高考数学一轮复习第1节　直线与直线方程

1、1 / 22 第 1节 直线与直线方程 知 识 梳 理 1直线的倾斜角与斜率 (1)定义：在平面直角坐标系中，当直线 l 与 x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 叫作直线 l 的倾斜角当直线 l 和 x 轴平行或重合时，直线 l 的倾斜角为 0 (2)范围：倾斜角 的取值范围是 0 180 (3)定义：一条直线的倾斜角 (90 )的正切值叫作这条直线的斜率，该直线的斜率 ktan ；当直线的倾斜角 90 时，直线的斜率不存在 (4)过两点的直线的斜率公式：过两点 p1(x1，y1)，p2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为 ky2y1x2x

2、1若 x1x2，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为 90 . 2直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用范围 点斜式 斜率 k 与点(x0，y0) yy0k(xx0) 不含直线 xx0 斜截式 斜率 k 与截距 b ykxb 不含垂直于 x 轴的直线 两点式 两点(x1，y1)，(x2，y2) yy1y2y1xx1x2x1 不含直线 xx1(x1x2)和直线 yy1(y1y2) 截距式 在 x 轴和 y 轴的截距分别为 a 与 b xayb1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 2 / 22 一般式 axbyc0 (a2b20) 适用于平面直角坐标系内的所有直线 3.两直线的位置关系 斜

3、截式 一般式 方程 yk1xb1 yk2xb2 a1xb1yc10(a21b210) a2xb2yc20(a22b220) 相交 k1k2 a1b2a2b10 当a2b20时，) 记为a1a2b1b2 垂直 k1k21或 k11k2 a1a2b1b20 当b1b20时，) 记为a1a2b1b21 平行 k1k2且 b1b2 重合 k1k2且 b1b2 a1a2，b1b2，c1c2 当a2b2c20时，记为a1a2b1b2c1c2 4.几种距离 (1)两点距离 两点 p1(x1，y1)、p2(x2，y2)之间的距离|p1p2| （x2x1）2（y2y1）2 (2)点线距离 点 p0(x0，y0)

4、到直线 l：axbyc0(a，b 不同时为 0)的距离 d|ax0by0c|a2b2 (3)线线距离 两平行直线 axbyc10与 axbyc20 间的距离 d|c1c2|a2b2 3 / 22 1直线的斜率 k 与倾斜角 之间的关系 0 0 90 90 90 180 k 0 k0 不存在 k0 2.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，不能忽略直线斜率不存在的情况 3在运用两平行直线间的距离公式 d|c1c2|a2b2时，一定要注意将两方程中 x，y 的系数分别化为相同的形式 4线段的中点坐标公式 若点 p1，p2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段 p1p2

5、的中点 m 的坐标为(x，y)，则xx1x22，yy1y22. 5两直线相交 直线 l1：a1xb1yc10 和 l2：a2xb2yc20 的公共点的坐标与方程组a1xb1yc10，a2xb2yc20的解一一对应 相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行方程组无解； 重合方程组有无数个解 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大( ) (2)经过点 p(x0，y0)的直线都可以用方程 yy0k(xx0)表示( ) (3)经过任意两个不同的点 p1(x1，y1)，p2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示( )

6、 (4)当直线 l1和 l2的斜率都存在时，一定有 k1k2l1l2.( ) (5)如果两条直线 l1与 l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.( ) 4 / 22 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 解析 (1)当直线的倾斜角 1135 ，245 时，12，但其对应斜率 k11，k21，k1k2. (2)当直线的斜率不存在时，不可以用方程 yy0k(xx0)表示 (4)两直线 l1，l2有可能重合 (5)如果 l1l2，若 l1的斜率 k10，则 l2的斜率不存在 2如果 a c0，且 b c0，在 y 轴上的截距cb0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限 3点(1，0)到

7、直线 xy10 的距离是( ) a. 2 b.22 c1 d.12 答案 a 解析 由点到直线的距离公式得点(1，0)到直线 xy10 的距离为|101|1212 2，故选 a. 4已知 a(3，5)，b(4，7)，c(1，x)三点共线，则 x_ 答案 3 解析 a，b，c三点共线，kabkac，7543x513，x3. 5(必修 2p100a9 改编)过点 p(2，3)且在两轴上截距相等的直线方程为_ 答案 3x2y0或 xy50 解析 当纵、横截距为 0 时，直线方程为 3x2y0； 当截距不为 0 时，设直线方程为xaya1，则2a3a1，解得 a5.所以直线方程为 xy50. 5 /

8、22 6设直线 l1：(a1)x3y2a0，直线 l2：2x(a2)y10.若 l1l2，则实数 a 的值为_，若 l1l2，则实数 a 的值为_ 答案 85 4 解析 由 l1l2得 2(a1)3(a2)0，故 a85；当 l1l2时，有（a1）（a2）32，（a2）（2a）31，则 a4. 考点一 直线的倾斜角与斜率 【例 1】 (1)直线 2xcos y306，3的倾斜角的取值范围是( ) a.6，3 b.4，3 c.4，2 d.4，23 (2)直线 l 过点 p(1，0)，且与以 a(2，1)，b(0， 3)为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为_ 答案 (1)b (2)(

9、， 31，) 解析 (1)直线 2xcos y30的斜率 k2cos ， 因为 6，3，所以12cos 32， 因此 k2 cos 1， 3 设直线的倾斜角为， 则有 tan 1， 3 又 0，)，所以 4，3， 即倾斜角的取值范围是4，3. (2)如图，kap10211， 6 / 22 kbp3001 3， 直线 l 的斜率 k(， 31，) 感悟升华 直线倾斜角的范围是0，)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分0，2与2， 两种情况讨论由正切函数图象可以看出，当 0，2时，斜率 k0，)；当 2时，斜率不存在；当 2， 时，斜率 k(，0) 【训练 1】

10、(1)直线 xsin y20的倾斜角的取值范围是( ) a0，) b.0，434， c.0，4 d.0，42， (2)直线 l 经过点 a(1，2)，且在 x 轴上的截距的取值范围是(3，3)，则其斜率 k的取值范围是( ) a.1，15 b.，12(1，) c.，15(1，) d(，1)12， 答案 (1)b (2)d 解析 (1)设直线的倾斜角为 ，则有 tan sin .因为 sin 1，1，所以1tan 1，又 0，)，所以 04或34kam或k12或 k1. 考点二 直线的方程 【例 2】 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(4，0)，倾斜角的正弦值为1010； 7 / 22

11、 (2)直线过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12； (3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为 5. 解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式 设倾斜角为 ，则 sin 1010(00； 当 k0 时，直线为 y1，符合题意， 故 k 的取值范围是0，) (3)解 由题意可知 k0，再由 l 的方程， 得 a12kk，0 ，b(0，12k) 依题意得12kk0，解得 k0. s12 |oa| |ob|1212kk |12k| 12（12k）2k124k1k4 12(224)4， “”成立的条件是 k0且 4k1k，即 k12， smin4，此时直线 l 的方程为 x2

12、y40. 9 / 22 感悟升华 在求直线方程的过程中，若有以直线为载体的求面积、距离的最值问题，则可先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式或函数知识求解最值 【训练 3】 (一题多解)已知直线 l 过点 p(3，2)，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 a，b两点，如图所示，求abo的面积的最小值及此时直线 l 的方程 解 法一 设直线方程为xayb1(a0，b0)， 点 p(3，2)代入得3a2b126ab，得 ab24， 从而 sabo12ab12， 当且仅当3a2b时等号成立，此时 a6，b4，所以x6y41， 从而所求直线方程为 2x3y120. 法二 依题意知，直线 l

13、的斜率 k 存在且 k0. 则直线 l 的方程为 y2k(x3)(k0)， 且有 a32k，0 ，b(0，23k)， sabo12(23k)32k 1212（9k）4（k）12122（9k）4（k） 12(1212)12. 当且仅当9k4k，即 k23时，等号成立， 即abo 的面积的最小值为 12. 故所求直线的方程为 2x3y120. 考点四 两直线的平行与垂直 【例 4】 已知 a 为实数，直线 l1：ax6y60，直线 l2：2x3y50，若10 / 22 l1l2，则 a_；若 l1l2，则 a_ 答案 4 9 解析 由 l1l2得 3a260，解得 a4.由 l1l2得 2a360

14、，解得 a9. 感悟升华 (1)讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在 (2)“直线 a1xb1yc10，a2xb2yc20 平行”的充要条件是“a1b2a2b1且 a1c2a2c1”，“两直线垂直”的充要条件是“a1a2b1b20” 【训练 4】 已知直线 l1：axya0 和 l2：2x(a1)ya30(ar)，若l1l2，a_；若 l1l2，a_. 答案 13 2 解 析 当l1l2时 ， 2a (a 1) 0 ， a 13； 当l1l2时 ，（a1） a2（1）0，a（a3）2a0，a2. 考点五 两直线的交点与距离问题 【例 5】 (1)(一题多解)直线 l 过点 p(1，2

15、)且到点 a(2，3)和点 b(4，5)的距离相等，则直线 l 的方程为_ (2)(2018 上海卷)已知常数 x1、x2、y1、y2满足：x21y211，x22y221，x1x2y1y212，则|x1y11|2|x2y21|2的最大值为_ 答案 (1)x3y50 或 x1 (2) 2 3 解析 (1)法一 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y2k(x1)，即kxyk20. 由题意知|2k3k2|k21|4k5k2|k21， 即|3k1|3k3|，k13. 直线 l 的方程为 y213(x1)，即 x3y50. 11 / 22 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1

16、，也符合题意 法二 当 abl 时，有 kkab13，直线 l 的方程为 y213(x1)，即 x3y50. 当 l 过 ab中点时，ab的中点为(1，4) 直线 l 的方程为 x1. 故所求直线 l 的方程为 x3y50或 x1. (2)由 x21y211，x22y221 可知 a(x1，y1)，b(x2，y2)两点都在单位圆 o：x2y21 上，又 x1x2y1y212，oa与ob的夹角为 60 ，|x1y11|2|x2y21|2为a，b 两点到直线 xy10 的距离之和，oab 为等边三角形，设 ab 边的中点为 c，a，b，c 到直线 xy10 的距离分别为 d，di，d，则 d1d2

17、2d，由数形结合易得|oc|32，dmax32|1|22 32，所求的最大值为 2 3. 感悟升华 (1)若直线 l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20 有交点，则过交点的直线方程可设为 (a1xb1yc1)(a2xb2yc2)0(， 不同时为零)，可避开求交点 (2)运用点到直线的距离公式，直线要化为一般式，并注意运用数形结合思想解题 【训练 5】 (1)(2021 山水联盟考试)设直线 l1，l2方程分别为 l1：x2y30，l2：4xay80，且 l1l2，则 a_，l1，l2两条平行线间的距离为_ (2)过两直线 2xy50 和 xy20 的交点且与直线 3xy10 垂直的

18、直线方程为_ 答案 (1)8 55 (2)x3y100 解析 (1)因为两直线平行，所以124a，解得 a8，所以这两条平行直线之间的距离 d|32|1455. (2)设所求直线方程为 2xy5(xy2)0， 12 / 22 即(2)x(1)y250， 由题意知 3(2)(1)0， 54.将 54代入得 x3y100. 考点六 对称问题 角度 1 点关于点对称 【例 61】 直线 x2y30 关于定点 m(2，1)对称的直线方程是_ 答案 x2y110 解析 设所求直线上任一点(x，y)，则关于 m(2，1)的对称点(4x，2y)在已知直线上，所求直线方程为(4x)2(2y)30，即 x2y1

19、10. 感悟升华 1.点关于点的对称：点 p(x，y)关于 o(a，b)对称的点 p(x，y)满足x2ax，y2by. 2直线关于点的对称：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考虑利用两条对称直线是相互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相等求解 角度 2 点关于线对称 【例 62】 如图，已知 a(4，0)，b(0，4)，从点 p(2，0)射出的光线经直线 ab反射后再射到直线 ob 上，最后经直线 ob 反射后又回到 p 点，则光线所经过的路程是( ) a3 3 b6 c2 10 d2 5 答案 c 解析 直线 ab 的方程为 xy4，点 p(2，0)关于直线 ab 的

20、对称点为 d(4，13 / 22 2)，关于 y 轴的对称点为 c(2，0)，则光线经过的路程为|cd|62222 10. 感悟升华 1.若点 a(a，b)与点 b(m，n)关于直线 axbyc0(a0，b0)对称，则直线 axbyc0 垂直平分线段 ab，即有nbmaab1，aam2bbn2c0. 2几个常用结论 (1)点(x，y)关于 x 轴的对称点为(x，y)，关于 y 轴的对称点为(x，y) (2)点(x，y)关于直线 yx 的对称点为(y，x)，关于直线 yx 的对称点为(y，x) (3)点(x，y)关于直线 xa 的对称点为(2ax，y)，关于直线 yb 的对称点为(x，2by)

21、角度 3 线关于线对称 【例 63】 直线 2xy30 关于直线 xy20 对称的直线方程是_ 答案 x2y30 解析 设所求直线上任意一点 p(x，y)， 则 p关于 xy20的对称点为 p(x0，y0)， 由xx02yy0220，xx0（yy0），得x0y2，y0 x2， 由点 p(x0，y0)在直线 2xy30上， 2(y2)(x2)30，即 x2y30. 感悟升华 求直线 l1关于直线 l 对称的直线 l2，有两种处理方法： (1)在直线 l1上取两点(一般取特殊点)，利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线 l 的对称点，再用两点式写出直线 l2的方程 (2)设点 p(x，y

22、)是直线 l2上任意一点，其关于直线 l 的对称点为 p1(x1，y1)(p1在14 / 22 直线 l1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用 x，y 表示出 x1，y1，再代入直线 l1的方程，即得直线 l2的方程 【训练 6】 已知直线 l：2x3y10，点 a(1，2)求： (1)点 a关于直线 l 的对称点 a的坐标； (2)直线 m：3x2y60 关于直线 l 的对称直线 m的方程； (3)(一题多解)直线 l 关于点 a 对称的直线 l的方程 解 (1)设 a(x，y)，则y2x1231，2x123y2210， 解得x3313，y413，即 a3313，413. (2)在直线 m

23、 上取一点，如 m(2，0)，则 m(2，0)关于直线 l 的对称点必在 m上设对称点为 m(a，b)， 则2a223b0210，b0a2231， 解得a613，b3013，即 m613，3013. 设 m与 l 的交点为 n，则由2x3y10，3x2y60， 得 n(4，3)又 m经过点 n(4，3)， 由两点式得直线 m的方程为 9x46y1020. (3)法一 在 l：2x3y10 上任取两点， 如 p(1，1)，n(4，3)， 则 p，n关于点 a的对称点 p，n均在直线 l上 易知 p(3，5)，n(6，7)，由两点式可得 l的方程为 2x3y90. 法二 设 q(x，y)为 l上任

24、意一点，则 q(x，y)关于点 a(1，2)的对称点为 15 / 22 q(2x，4y)， q在直线 l 上，2(2x)3(4y)10， 即 2x3y90. 16 / 22 基础巩固题组 一、选择题 1直线 x(a21)y10的倾斜角的取值范围是( ) a.0，4 b.34， c.0，42， d.4，234， 答案 b 解析 直线的斜率 k1a21，1k0，则倾斜角的范围是34， . 2若直线 l 与直线 y1，x7 分别交于点 p，q，且线段 pq 的中点坐标为(1，1)，则直线 l 的斜率为( ) a.13 b13 c32 d.23 答案 b 解析 依题意，设点 p(a，1)，q(7，b)

25、，则有a72，b12， 解得 a5，b3，从而可知直线 l 的斜率为317513. 3若直线 axbyab(a0，b0)过点(1，1)，则该直线在 x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为( ) a1 b2 c4 d8 答案 c 解析 直线 axbyab(a0，b0)过点(1，1)， abab，即1a1b1， ab(ab)1a1b2baab22baab4， 当且仅当 ab2 时上式等号成立 直线在 x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为 4. 17 / 22 4(一题多解)过两直线 l1：x3y40 和 l2：2xy50 的交点和原点的直线方程为( ) a19x9y0 b9x19y0 c19x3y0

26、 d3x19y0 答案 d 解析 法一 由x3y40，2xy50，得x197，y37， 则所求直线方程为：y37197x319x，即 3x19y0. 法二 设直线方程为 x3y4(2xy5)0， 即(12)x(3)y450，又直线过点(0，0)， 所以(12) 0(3) 0450， 解得 45，故所求直线方程为 3x19y0. 5直线 x2y10关于直线 x1对称的直线方程是( ) ax2y10 b2xy10 cx2y30 dx2y30 答案 d 解析 设所求直线上任一点(x，y)，则它关于直线 x1 的对称点(2x，y)在直线 x2y10上，即 2x2y10，化简得 x2y30. 6若直线

27、l1：xay60 与 l2：(a2)x3y2a0 平行，则 l1与 l2间的距离为( ) a. 2 b.8 23 c. 3 d.8 33 答案 b 解析 显然 a0 或 a2时，l1与 l2不平行 因为 l1l2，所以1a2a362a， 解得 a1，所以 l1：xy60，l2：xy230，所以 l1与 l2之间的距离 d18 / 22 62328 23，故选 b. 7平面直角坐标系中直线 y2x1关于点(1，1)对称的直线方程是( ) ay2x1 by2x1 cy2x3 dy2x3 答案 d 解析 在直线 y2x1 上任取两个点 a(0，1)，b(1，3)，则点 a关于点(1，1)对称的点为

28、m(2，1)，点 b 关于点(1，1)对称的点为 n(1，1)由两点式求出对称直线 mn的方程为y111x121，即 y2x3，故选 d. 8从点(2，3)射出的光线沿与向量 a(8，4)平行的直线射到 y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( ) ax2y40 b2xy10 cx6y160 d6xy80 答案 a 解析 由直线与向量 a(8，4)平行知：过点(2，3)的直线的斜率 k12，所以直线的方程为 y312(x2)，其与 y 轴的交点坐标为(0，2)，又点(2，3)关于 y 轴的对称点为(2，3)，所以反射光线过点(2，3)与(0，2)，由两点式知 a 正确 二、填空题 9若三条直线

29、y2x，xy3，mx2y50 相交于同一点，则 m 的值为_ 答案 9 解析 由y2x，xy3，得x1，y2. 点(1，2)满足方程 mx2y50， 即 m12250，m9. 10已知直线 l 过坐标原点，若直线 l 与线段 2xy8(2x3)有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是_ 19 / 22 答案 23，2 解析 设直线 l 与线段 2xy8(2x3)的公共点为 p(x，y) 则点 p(x，y)在线段 ab上移动，且 a(2，4)，b(3，2)， 设直线 l 的斜率为 k. 又 koa2，kob23. 如图所示，可知23k2. 直线 l 的斜率的取值范围是23，2 . 11 过 点

30、m(3 ， 4) ， 且 在 两 坐 标 轴 上 的 截 距 相 等 的 直 线 的 方 程 为_ 答案 4x3y0或 xy10 解析 若直线过原点，则 k43， 所以 y43x，即 4x3y0. 若直线不过原点，设直线方程为xaya1，即 xya. 则 a3(4)1， 所以直线的方程为 xy10. 12直线 l：xy230(r)恒过定点_，p(1，1)到该直线的距离最大值为_ 答案 (2，3) 13 解析 已知直线方程转化为(x2)(y3)0，由x20，y30，求得定点(2，3)；点 p(1，1)到直线 l 的距离最大值即为点 p(1，1)到定点(2，3)的距离，即为 （12）2（13）2

31、13. 13(2021 台州一模)在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 c：xy 3上任意一点 p20 / 22 到直线 l：x 3y0的距离的最小值为_ 答案 3 解析 y3x，所以 y3x233，得 x 3，由图象对称性，取点( 3，1)，所以 d2 32 3. 14已知动点 p 的坐标为(x，1x)，xr，则动点 p 的轨迹方程为_，它到原点距离的最小值为_ 答案 xy10 22 解析 设点 p 的坐标为(x，y)，则 y1x，即动点 p 的轨迹方程为 xy10；原点到直线 xy10 的距离为 d|001|121222，即为所求原点到动点 p的轨迹的距离的最小值 能力提升题组 15曲线 y2xx3在横坐标为1 的点处的切线为 l，则点 p(3，2)到直线 l 的距离为( ) a.7 22 b.9 22 c.11 22 d.9 1010 答案 a 解析 曲线 y2xx3上横坐标为1 的点的纵坐标为1，故切点坐标为(1，1)切线斜率为 ky|x123(1