高考数学一轮复习第3章 第3节 利用导数解决函数的极值、最值问题

1、1 / 12 利用导数解决函数的极值、最值问题 考试要求 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次). 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次) 1函数的极值与导数 条件 f(x0)0 x0附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0 x0附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0 图象 形如山峰 形如山谷 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 提醒：(1)函数 f(x)在 x0处有极值的必要不充分条件是 f(x0)0，极值点是f(x)0 的根，但 f

2、(x)0 的根不都是极值点(例如 f(x)x3，f(0)0，但 x0 不是极值点) (2)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质极值点是函数在区间内部的点，不会是端点 2函数的最值与导数 (1)函数 f(x)在a，b上有最值的条件 如果在区间a，b上函数 yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值 (2)求 yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤 求函数 yf(x)在(a，b)内的极值； 2 / 12 将函数 yf(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 常用结论 1若函数 f(x)的图象连续

3、不断，则 f(x)在a，b上一定有最值 2若函数 f(x)在a，b上是具有单调性，则 f(x)一定在区间端点处取得最值 3若函数 f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)函数的极大值不一定比极小值大( ) (2)对可导函数 f(x)，f(x0)0是 x0点为极值点的充要条件( ) (3)函数的极大值一定是函数的最大值( ) (4)开区间上的单调连续函数无最值( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1.函数 f(x)的定义域为 r，导函数 f(x)的图象如图所示，则函数 f(x)(

4、) a无极大值点、有四个极小值点 b有三个极大值点、一个极小值点 c有两个极大值点、两个极小值点 d有四个极大值点、无极小值点 c 设 f(x)的图象与 x 轴的 4个交点从左至右依次为 x1，x2，x3，x4. 当 xx1时，f(x)0，f(x)为增函数， 当 x1xx2时，f(x)0，f(x)为减函数，则 xx1为极大值点，同理，xx3为极大值点，xx2，xx4为极小值点，故选 c. 2设函数 f(x)2xln x，则( ) ax12为 f(x)的极大值点 3 / 12 bx12为 f(x)的极小值点 cx2 为 f(x)的极大值点 dx2为 f(x)的极小值点 d f(x)2x21xx2

5、x2(x0)， 当 0 x2时，f(x)0，当 x2 时，f(x)0， 所以 x2为 f(x)的极小值点 3函数 f(x)ln xx在区间(0，e上的最大值为_ 1 f(x)1x1，令 f(x)0得 x1. 当 x(0,1)时，f(x)0；当 x(1，e时，f(x)0. 当 x1时，f(x)取得最大值，且 f(x)maxf(1)ln 111. 4函数 f(x)x312x的极小值为_，极大值为_ 16 16 f(x)3x212，令 f(x)0，即 3x2120， 解得 x 2，当 x2时，f(x)0，当2x2时，f(x)0，当 x2 时，f(x)0， 因此 x2 是极大值点，x2 是极小值点，f

6、(x)极大f(2)(2)312(2)16，f(x)极小f(2)2312216. 考点一 利用导数解决函数的极值问题 利用导数研究函数极值问题的一般流程 根据函数图象求值问题 典例 11 函数 f(x)x3bx2cxd的大致图象如图所示，则 x21x22等4 / 12 于( ) a89 b109 c169 d289 c 因为函数 f(x)的图象过原点，所以 d0.又 f(1)0 且 f(2)0，即1bc0且 84b2c0，解得 b1，c2，所以函数 f(x)x3x22x，所以 f(x)3x22x2.由题意知 x1，x2是函数 f(x)的极值点，所以 x1，x2是 f(x)0 的两个根，所以 x1

7、x223，x1x223，所以 x21x22(x1x2)22x1x24943169，故选 c. 点评：可导函数在极值点处的导数一定为零，是否为极值点以及是极大值点还是极小值点要看在极值点左、右两侧导数的符号 求已知函数的极值 典例 12 已知函数 f(x)(x2)(exax)，当 a0时，讨论 f(x)的极值情况 解 f(x)(exax)(x2)(exa) (x1)(ex2a)， 由 f(x)0 得 x1或 xln 2a(a0) 当 ae2时，f(x)(x1)(exe)0， f(x)在 r 上单调递增，故 f(x)无极值 当 0ae2时，ln 2a1，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况

8、如下表： x (，ln 2a) ln 2a (ln 2a,1) 1 (1，) f(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 故 f(x)有极大值 f(ln 2a)a(ln 2a2)2，极小值 f(1)ae. 5 / 12 当 ae2时，ln 2a1，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x (，1) 1 (1，ln 2a) ln 2a (ln 2a，) f(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 故 f(x)有极大值 f(1)ae， 极小值 f(ln 2a)a(ln 2a2)2. 综上，当 0ae2时，f(x)有极大值a(ln 2a2)2，极小值 ae； 当 ae2时，f(x)无

9、极值； 当 ae2时，f(x)有极大值 ae，极小值a(ln 2a2)2. 点评：求极值时，要注意 f(x)0的根是否在定义域内 已知函数极值求参数的值或范围 典例 13 (1)已知 f(x)x33ax2bxa2在 x1时有极值 0，则 ab_. (2)设函数 f(x)ax2(3a1)x3a2ex.若 f(x)在 x1处取得极小值，求a 的取值范围 (1)7 由题意，得 f(x)3x26axb，则 a23ab10，b6a30， 解得 a1，b3，或 a2，b9， 经检验，当 a1，b3 时，函数 f(x)在 x1处无法取得极值， 而 a2，b9满足题意， 故 ab7. (2)解 由 f(x)a

10、x2(3a1)x3a2ex，得 f(x)ax2(a1)x1ex (ax1)(x1)ex. 若 a1，则当 x1a，1 时，f(x)0； 当 x(1，)时，f(x)0. 所以 f(x)在 x1 处取得极小值 6 / 12 若 a1，则当 x(0,1)时，ax1x10， 所以 f(x)0. 所以 1不是 f(x)的极小值点 综上可知，a的取值范围是(1，) 点评：已知函数极值点或极值求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为 0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解 (2)验证：因为某点处的导数值等于 0 不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 跟进训

11、练 1已知函数 f(x)x(xc)2在 x2 处有极小值，则实数 c 的值为( ) a6 b2 c2或 6 d0 b 由 f(2)0 可得 c2 或 6.当 c2时，结合图象(图略)可知函数先增后减再增，在 x2处取得极小值；当 c6时，结合图象(图略)可知，函数在 x2 处取得极大值故选 b. 2已知三次函数 f(x)ax3bx2cxd的图象如图所示，则f(0)f(1)_. 1 f(x)3ax22bxc，由图象知，方程 f(x)0的两根为1和 2，则有 2b3a12，c3a12， 即 3a2b0，6ac0， f(0)f(1)c3a2bccc1. 3(2019 江苏高考节选)设函数 f(x)(

12、xa)(xb)(xc)，a，b，cr，f(x)为 f(x)的导函数，若 ab，bc，且 f(x)和 f(x)的零点均在集合3,1,3中，求 f(x)的极小值 7 / 12 解 因为 bc，所以 f(x)(xa)(xb)2x3(a2b)x2b(2ab)xab2，从而 f(x)3(xb)x2ab3. 令 f(x)0，得 xb 或 x2ab3. 因为 a，b，2ab3都在集合3,1,3中，且 ab， 所以2ab31，a3，b3. 此时，f(x)(x3)(x3)2，f(x)3(x3)(x1) 令 f(x)0，得 x3 或 x1. 列表如下： x (，3) 3 (3,1) 1 (1，) f(x) 0 0

13、 f(x) 极大值 极小值 所以 f(x)的极小值为 f(1)(13)(13)232. 考点二 利用导数求函数的最值 1求函数 f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤 2求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值 典例 2 (2020 青岛模拟)已知函数 f(x)excos xx. (1)求曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)求函数 f(x)在区间0，2上的最大值和最小值 8 / 12 解 (1)因为 f(x)excos xx，所以 f(x)ex(cos xsin

14、 x)1，f(0)0. 又因为 f(0)1，所以曲线 yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为 y1. (2)设 h(x)ex(cos xsin x)1，则 h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x. 当 x0，2时，h(x)0，所以 h(x)在区间0，2上单调递减 所以对任意 x0，2，有 h(x)h(0)0，即 f(x)0. 所以函数 f(x)在区间0，2上单调递减 因此 f(x)在区间0，2上的最大值为 f(0)1，最小值为 f22. 点评：当导函数 yf(x)无法判断正负时，可令 g(x)f(x)再求 g(x)，先判断 g(x)f(x)的单调性，再根据

15、单调性确定 yf(x)的正负号 跟进训练 已知函数 f(x)ln xax(ar) (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)当 a0时，求函数 f(x)在1,2上的最小值 解 (1)f(x)1xa(x0)， 当 a0时，f(x)1xa0，即函数 f(x)的单调递增区间为(0，) 当 a0时，令 f(x)1xa0，可得 x1a， 当 0 x1a时，f(x)1axx0； 当 x1a时，f(x)1axx0， 故函数 f(x)的单调递增区间为0，1a， 单调递减区间为1a， . 综上可知，当 a0时，函数 f(x)的单调递增区间为(0，)； 当 a0时，函数 f(x)的单调递增区间为0，1a， 9 /

16、 12 单调递减区间为1a， . (2)当 01a1，即 a1时，函数 f(x)在区间1,2上单调递减，所以 f(x)的最小值是 f(2)ln 22a. 当1a2，即 0a12时，函数 f(x)在区间1,2上单调递增，所以 f(x)的最小值是 f(1)a. 当 11a2，即12a1 时，函数 f(x)在1，1a上单调递增，在1a，2 上单调递减 又 f(2)f(1)ln 2a， 所以当12aln 2 时，最小值是 f(1)a； 当 ln 2a1时，最小值为 f(2)ln 22a. 综上可知， 当 0aln 2 时，函数 f(x)的最小值是 f(1)a； 当 aln 2 时，函数 f(x)的最小

17、值是 f(2)ln 22a. 考点三 利用导数解决生活中的优化问题 利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式 yf(x) (2)求函数的导数 f(x)，解方程 f(x)0. (3)比较函数在区间端点和 f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值 (4)回归实际问题，结合实际问题作答 典例 3 (2020 江苏高考)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 o在水平线 mn上，桥 ab与 mn平行，oo为铅垂线(o在 ab上)经测量，左侧曲线 ao上任一点 d到 mn

18、的距离10 / 12 h1(米)与 d到 oo的距离 a(米)之间满足关系式 h1140a2；右侧曲线 bo上任一点 f到 mn的距离 h2(米)与 f 到 oo的距离 b(米)之间满足关系式 h21800b36b.已知点 b到 oo的距离为 40米 (1)求桥 ab的长度； (2)计划在谷底两侧建造平行于 oo的桥墩 cd和 ef，且 ce为 80 米，其中 c，e在 ab上(不包括端点)桥墩 ef每米造价 k(万元)，桥墩 cd每米造价32k(万元)(k0)，问 oe为多少米时，桥墩 cd与 ef的总造价最低？ 解 (1)如图，设 aa1，bb1，cd1，ef1都与 mn垂直，a1，b1，

19、d1，f1是相应垂足由条件知，当ob40 时，bb11800403640160，则 aa1160. 由140oa2160， 得 oa80. 所以 aboaob8040120(米) (2)以 o为原点，oo为 y 轴建立平面直角坐标系 xoy(如图所示) 设 f(x，y2)，x(0,40)，则 y21800 x36x， ef160y21601800 x36x. 因为 ce80，所以 oc80 x. 设 d(x80，y1)，则 y1140(80 x)2， 所以 cd160y1160140(80 x)2140 x24x. 记桥墩 cd 和 ef的总造价为 f(x)， 则 f(x)k1601800 x36x 32k140 x24x k1800 x3380 x2160 (0 x40) 11 / 12 f(x)k3800 x2340 x 3k800 x(x20)， 令 f(x)0，得 x20. x (0,20) 20 (20,40) f(x) 0 f(x) 极小值 所以当 x20时，f(x)取得最小值 答：(1)桥 ab的长度为 120 米； (2)当 oe为 20 米时，桥墩 cd 和 ef的总造价最低 点评：实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等一般都需要利用导数求