高考数学一轮复习第1章 第6节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

1、1 / 14 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 考试要求 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决 1二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式 表示区域 axbyc0 直线 axbyc0某一侧的所有点组成的平面区域 不包括边界直线 axbyc0 包括边界直线 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 2线性规划中的相关概念 名称 意义 约束条件 由变量 x，y 组成的不等式(组) 线性约束条件 由 x，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组

2、目标函数 欲求最大值或最小值的函数 线性目标函数 关于 x，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x，y) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 常用结论 1作二元一次不等式表示的平面区域的直线定界、特殊点定域 (1)直线定界：不等式中无等号时直线作成虚线，有等号时直线和成实线 (2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证 2考虑点 p1(x1，y1)和 p2(x2，y2)：位于直线 axbyc0两侧的充要条2 / 14

3、 件是(ax1by1c)(ax2by2c)0；位于直线 axbyc0同侧的充要条件是(ax1by1c)(ax2by2c)0. 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)不等式 axbyc0 表示的平面区域一定在直线 axbyc0的上方( ) (2)线性目标函数的最优解可能不唯一( ) (3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上( ) (4)目标函数 zaxby(b0)中，z 的几何意义是直线 axbyz0在 y 轴上的截距( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1下列各点中，不在 xy10表示的平面区域内的是( ) a(0,0) b(1,1)

4、c(1,3) d(2，3) c 1310，点(1,3)不在 xy10 表示的平面区域内，故选 c. 2不等式组 x3y60，xy20表示的平面区域是( ) a b c d c 把点(0,0)代入不等式组可知，点(0,0)不在 x3y60 表示的平面区域内，点(0,0)在 xy20 表示的平面区域内，故选 c. 3投资生产 a产品时，每生产 100 吨需要资金 200万元，需场地 200平方米；投资生产 b产品时，每生产 100吨需要资金 300万元，需场地 100 平方米现某单位可使用资金 1 400 万元，场地 900平方米，则上述要求可用不等式组表示为_(用 x，y 分别表示生产 a，b产

5、品的吨数，x 和 y 的单位3 / 14 是百吨) 200 x300y1 400200 x100y900 x0y0 用表格列出各数据： 产品 a b 总数 产品吨数/百吨 x y 资金/万元 200 x 300y 1 400 场地/米2 200 x 100y 900 所以不难看出，x0，y0,200 x300y1 400,200 x100y900. 4设 x，y 满足约束条件 x3y3，xy1，y0，则 zxy 的最大值为_ 3 根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由zxy 得 yxz. 作出直线 yx，并平移该直线， 当直线 yxz 过点 a 时，目标函数取得最大值 由图知 a(3,0)，

6、故 zmax303. 考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域 1.求平面区域面积的方法 (1)首先作出不等式组表示的平面区域，若不能直接作出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域 (2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和 2根据平面区域确定参数的方法 4 / 14 在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况作图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案 典例 1

7、(1)不等式组 2xy60，xy30，y2表示的平面区域的面积为( ) a1 b12 c2 d52 (2)已知不等式组 yx2，ykx1，y0所表示的平面区域为面积等于14的三角形，则实数 k 的值为( ) a1 b12 c12 d1 (1)a (2)d (1)不等式组 2xy60，xy30，y2表示的平面区域如图所示(阴影部分)，abc的面积即为所求平面区域的面积 求出点 a，b，c的坐标分别为 a(1,2)，b(2,2)，c(3,0)，则abc的面积为s12(21)21，故选 a. (2)由题意知 k0，且不等式组 yx2，ykx1，y0，所表示的平面区域如图所示 直线 ykx1 与 x

8、轴的交点为1k，0 ， 5 / 14 直线 ykx1 与直线 yx2 的交点为 3k1，2k1k1， 三角形的面积为1221k2k1k114， 解得 k1或 k27，经检验，k27不符合题意， k1. 点评：计算平面区域的面积时，根据平面区域的形状，先求出有关的交点坐标、线段长度，最后根据相关图形的面积公式进行计算，如果是不规则图形，则可通过割补法计算面积 跟进训练 1不等式组 x0，x3y4，3xy4所表示的平面区域的面积等于( ) a.32 b23 c.43 d34 c 由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，a0，43，b(1,1)，c(0,4)，则abc的面积为1218343.

9、故选 c. 2若不等式组 xy0，2xy2，y0，xya表示的平面区域的形状是三角形，则 a的取值范围是( ) aa43 b0a1 c1a43 d0a1或 a43 6 / 14 d 作出不等式组 xy0，2xy2，y0表示的平面区域(如图中阴影部分所示)由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：xya在 l1，l2之间(包含 l2，不包含 l1)或 l3上方(包含 l3) 考点二 求目标函数的最值问题 求线性目标函数的最值 求线性目标函数(zaxby)最值的一般步骤 典例 21 (1)(2019 北京高考)若 x，y 满足|x|1y，且 y1，则 3xy 的最大值为(

10、) a7 b1 c5 d7 (2)(2020 全国卷)若 x，y 满足约束条件 2xy20，xy10，y10则 zx7y 的最大值为_ (1)c (2)1 (1)由题意 xy10，xy10，y1作出可行域如图阴影部分所示. 7 / 14 设 z3xy，yz3x，当直线 l0：yz3x 经过点 c(2，1)时，z 取最大值 5.故选 c. (2)如图，作出约束条件 2xy20 xy10y10所表示的可行域易得 a点的坐标为 a(1,0)，当目标函数经过 a点时，z 取得最大值，可得 zx7y 的最大值为 1701. 点评：(1)求解此类问题的关键是明确目标函数的几何意义，倘若本例 t(2)目标函

11、数换成 zx7y，则 zmax327(1)172. (2)解答本例 t(1)时，首先把约束条件变为 xy10，xy10，y1，其次设目标函数为 z3xy. 求非线性目标函数的最值 常见的两种非线性目标函数及其意义 8 / 14 典例 22 实数 x，y 满足 xy10，x0，y2. (1)若 zyx，求 z 的最大值和最小值，并求 z 的取值范围； (2)若 zx2y2，求 z的最大值与最小值，并求 z 的取值范围 解 由 xy10，x0，y2，作出可行域，如图中阴影部分所示 (1)zyx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率 因此yx的范围为直线 ob 的斜率到直线 oa的斜率(直线 oa

12、的斜率不存在，即 zmax不存在) 由 xy10，y2，得 b(1,2)， 所以 kob212，即 zmin2， 所以 z 的取值范围是2，) (2)zx2y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方 因此 x2y2的最小值为 oa2，最大值为 ob2. 由 xy10，x0，得 a(0,1)， 所以 oa2( 0212)21， ob2( 1222)25， 所以 z 的取值范围是1,5 母题变迁 保持本例条件不变，(1)求目标函数 zy1x1的取值范围； (2)求目标函数 zx2y22x2y3的最值 9 / 14 解 (1)zy1x1可以看作过点 p(1,1)及(x，y)两点的直线的斜率，

13、所以 z 的取值范围是(，0 (2)zx2y22x2y3 (x1)2(y1)21， 而(x1)2(y1)2表示点 p(1,1)与 q(x，y)的距离的平方 pq2， pq2max(01)2(21)22， pq2min|111|12(1)2212， 所以 zmax213，zmin12132. 点评：求定点到区域内动点的距离的最小值时，要数形结合，可能转化为点到直线的距离问题 求参数的值或取值范围 求解线性规划中含参问题的两种基本方法 (1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或范围 (2)先分离含有参数的式子，通过观察的方

14、法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数 典例 23 (1)若实数 x，y 满足不等式组 x3y30，2xy30，xmy10，其中 m0，且 xy 的最大值为 9，则实数 m_. (2)(2020 湖南湘东六校联考)若变量 x，y 满足 3xy10，3xy110，y2，且 zaxy 的最小值为1，则实数 a的值为_ (1)1 (2)2 (1)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，设 zxy，则 yxz，当直线 yxz 经过点 a时，xy 有最大值，此时 xy10 / 14 9，由 xy9，2xy30得 a(4,5)，将 a(4,5)代入 xmy10得 45m10，解得

15、m1. (2)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，若 a3，则直线 zaxy 经过点 b(1,2)时，z 取得最小值，由 a21，得 a1，与 a3矛盾；若0a3，则直线 zaxy 经过点 a(2,5)时，z取得最小值，由 2a51，解得 a2； 若 a0，则直线 zaxy 经过点 a(2,5)或 c(3,2)时，z 取得最小值，此时2a51或 3a21，解得 a2或 a13，与 a0矛盾，综上可知实数 a的值为 2. 点评：当参数在目标函数中时，应把斜率值的大小对最优解的影响作为解题突破口 跟进训练 1(2019 全国卷)若变量 x，y 满足约束条件 2x3y60，xy3

16、0，y20，则 z3xy 的最大值是_ 9 作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线 y3xz 过点 c时，z 最小，即 z 最大 由 xy30，2x3y60， 解得 x3，y0， 11 / 14 即 c点坐标为(3,0)， 故 zmax3309. 2若实数 x，y 满足约束条件 2xy40，x2y20，x10，则y1x的最小值为_ 32 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为y1x表示平面区域内的点与定点 p(0,1)连线的斜率由图知，点 p与点 a1，12连线的斜率最小，所以y1xminkpa1211032. 3已知 x，y 满足约束条件 xy40，x2，

17、xyk0，且 zx3y 的最小值为 2，则常数 k_. 2 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示， 由 zx3y 得 y13xz3，结合图形可知当直线y13xz3过点 a时，z 最小，此时 x3y2. 由 x2x3y2得 a(2,0)，又点 a(2,0)在直线 xyk0 上，则 2k0，解得 k2. 考点三 线性规划的实际应用 解线性规划应用问题的一般步骤 12 / 14 典例 3 (2017 天津高考)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示： 连续剧 连续剧播放 时长/分 广告播放时

18、 长/分 收视人次/万人 甲 70 5 60 乙 60 5 25 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600分钟，广告的总播放时间不少于 30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍分别用 x，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数 (1)用 x，y列出满足题目条件的数学关系式， 并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 解 (1)由已知，x，y 满足的数学关系式为 70 x60y600，5x5y30，x2y，x0，xn，y0，yn，即 7x6y60，xy6，x2y0，x0，xn，y0，yn， 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点 13 / 14 (2)设总收视人次为 z 万人，则目标函数为 z60 x25y. 考虑 z60 x25y，将它变形为 y125xz25，这是斜率为125，随 z 变化的一组平行直线.z25为直线在 y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值就最大 又因为 x，y 满足约束条件，所以由图可知