高考数学一轮复习1 第1讲　空间几何体及其表面积、体积

1、1 / 23 第 1 讲 空间几何体及其表面积、体积 最新考纲 考向预测 1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 2知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题 3能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图 命题 趋势 主要考查空间几何体的表面积与体积常以选择题与填空题为主，涉及空间几何体的结构特征，要求考生有较强的空间想象能力和计算能力，难度为中低档. 核心 素养 直观想象、数学运算 1空间几何体的结构特征 2 / 23 2直观图 (1

2、)画法：常用斜二测画法 (2)规则：原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x轴，y轴的夹角为 45(或 135)，z轴与 x轴和 y轴所在平面垂直原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半 3圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开图 侧面 积公式 s圆柱侧 2rl s圆锥侧 rl s圆台侧 (rr)l 4.空间几何体的表面积与体积公式 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱) s表面积s侧2s底 vs底h 锥体 (棱锥和圆锥) s表面积s侧s底

3、 v13s底h 台体 (棱台和圆台) s表面积s侧 s上s下 v13(s上s下 s上s下)h 球 s4r2 v43r3 3 / 23 常用结论 1.特殊的四棱柱 四棱柱 底面为平行四边形平行六面体 侧棱垂直于底面直平行六面体 底面为矩形长方体 底面边长相等正四棱柱侧棱与底面边长相等正方体 上述四棱柱有以下集合关系：正方体 正四棱柱 长方体 直平行六面体 平行六面体 四棱柱 2斜二测画法中的“三变”与“三不变” “三变”坐标轴的夹角改变，与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变. “三不变”平行性不改变，与x轴，z轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变. 3正方体与球的切、接常用结论 正

4、方体的棱长为 a，球的半径为 r， (1)若球为正方体的外接球，则 2r 3a； (2)若球为正方体的内切球，则 2ra； (3)若球与正方体的各棱相切，则 2r 2a. 常见误区 1求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错 2与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图 1判断正误(正确的打“”，错误的打“”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱( ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥( ) (3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几

5、何体一定是棱4 / 23 台( ) (4)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱( ) (5)菱形的直观图仍是菱形( ) (6)多面体的表面积等于各个面的面积之和( ) (7)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差( ) (8)长方体既有外接球又有内切球( ) 答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 2(多选)下列结论中正确的是( ) a由五个面围成的多面体只能是三棱柱 b正棱台的对角面一定是等腰梯形 c圆柱侧面上的直线段都是圆柱的母线 d各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体 解析：选 bcd.由五个面围成的多面体可以是四棱锥，所以 a 选

6、项错误b，c，d说法均正确 3(易错题)已知圆锥的表面积等于 12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( ) a1 cm b2 cm c3 cm d.32 cm 解析：选 b.s表r2rlr2r2r3r212，所以 r24，所以 r2. 4如图，长方体 abcd- a1b1c1d1的体积是 120，e 为 cc1的中点，则三棱锥 e- bcd的体积是_ 解析：设长方体中 bca，cdb，cc1c，则 abc120， 所以 vebcd1312ab12c112abc10. 答案：10 5用斜二测画法画水平放置的矩形的直观图，则直观图的面积与原矩形的5 / 23 面积之比为_ 解析：设

7、原矩形的长为 a，宽为 b，则其直观图是长为 a，高为b2 sin 4524b 的平行四边形，所以s直观s矩形24abab24. 答案：24 空间几何体的结构特征 题组练透 1给出下列几个命题： 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； 底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱； 棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等 其中正确命题的个数是( ) a0 b1 c2 d3 解析：选 b.不一定，只有这两点的连线平行于旋转轴时才是母线；正确；错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等 2(多选)下列命题

8、，正确的有( ) a棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 b若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 c在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 d存在每个面都是直角三角形的四面体 解析：选 bcd.a 不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧6 / 23 面都是平行四边形，但不一定全等；b 正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；c 正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；d 正确，如图，正方体abcd- a1b1c1d1中的三棱锥 c1abc，四个面都是直角三角形 3如图，将圆柱的侧面沿母

9、线 aa1展开，得到一个长为 3，宽 aa1为 4的矩形，由点 a 拉一根细绳绕圆柱侧面两周到达 a1，线长的最小值为_(线粗忽略不计) 解析：设 aa1的中点为 b，侧面展开图为矩形 acc1a1，cc1的中点为 b1，则绳长的最小值即为侧面展开图中的 ab1bc1，又 ab1bc1 924，所以绳长的最小值为 2 924. 答案：2 924 空间几何体概念辨析问题的常用方法 空间几何体的直观图 题组练透 1. 如图是水平放置的正方形 abco，在直角坐标系 xoy 中，点 b 的坐标为(2，2)，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点 b到 x轴的距离为( ) 7 / 23 a.22

10、b1 c. 2 d2 解析：选 a.利用斜二测画法作正方形 abco 的直观图如图所示， 在坐标系 xoy中，|bc|1， xcb45 .过点 b作 x轴的垂线，垂足为点 d.在 rtbdc中， |bd|bc|sin 45 12222. 2一平面四边形 oabc 的直观图 oabc如图所示，其中 ocx，abx，bcy，则四边形 oabc 的面积为 ( ) a.3 22 b3 2 c3 d.32 解析：选 b.平面四边形 oabc 的直观图 oabc是直角梯形，其面积为12(12)132， 根据平面图形与它的直观图面积比为 124， 得四边形 oabc的面积为32243 2.故选 b. 3已知

11、等边三角形 abc 的边长为 a，那么abc 的平面直观图abc的面积为( ) a.34a2 b.38a2 c.68a2 d.616a2 8 / 23 解析：选 d.如图所示的实际图形和直观图， 由可知，ababa，oc12oc34a，在图中作 cdab于d，则 cd22oc68a.所以 sabc12abcd12 a68a616a2.故选 d. 平面图形与其直观图的关系 (1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段平行于 x 轴的线段平行性不变，长度不变；平行于 y 轴的线段平行性不变，长度减半 (2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：s直观图24s原图形 空间

12、几何体的表面积与体积 角度一 空间几何体的表面积 (1)(2021 河南周口模拟)如图，在三棱柱 abc- a1b1c1中，aa1底面abc，abbc，aa1ac2，直线 a1c与侧面 aa1b1b 所成的角为 30，则该三棱柱的侧面积为( ) a44 2 b44 3 c12 d84 2 (2)(多选)(2021 山东潍坊期末)等腰直角三角形的直角边长为 1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何的表面积可以为( ) a. 2 b(1 2) c2 2 d(2 2) 9 / 23 【解析】 (1)连接 a1b.因为 aa1底面 abc，则 aa1bc，又 abbc，aa1aba，所以 b

13、c平面 aa1b1b，所以直线 a1c与侧面 aa1b1b所成的角为ca1b30.又 aa1ac2，所以 a1c2 2，bc 2.又 abbc，则 ab 2，则该三角棱柱的侧面积为 2 222244 2，故选 a. (2)如果绕直角边所在直线旋转，那么形成圆锥，圆锥底面半径为 1，高为1，母线长就是直角三角形的斜边长 2，所以所形成的几何体的表面积 srlr21 212( 21).如果绕斜边所在直线旋转，那么形成的是同底的两个圆锥，圆锥的底面半径是直角三角形斜边的高22，两个圆锥的母线长都是 1，所以形成的几何体的表面积 s2rl2221 2.综上可知，形成几何体的表面积是( 21)或 2.故

14、选 ab. 【答案】 (1)a (2)ab 三类几何体表面积的求法 求多面体 的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积. 求旋转体 的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系. 求不规则 几何体的 表面积 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积. 角度二 空间几何体的体积 (1)如图所示，已知三棱柱 abc- a1b1c1的所有棱长均为 1，且 aa1底面 abc，则三棱锥

15、 b1abc1的体积为( ) 10 / 23 a.312 b.34 c.612 d.64 (2)图(1)是一种生活中常见的容器，其结构如图(2)，其中 abcd 是矩形，abfe 和 cdef 都是等腰梯形，且 ad平面 cdef.现测得 ab20 cm，ad15 cm，ef30 cm，ab与 ef 间的距离为 25 cm，则几何体 ef- abcd的体积为( ) a2 500 cm3 b3 500 cm3 c4 500 cm3 d3 800 cm3 【解析】 (1)易知三棱锥 b1abc1的体积等于三棱锥 a- b1bc1的体积，又三棱锥 a- b1bc1的高为32，底面积为12，故其体积为

16、131232312.故选 a. (2)如图，连接 ac，ec，af.因为 abcd 是矩形，所以 abcd.所以过点 d 作 dgef，垂足为 g，连接 ag，则agef.由题意知，ag25 cm.因为 ad平面 cdef，所以addg.因为 ad15 cm，所以 dc 与 ef 间的距离 dg25215220(cm)因为 ef30 cm，abdc20 cm.所以 secd122020200(cm2)，sefc123020300(cm2)所以 vaedc13200151 000(cm3)，vaefc13300151 500(cm3)因为 vbafcvcafb11 / 23 23vcaef23v

17、acef231 5001 000(cm3)，所以几何体 ef- abcd的体积 vefabcdvadcevaefcvbafc1 0001 5001 0003 500(cm3)故选 b. 【答案】 (1)a (2)b (1)处理体积问题的思路 (2)求体积的常用方法 直接法 对于规则的几何体，利用相关公式直接计算 割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算 等体 积法 选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面作为三棱锥的底面进行等体积变换 1(2020 高考全国卷)

18、已知 a，b，c 为球 o 的球面上的三个点，o1为abc 的外接圆若o1的面积为 4，abbcacoo1，则球 o 的表面积为( ) a64 b48 c36 d32 解析：选 a.如图所示，设球 o 的半径为 r，o1的半径为r，因为o1的面积为 4，所以 4r2，解得 r2，又 abbcacoo1，所以absin 602r，解得 ab2 3，故 oo12 3，所以 r2oo21r2(2 3)22216，所以球 o 的表面积 s4r264.故选 a. 12 / 23 2在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为 40 cm，母线长最短50 cm，最长 80 cm，则斜截圆柱的侧面面积 s_

19、cm2. 解析：将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形由题意得该斜截圆柱的侧面面积 s12(5080)(40)2 600(cm2) 答案：2 600 3(2021 普通高等学校招生全国统一考试模拟)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为 10 的球面上，其上、下底面半径分别为 4 和 5，则该圆台的体积为_ 答案：61 与球有关的接、切问题 (1)若直三棱柱 abc- a1b1c1的 6 个顶点都在球 o 的球面上，且 ab3，ac4，abac，aa112，则球 o 的表面积为_ (2)(2020 高考全国卷)已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球

20、的体积为_ 【解析】 (1)将直三棱柱补形为长方体 abec- a1b1e1c1，则球 o 是长方体abec- a1b1e1c1的外接球所以体对角线 bc1的长为球 o的直径 因此 2r 324212213. 故 s球4r2169. (2)圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为 r.作出圆锥的轴载面 pab，如图所示，则pab 的内切圆为圆锥的内切球的大圆在pab 中，papb3，d 为 ab 的中点，ab2，e 为切点，则 pd2 2，peopdb，故popboedb，即2 2r3r1，解得 r22，故内切球的体积为4322313 / 23 23. 【答案】 (1)169 (2)23

21、 处理球的“切”“接”问题的求解策略 解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是： 1(多选)已知 a，b，c 三点均在球 o 的表面上，abbcca2，且球心 o到平面 abc的距离等于球半径的13，则下列结论正确的是( ) a球 o的表面积为 6 b球 o的内接正方体的棱长为 1 c球 o的外切正方体的棱长为43 d球 o的内接正四面体的棱长为 2 解析：选 ad.设球 o 的半径为 r，abc 的外接圆圆心为 o，半径为 r.易得 r2 33.因为球心 o 到平面 abc 的距离等于球 o 半径的13，所以 r219r243，得 r

22、232.所以球 o 的表面积 s4r24326，选项 a 正确；球 o 的14 / 23 内接正方体的棱长 a 满足 3a2r，显然选项 b 不正确；球 o 的外切正方体的棱长 b满足 b2r，显然选项 c不正确；球 o的内接正四面体的棱长 c满足 c2 63r2 63622，选项 d正确 2设球 o 内切于正三棱柱 abc- a1b1c1，则球 o 的体积与正三棱柱abc- a1b1c1的体积的比值为_ 解析：设球 o 半径为 r，正三棱柱 abc - a1b1c1的底面边长为 a，则 r33a236a，即 a2 3r，又正三棱柱 abc - a1b1c1的高为 2r，所以球 o 的体积与正

23、三棱柱 abc - a1b1c1的体积的比值为43r334a22r43r33412r22r2 327. 答案：2 327 高考新声音系列 5 数学文化与立体几何的交汇 纵观近几年高考，立体几何以数学文化为背景的问题层出不穷，让人耳目一新从中国古代数学文化中挖掘素材，考查立体几何的有关知识，既符合考生的认知水平又可以引导考生关注中华优秀传统文化，并提升审题能力，增加对数学文化的理解，发展数学核心素养 九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为“鳖臑”如图所示，平面四边形 abcd 中，abadcd1，bd 2，bdcd.将平面四边形 abcd 沿对角线 bd 折成一个“鳖臑”abcd，则该“

24、鳖臑”的内切球的半径为_ 【解析】 因为 adcd1，且acd为直角三角形，所以 cdad.又15 / 23 cdbd，bdadd，所以 cd平面 abd，所以 cdab.又由 abad1，bd 2，得 abad，且 adcdd，所以 ab平面 acd，所以 abac，由题意得 ac 2，设该“鳖臑”的内切球的半径为 r， 则13(sabc sacd sabd sbcd)r 13cdsabd， 所 以1322121222r13112，解得 r212. 【答案】 212 求解与数学文化有关的立体几何问题，首先要在阅读理解上下功夫，明确其中一些概念的意义，如“斩堵”“阳马” 和“鳖臑”等的特征是求

25、解相关问题的前提，其次目标要明确，根据目标联想相关公式，然后进行求解 魏晋时期数学家齐徽在他的著作九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为4.若正方体的棱长为 2，则“牟合方盖”的体积为( ) a16 b16 3 c.163 d.1283 解析：选 c.若正方体的棱长为 2，则其内切球的半径 r1，所以正方体的内切球的体积 v球431343.又已知v球v牟合方盖4，所以 v牟合方盖443163.故选 c. a级 基础练 1下列命题是真命题的是( ) a有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 b正四

26、面体是特殊的正四棱柱 16 / 23 c有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体叫做棱锥 d正四棱柱是平行六面体 解析：选 d.a 项，当两个侧面是矩形且相邻时，四棱柱是直四棱柱，当两个侧面是矩形且不相邻时，四棱柱不是直四棱柱，故 a 项错误；b 项，正四面体是三棱锥，故 b 项错误；c 项，棱锥是有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体，故 c 项错误；d 项，正四棱柱是平行六面体，故 d项正确故选 d. 2已知圆柱的轴截面是边长为 2 的正方形，且该圆柱的内切球 o1的表面积为 s1，该圆柱的上、下底面的圆周都在球 o2上，球 o2的表面积为 s2，则s1s2( )

27、 a1 2 b12 c. 21 d21 解析：选 b.设球 o1和球 o2的半径分别为 r，r，因为该圆柱的轴截面是边长为 2 的正方形，所以 r1，r 2，所以s1s2rr212212，故选 b. 3如图所示，在三棱台 abcabc中，沿 abc截去三棱锥 aabc，则剩余的部分是( ) a三棱锥 b四棱锥 c三棱柱 d组合体 解析：选 b.如图所示，在三棱台 abcabc 中，沿abc截去三棱锥 aabc，剩余部分是四棱锥 abccb. 4.如图是一个实心金属几何体的直观图，它的中间是高 l 为6124的圆柱，上、下两端均是半径 r 为 2 的半球，若将该实心金属几何体在熔炉中高温熔化(不

28、考虑过程中的原料损失)，熔成一个实心球，则该球的直径为( ) a3 b4 c5 d6 17 / 23 解析：选 c.设实心球的半径为 r，实心金属几何体的体积 v43r3r2l438461241256.因为43r31256，所以 r52，所以该球的直径为 2r5. 5(2020 高考全国卷)已知abc 是面积为9 34的等边三角形，且其顶点都在球 o 的球面上，若球 o的表面积为 16，则 o 到平面 abc的距离为( ) a. 3 b.32 c1 d.32 解析：选 c.由等边三角形 abc 的面积为9 34，得34ab29 34，得 ab3，则abc 的外接圆半径 r2332ab33ab

29、3.设球的半径为 r，则由球的表面积为 16，得 4r216，得 r2，则球心 o到平面 abc的距离 dr2r21，故选 c. 6有一个长为 5 cm，宽为 4 cm 的矩形，则其直观图的面积为_ 解析：由于该矩形的面积 s5420(cm2)，所以其直观图的面积 s24s5 2(cm2) 答案：5 2 cm2 7一个圆台上、下底面的半径分别为 3 cm 和 8 cm，若两底面圆心的连线长为 12 cm，则这个圆台的母线长为_cm. 解析：如图，过点 a作 acob，交 ob于点 c. 在 rtabc中，ac12 cm，bc835(cm) 所以 ab 1225213(cm) 答案：13 18

30、/ 23 8如图，在四棱锥 p- abcd 中，四边形 abcd 是边长为 2 的正方形，且papbpcpd，已知四棱锥的表面积是 12，则它的体积为_ 解析：由题意可知四棱锥 pabcd 为正四棱锥，如图所示，设 ac 交 bd于点 o，连接 po，则 po 是四棱锥的高设正四棱锥的斜高为 h，则 224122h12， 解得 h2， 则正四棱锥的高 po2212 3. 所以正四棱锥的体积 v134 34 33. 答案：4 33 9.现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状 是 正 四 棱 锥 p- a1b1c1d1， 下 部 的 形 状 是 正 四 棱 柱abcd- a1b1c1d

31、1(如图所示)，并要求正四棱柱的高 o1o 是正四棱锥的高 po1的 4 倍，若 ab6 m，po12 m，则仓库的容积是多少？ 解：由 po12 m，知 o1o4po18 m. 因为 a1b1ab6 m，所以正四棱锥 p- a1b1c1d1的体积 v锥13 a1b21po11362224(m3)； 正四棱柱 abcd- a1b1c1d1的体积 v柱ab2o1o628288(m3)， 所以仓库的容积 vv锥v柱24288312(m3) 故仓库的容积是 312 m3. 10.如图，四边形 abcd 为菱形，g 为 ac 与 bd 的交点，19 / 23 be平面 abcd. (1)证明：平面 a

32、ec平面 bed； (2)若abc120，aeec，三棱锥 e- acd 的体积为63，求该三棱锥的侧面积 解：(1)证明：因为四边形 abcd 为菱形，所以 acbd. 因为 be平面 abcd，所以 beac.因为 bebdb，be，bd平面bed，故 ac平面 bed. 又 ac平面 aec， 所以平面 aec平面 bed. (2)设 abx，在菱形 abcd 中，由abc120，可得 aggc32x，gbgdx2. 因为 aeec，所以在 rtaec中，可得 eg32x. 由 be平面 abcd，知ebg 为直角三角形，可得 be22x. 由已知得，三棱锥 e- acd 的体积 v三棱

33、锥e- acd1312 ac gd be624x363，故 x2. 从而可得 aeeced 6. 所以eac 的面积为 3，ead 的面积与ecd的面积均为 5. 故三棱锥 e- acd的侧面积为 32 5. b级 综合练 11(多选)(2021 山东青岛一模)已知四棱台 abcd- a1b1c1d1的上、下底面均为正方形，其中 ab2 2，a1b1 2，aa1bb1cc12，则下列结论正确的是( ) 20 / 23 a该四棱台的高为 3 baa1cc1 c该四棱台的表面积为 26 d该四棱台外接球的表面积为 16 解析：选 ad.根据题意将四棱台补成四棱锥如图所示，由题易知点 s 在平面 a

34、1b1c1d1和平面 abcd 的射影分别为点 o1，o，连接 os，oa，则 o1在 os 上由于 ab2 2，a1b12，可知sa1b1与sab 的相似比为 12，则 sa2aa14，ao2，则 so2 3，则 oo1 3，故该四棱台的高为 3，a 正确；因为sascac4，所以 aa1与 cc1的夹角为 60，不垂直，b 错误；该四棱台的表面积 ss上底s下底s侧284（ 22 2）2 22222106 7，c 错误；由于四棱台的上、下底面都是正方形，则外接球的球心在线段oo1上，在平面 b1boo1上，由于 oo1 3，b1o11，则 ob12ob，即点o 到点 b 与点 b1的距离相

35、等，故点 o 是外接球球心，外接球半径 rob2，故该四棱台外接球的表面积为 16，d正确故选 ad. 12(多选)将正三棱锥 p- abc 置于水平反射镜面上，得一“倒影三棱锥”p- abc- q，如图下列关于该“倒影三棱锥”的说法中，正确的有( ) apq平面 abc b若 p，a，b，c在同一球面上，则 q也在该球面上 c若该“倒影三棱锥”存在外接球，则 ab 2pa d若 ab62pa，则 pq的中点必为“倒影三棱锥”外接球的球心 解析：选 ad.由“倒影三棱锥”的几何特征可知 pq平面 abc，a正确；当 p，a，b，c 在同一球面上时，若abc 的外接圆不是球的最大圆，则点 q21

36、 / 23 不在该球面上，b 错误；若该“倒影三棱锥”存在外接球，则三棱锥 p- abc 的外接球的半径与等边三角形 abc外接圆的半径相等，设其为 r，则 ab 3r，pa 2r，则 ab62pa，c 错误；由 c 的推导可知该“倒影三棱锥”外接球的球心为abc的中心，即 pq的中点，d正确，故选 ad. 13(多选)(2020 山东济南二模)已知圆锥的顶点为 p，母线长为 2，底面半径为 3，a，b 为底面圆周上两个动点(a 与 b 不重合)，则下列说法正确的是( ) a圆锥的体积为 b三角形 pab为等腰三角形 c三角形 pab面积的最大值为 3 d直线 pa与圆锥底面所成角的大小为6 解析：选 abd.如图所示，点 o 为点 p 在圆锥底面上的射影，连接 oa，ob.po22（ 3）21，圆锥的体积 v13( 3