)故 e2. 11设双曲线 mx2ny21 的一个焦点与抛物线 y18x2的焦点相同，离心率为 2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为_ 答案 3 解析 抛物线 x28y 的焦点为(0,2)， mx2ny21的一个焦点为(0,2)， 焦点在 y 轴上， a21n，b21m，c2. 根据双曲线三个参数的关系得到 4a2b21n1m， 又离心率为 2，即41n4， 解得 n1，m13， 此双曲线的方程为 y2x231， 则双曲线的一条渐近线方程为 x 3y0， 则抛物线的焦点(0,2)到双曲线的一条渐近线的距

27、离为 d|2 3|13 3. 12.如图，抛物线 c1：y22px和圆 c2：xp22y2p24，其中 p0，直线 l经过 c1的焦点，依次交 c1，c2于 a，d，b，c 四点，则ab cd的值为_ 答案 p24 解析 易知ab cd|ab| |cd|，圆 c2的圆心即为抛物线 c1的焦点 f，当直线 l 的斜率不存在时，l的方程为 xp2，所以 ap2，p ，bp2，p2，cp2，p2，dp2，p ，|ab|cd|p2，所以ab cdp2p2p24；当直线 l 的斜率存在时，设 a(x1，y1)，d(x2，y2)，则|ab|fa|fb|x1p2p2x1，同理|cd|x2，设 l 的方程为 ykxp2，由 ykxp2，y22px，可得 k2x2(pk22p)xk2p240，则ab cd|ab| |cd|x1 x2p24.综上，ab cdp24. 四、解答题 13(2020 全国)已知椭圆 c1：x2a2y2b21(ab0)的右焦点 f 与抛物线 c2的焦点重合，c1的中心与 c2的顶点重合过 f 且与 x 轴垂直的直线交 c1于 a，b 两点，交 c2于 c，d 两点，且|cd|43|ab|. (1)求 c1的离心率； (2