高考数学一轮复习第2章 第6节 指数与指数函数 (2)

1、1 / 12 指数与指数函数 考试要求 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为 2,3,10，12，13的指数函数的图象. 3.体会指数函数是一类重要的函数模型 1根式 (1)n 次方根的概念 若 xna，则 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n1且 nn*.式子na叫做根式，这里 n叫做根指数，a 叫做被开方数 a 的 n 次方根的表示： xna xna，当n为奇数且nn*，n1时，xna，当n为偶数且nn*时. (2)根式的性质 (na)na(nn*，n1) n

2、an a，n为奇数，|a| a，a0，a，a0，n为偶数. 2有理数指数幂 (1)幂的有关概念 正分数指数幂：amn nam(a0，m，nn*，且 n1)； 负分数指数幂：amn 1a1nam(a0，m，nn*，且 n1)； 2 / 12 0 的正分数指数幂等于 0,0的负分数指数幂没有意义 (2)有理数指数幂的运算性质 arasars(a0，r，sq)； (ar)sars(a0，r，sq)； (ab)rarbr(a0，b0，rq) 提醒：有理数指数幂的运算性质中，要求底数都大于 0，否则不能用性质来运算 3指数函数的概念 函数 yax(a0，且 a1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，a

3、是底数，指数函数的定义域为 r. 提醒：形如 ykax，yaxk(kr，且 k0；a0且 a1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数 4指数函数的图象与性质 yax a1 0a1 图象 定义域 r 值域 (0，) 性质 过定点(0,1) 当 x0 时，y1； 当 x0时，0y1 当 x0时，0y1； 当 x0 时，y1 在 r 上是增函数 在 r 上是减函数 常用结论 1指数函数图象的画法 画指数函数 yax(a0，且 a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，1，1a. 2指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图3

4、/ 12 象，底数 a，b，c，d与 1 之间的大小关系为 cd1ab0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数 yax(a0，a1)的图象越高，底数越大 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)nan(na)na.( ) (2)(1) (1) 1.( ) (3)函数 yax21 (a1)的值域是(0，)( ) (4)若 aman(a0，且 a1)，则 mn.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1(多选)下列运算正确的是( ) a.4(3)43 be2x(ex)2 c.3(ab)3ab d ab a b abc 对于 a，因为4(3)4|3|3

5、，所以 a正确； 对于 b，因为 e2x(ex)2，成立，所以 b正确； 对于 c，因为3(ab)3ab，成立，所以 c正确； 对于 d，当 a0且 b0 时， a和 b无意义，所以 d错误 故选 abc. 2若函数 f(x)ax(a0，且 a1)的图象经过点 p2，12，则 f(1)_. 2 由题意知12a2，所以 a22， 所以 f(x)22x，所以 f(1)221 2. 3已知 a35，b35，c32，则 a，b，c 的大小关系是4 / 12 _ cba y35x是减函数， 3535350， 则 ab1， 又 c323201， cba. 4某种产品的产量原来是 a 件，在今后 m 年内，

6、计划使每年的产量比上一年增加 p%，则该产品的产量 y 随年数 x 变化的函数解析式为_ ya(1p%)x(0 xm，xn) 当 x1时，yaap%a(1p%)， 当 x2时，ya(1p%)a(1p%)p%a(1p%)2， 当 x3时，ya(1p%)2a(1p%)2p%a(1p%)3， 当 xm时，ya(1p%)m， 因此 y 随年数 x 变化的函数解析式为 ya(1p%)x(0 xm，xn) 考点一 指数幂的化简与求值 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算 (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数 (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；

7、底数是带分数的，先化成假分数 (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答 1计算：2780.00210( 52)10_. 1679 原式32250010( 52)( 52)( 52)14910 510 52011679. 5 / 12 2化简 (a0，b0)_. 3已知 ab5，则 ababab_. 0 由 ab5 知 a与 b 异号， abababaaba2babb2a 5|a|b 5|b|0. 点评：指数幂中当指数为负数时，可把底数变为其倒数，从而指数化为正数，如144 . 考点二 指数函数的图象及其应用 指数函数图象问题的求解策略 变换 作图 对指

8、数型函数的图象与性质问题(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解 数形 结合 一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解 典例 1 (1)函数 f(x)axb的图象如图，其中 a，b为常数，则下列结论正确的是( ) aa1，b0 ba1，b0 c0a1，b0 d0a1，b0 (2)若曲线 y|3x1|与直线 ym有两个不同交点，则实数 m的取值范围是_ (1)d (2)(0,1) (1)由 f(x)axb的图象可以观察出，函数 f(x)axb在定义域上单调递减，所以 0a1.函数 f(

9、x)axb的图象是在 f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以 b0.故选 d. (2)曲线 y|3x1|的图象是由函数 y3x的图象向下平移一6 / 12 个单位长度后，再把位于 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到的，而直线 ym的图象是平行于 x 轴的一条直线，它的图象如图所示，由图象可得，如果曲线 y|3x1|与直线 ym有两个公共点，则 m的取值范围是(0,1) 母题变迁 1若本例(2)条件变为：方程 3|x|1m有两个不同实根，则实数 m的取值范围是_ (0，) 作出函数 y3|x|1与 ym的图象如图所示，数形结合可得 m的取值范围是(0，) 2若本例(2)的条件变为

10、：函数 y|3x1|m的图象不经过第二象限，则实数 m的取值范围是_ (，1 作出函数 y|3x1|m的图象如图所示 由图象知 m1，即 m(，1 点评：注意区分函数 y3|x|与 y|3x| y3|x|是偶函数，其图象关于 y 轴对称，y|3x|不是偶函数，其图象都在 x轴上方，在这里 y|3x|3x. 跟进训练 1已知函数 f(x)ax1(a0，且 a1)的图象恒过点 a，下列函数中图象不经过点 a的是( ) ay 1x by|x2| cy2x1 dylog2(2x) a 易知 a(1,1)经验证可得 y 1x的图象不经过点 a(1,1)，故选 a. 2已知实数 a，b满足等式 2 019

11、a2 020b，下列五个关系式： 7 / 12 0ba；ab0；0ab；ba0；ab. 其中不可能成立的关系式有_(填序号) 作出 y2 019x及 y2 020 x的图象如图所示，由图可知 ab0，ab0或 ab0时，有 2 019a2 020b，而不可能成立 考点三 指数函数的性质及其应用 比较指数式的大小 比较幂值大小的三种类型及处理方法 典例 21 (1)已知 a20.2，b0.40.2，c0.40.6，则( ) aabc bacb ccab dbca (2)若 2x5y2y5x，则有( ) axy0 bxy0 cxy0 dxy0 (1)a (2)b (1)由 0.20.6,0.41，

12、并结合指数函数的图象可知 0.40.20.40.6，即 bc.因为 a20.21，b0.40.21，所以 ab.综上，abc，故选a. (2)设函数 f(x)2x5x，易知 f(x)为增函数 又 f(y)2y5y，由已知得 f(x)f(y)，所以 xy，所以 xy0. 点评：在比较指数式大小时，看底数能否化为同底是非常重要的一个思维意识 解简单的指数方程或不等式 指数方程或不等式的解法 (1)解指数方程或不等式的依据 af(x)ag(x)f(x)g(x) af(x)ag(x)，当 a1时，等价于 f(x)g(x)； 8 / 12 当 0a1时，等价于 f(x)g(x) (2)解指数方程或不等式

13、的方法 先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解 典例 22 (1)已知实数 a1，函数 f(x) 4x，x0，2ax，x0，若 f(1a)f(a1)，则 a 的值为_ (2)设函数 f(x) 12x7，x0，x，x0，若 f(a)1，则实数 a 的取值范围是_ (1)12 (2)(3,1) (1)当 a1时，41a21，解得 a12；当 a1时，代入不成立故 a的值为12. (2)若 a0，则 f(a)112a7112a8，解得 a3，故3a0； 若 a0，则 f(a)1 a1，解得 a1，故 0a1. 综合可得3a1. 与指数函数有关的复合函数的单调性、值域 1

14、.与指数函数有关的复合函数的单调性 形如函数 yaf(x)的单调性，它的单调区间与 f(x)的单调区间有关： (1)若 a1，函数 f(x)的单调增(减)区间即函数 yaf(x)的单调增(减)区间； (2)若 0a1，函数 f(x)的单调增(减)区间即函数 yaf(x)的单调减(增)区间即“同增异减” 2与指数函数有关的复合函数的值域 形如 yaf(x)的函数的值域，可先求 f(x)的值域再根据函数 yat的单调性确定 yaf(x)的值域 典例 23 已知函数 f(x)13ax24x3. (1)若 a1，求 f(x)的单调区间； 9 / 12 (2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值； (

15、3)若 f(x)的值域是(0，)，求 a 的值 解 (1)当 a1 时，f(x)13x24x3，令 g(x)x24x3，由于 g(x)在 (，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而 y13t在 r 上单调递减，所以 f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数 f(x)的单调递增区间是(2，)，单调递减区间是(，2) (2)令 g(x)ax24x3，则 f(x)13g(x)，由于 f(x)有最大值 3，所以 g(x)应有最小值1， 因此必有 a0，3a4a1， 解得 a1，即当 f(x)有最大值 3时，a的值等于 1. (3)由指数函数的性质知，要使 f(x)的值域为(0，)，

16、 应使 yax24x3的值域为 r， 因此只能 a0(因为若 a0，则 yax24x3为二次函数，其值域不可能为 r) 故 a的值为 0. 点评：形如 yaf(x)(a0)的函数的定义域就是函数 yf(x)的定义域 跟进训练 1若 2x2114x2，则函数 y2x的值域是( ) a.18，2 b18，2 c.，18 d2，) b 2 x2114x22 x21242xx2142x， 解得3x1，232x2，即18y2，故选 b. 10 / 12 2已知 f(x)2x2x，a79，b97，则 f(a)，f(b)的大小关系是_ f(a)f(b) a7997，则9797，即 ab， 又函数 f(x)2

17、x2x是 r 上的增函数 f(a)f(b) 3函数 y12x22x1的值域是_ (0,4 设 tx22x1，则 y12t. 因为 0121，所以 y12t为关于 t 的减函数 因为 t(x1)222，所以 0y12t1224，故所求函数的值域为(0,4 4函数 y14x12x1 在区间3,2上的值域是_ 34，57 令 t12x，由 x3,2得 t14，8 ， yt2t1t12234， 当 t12时，ymin34，当 t8时，ymax57，故所求值域为34，57 . 考点四 指数型函数的综合应用 指数函数通过平移、伸缩及翻折等变换，或与其他函数进行结合形成复合函数时，我们对这类问题的解决方式是

18、进行还原分离，化繁为简，借助函数的单调性、奇偶性、对称性及周期性解决问题 典例 3 已知函数 f(x)2ax4a2axa(a0且 a1)是定义在 r 上的奇函数 (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的值域； (3)当 x1,2时，2mf(x)2x0恒成立，求实数 m的取值范围 11 / 12 解 (1)f(x)是 r 上的奇函数，f(x)f(x)， 即2ax4a2axa2ax4a2axa，得 a2. (注：本题也可由 f(0)0 解得 a2，但要进行验证) (2)由(1)可得 f(x)2 2x22 2x22x12x1122x1， 函数 f(x)在 r 上单调递增 又 2x11，222x10， 1122x11. 函数 f(x)的值域为(1,1) (3)当 x1,2时，f(x)2x12x10. 由题意得 mf(x)m2x12x12x2在 x1,2时恒成立， m(2x1)(2x2)2x1在 x1,2时恒成立 令 t2x