高考数学一轮复习课时作业(五十三)　椭圆及其简单几何性质

1、1 / 5 课时作业(五十三) 椭圆及其简单几何性质 基础过关组 一、单项选择题 1椭圆的焦点在 x 轴上，中心在原点，其上、下顶点和两个焦点恰是边长为 2 的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为( ) a.x22y221 b.x22y21 c.x24y221 d.y24x221 解析 由条件可知 bc 2，则 a2，所以椭圆的标准方程为x24y221。故选 c。 答案 c 2(2021 八省联考)椭圆x2m21y2m21(m0)的焦点为 f1，f2，上顶点为 a，若f1af23，则 m( ) a1 b. 2 c. 3 d2 解析 在椭圆x2m21y2m21(m0)中，a m21，bm，ca2b2

2、1，如图所示。因为椭圆x2m21y2m21(m0)的上顶点为 a，焦点为 f1，f2，所以|af1|af2a，又因为f1af23，所以f1af2为等边三角形，则|af1|f1f2，即 m21a2c2，因此，m 3。故选 c。 答案 c 3已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的焦点分别为 f1，f2，b4，离心率为35。过 f1的直线交椭圆于 a，b 两点，则abf2的周长为( ) a10 b12 c16 d20 解析 如图，由椭圆的定义知abf2的周长为 4a，又 eca35，即 c35a，所以 a2c21625a2b216。所以a5，abf2的周长为 20。 答案 d 4已知椭圆 c：x2a

3、2y2b21(ab0)，若长轴的长为 6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( ) a.x236y2321 b.x29y281 c.x29y251 d.x216y2121 解析 由题意知 2a6,2c136，所以 a3，c1，则 b 32122 2，所以此椭圆的标准方程为x29y281。 答案 b 5(2021 湖北宜昌一中模拟)设 f1，f2为椭圆的两个焦点，以 f2为圆心作圆，已知圆 f2经过椭圆的中心，且与椭圆相交，其中一个交点为 m，若直线 mf1恰与圆 f2相切，则该椭圆的离心率为( ) a. 31 b2 3 c.22 d.32 解析 由题意知f1mf22，|mf2|c，

4、|f1m|2ac，则 c2(2ac)24c2，e22e20，解得 e2 / 5 31。 答案 a 6已知 f 是椭圆 c：x29y251 的左焦点，p 为椭圆 c 上的一点，a1，43，则|pa|pf|的最小值为( ) a.103 b.113 c4 d.133 解析 设椭圆 c：x29y251 的右焦点为 f，则 f(2,0)，f(2,0)。由 a1，43，得|af|53。根据椭圆的定义可得|pf|pf|2a6，所以|pa|pf|pa|6|pf|6|af|653133。 答案 d 二、多项选择题 7(2021 山东淄博模拟)已知椭圆 ：x2a2y2b21(ab0)，则下列结论正确的是( ) a

5、若 a2b，则 的离心率为22 b若 的离心率为12，则ba32 c若 f1，f2分别为 的两个焦点，直线 l 过点 f1且与 交于点 a，b，则abf2的周长为 4a d若 a1，a2分别为 的左、右顶点，p 为 上异于点 a1，a2的任意一点，则 pa1，pa2的斜率之积为b2a2 解析 若 a2b，则 c 3b，e32，a 不正确；若 e12，则 a2c，b 3c，ba32，b 正确；根据椭圆的定义易知 c 正确；设 p(x0，y0)，则x20a2y20b21，易知 a1(a,0)，a2(a,0)，所以 pa1，pa2的斜率之积为y0 x0ay0 x0ay20 x20a2b21x20a2

6、x20a2b2a2，d 正确。故选 bcd。 答案 bcd 8设椭圆 c：x22y21 的左、右焦点分别为 f1，f2，p 是 c 上的动点，则下列结论正确的是( ) a|pf1|pf2|2 2 b离心率 e62 cpf1f2面积的最大值为 2 d以线段 f1f2为直径的圆与直线 xy 20 相切 解析 对于 a，由椭圆的定义可知|pf1|pf2|2a2 2，所以 a 正确；对于 b，依题意 a 2，b1，c1，所以 eca1222，所以 b 错误；对于 c，|f1f2|2c2，当 p 为椭圆短轴顶点时，pf1f2的面积取得最大值，为12 2c b1，所以 c 错误；对于 d，以线段 f1f2

7、为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为 c1，圆心到直线 xy 20 的距离为221，所以以线段 f1f2为直径的圆与直线 xy 20 相切，所以d 正确。故选 ad。 答案 ad 三、填空题 9已知椭圆中心在原点，一个焦点为 f(2 3，0)，且长轴长是短轴长的 2 倍。则该椭圆的长轴长为_，其标准方程是_。 解析 设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)，由已知可得 a2b，c2 3，a2b2c2，解得 b2，a4，则该椭圆的长轴长为3 / 5 8，其标准方程是x216y241。 答案 8 x216y241 10已知 f1，f2分别是椭圆 e：x2a2y231(a0)的左、右焦点，点 m 在

8、椭圆 e 上，且f1mf223，则f1mf2的面积为_。 解析 解法一：因为 f1，f2分别是椭圆的左、右焦点，所以椭圆的焦点在 x 轴上，由椭圆的定义可得|mf1|mf2|2a，在f1mf2中，由余弦定理得 4c2|mf1|2|mf2|22|mf1|mf2|cos 23，即 4c2|mf1|2|mf2|2|mf1|mf2|(|mf1|mf2|)2|mf1|mf2|4a2|mf1|mf2|，即|mf1|mf2|4b2，又 b23，所以 sf1mf212|mf1|mf2|sin 23 3b23 3。 解法二：因为 f1，f2分别是椭圆的左、右焦点，m 在椭圆上，b23，所以根据结论知，sf1mf

9、2b2tan f1mf22b2tan 33 3。 答案 3 3 11设 a1，a2分别为椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右顶点，若在椭圆上存在点 p，使得 kpa1 kpa212，则该椭圆的离心率的取值范围是_。 解析 由题意知，椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右顶点分别为 a1(a,0)，a2(a,0)，设 p(x0，y0)，则kpa1 kpa2y20 x20a212。因为x20a2y20b21，所以 a2x20a2y20b2，所以b2a212，即a2c2a212，1e222，又 e1，故22eb0)，f1，f2分别为椭圆的左、右焦点，a 为椭圆的上顶点，直线af2交椭圆于另一点

10、 b。 (1)若f1ab90 ，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的焦距为 2，且af22f2b，求椭圆的方程。 解 (1)若f1ab90 ，则aof2为等腰直角三角形。 所以有|oa|of2|，即 bc。 所以 a 2c，eca22。 (2)由题知 a(0，b)，f2(1,0)，设 b(x，y)， 由af22f2b，解得 x32，yb2。 代入x2a2y2b21，得94a2b24b21。 即94a2141，解得 a23，b22。 所以椭圆方程为x23y221。 13已知 f1，f2是椭圆 c：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点，p 为 c 上的点，o 为坐标原点。 (1)若pof2为等边三角

11、形，求 c 的离心率； (2)如果存在点 p，使得 pf1pf2，且f1pf2的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围。 解 (1)连接 pf1(图略)，由pof2为等边三角形可知在f1pf2中，f1pf290 ， |pf2|c，|pf1|3c， 于是 2a|pf1|pf2|( 31)c， 故 c 的离心率 eca 31。 4 / 5 (2)由题意可知，满足条件的点 p(x，y)存在，当且仅当12|y| 2c16，yxcyxc1， x2a2y2b21， 即c|y|16 ， x2y2c2 ， x2a2y2b21 ， 由及 a2b2c2得 y2b4c2， 又由知 y2162c2，故 b4。

12、 由得 x2a2c2(c2b2)，所以 c2b2， 从而 a2b2c22b232，故 a4 2。 当 b4，a4 2时，存在满足条件的点 p。 所以 b4，a 的取值范围为4 2，)。 素养提升组 14(多选)已知椭圆 c1：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 f1，f2，离心率为 e1，椭圆 c1的上顶点为 m，且mf1 mf20，双曲线 c2和椭圆 c1有相同焦点，且双曲线 c2的离心率为 e2，p 为曲线 c1与 c2的一个公共点，若f1pf23，则正确的是( ) a.e2e12 be1 e232 ce21e2252 de22e211 解析 因为mf1 mf20 且|mf

13、1|mf2|，故mf1f2为等腰直角三角形，设椭圆的半焦距为 c，则 cb22a，所以 e122。在焦点三角形 pf1f2中，f1pf23，设|pf1|x，|pf2|y，双曲线 c2的实半轴长为a，则 x2y2xy4c2，xy2 2c，|xy|2a，故 xy43c2，从而(xy)2x2y2xyxy8c23，所以(a)22c23，即 e262，故e2e1 3，e2e132，e21e222，e22e211。故选 bd。 答案 bd 15(新情境题)某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为 e，设地球半径为 r，该卫星近地点离地面的距离为 r，则该卫星远地点离地面的距离为(

14、 ) a.1e1er2e1er b.1e1ere1er c.1e1er2e1er d.1e1ere1er 解 析 设 该 卫 星 远 地 点 离 地 面 的 距 离 为 r ， 则 由 题 意 分 析 可 知 acrr，acrr，所 以 arr2r2，crr2，所以离心率 ecarrrr2r，解得 r1e1er2e1er。故选 a。 答案 a 16(2020 天津高考)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的一个顶点为 a(0，3)，右焦点为 f，且|oa|of|，其中 o 为原点。 (1)求椭圆的方程； (2)已知点 c 满足 3ocof，点 b 在椭圆上(b 异于椭圆的顶点)，直线 ab 与以 c 为圆心的圆相切于点p，且 p 为线段 ab 的中点，求直线 ab 的方程。 解 (1)由已知可得 b3。记半焦距为 c， 由|of|oa|，可得 cb3。 又由 a2b2c2，可得 a218。 5 / 5 所以，椭圆的方程为x218y291。 (2)因为直线 ab 与以 c 为圆心的圆相切于点 p，所以 abcp。 依题意，直线 ab 和直线 cp 的斜率均存在。 设直线 ab 的方程为 ykx3。 由方程组 ykx3，x218y291， 消去 y，可得(2k21)x212kx0， 解得 x0