高考数学一轮复习第2章 第7节 对数与对数函数 (2)

1、1 / 13 对数与对数函数 考试要求 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用. 2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为 2,10，12的对数函数的图象. 3.体会对数函数是一类重要的函数模型. 4.了解指数函数 yax(a0，且 a1)与对数函数 ylogax(a0，且 a1)互为反函数 1对数的概念 如果 axn(a0，且 a1)，那么 x 叫做以 a为底 n的对数，记作 xlogan，其中 a叫做对数的底数，n叫做真数 提醒：指数式与对数式的关系 2对数的性质、换底公式与运算性质 (

2、1)对数的性质： loga10；alogann；logaabb(a0，且 a1) (2)换底公式： logablogcblogca(a，c 均大于 0且不等于 1，b0) (3)对数的运算性质： 如果 a0，且 a1，m0，n0，那么： loga(m n)logamlogan； logamnlogamlogan； 2 / 13 logamnnlogam(nr) 3对数函数的定义、图象与性质 定义 函数 ylogax(a0且 a1)叫做对数函数 图象 a1 0a1 性质 定义域：(0，) 值域：r 当 x1时，y0，即过定点(1,0) 当 0 x1 时，y0； 当 x1 时，y0 当 0 x1时

3、，y0； 当 x1时，y0 在(0，)上为增函数 在(0，)上为减函数 4反函数 指数函数 yax(a0，且 a1)与对数函数 ylogax(a0，且 a1)互为反函数，它们的图象关于直线 yx 对称 常用结论 1换底公式的三个重要结论 (1)logab1logba； (2)logambnnmlogab； (3)logab logbc logcdlogad. 2对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线 y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故 0cd1ab.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大 一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”) 3 / 13

4、 (1)函数 ylog2(x1)是对数函数( ) (2)log2x22log2x.( ) (3)函数 yln1x1x与 yln(1x)ln(1x)的定义域相同( ) (4)对数函数 ylogax(a0 且 a1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，1a，1 ，函数图象不在第二、三象限( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材习题衍生 1(多选)(2020 山东临沂期末)若 10a4,10b25，则下列结论正确的是 ( ) aab2 bba1 cab8(lg 2)2 dbalg 6 acd 由 10a4,10b25，得 alg 4，blg 25，则 ablg 4lg 25lg

5、1002，balg 25lg 4lg 254，又 lg254lg 6，balg 6，ab4lg 2lg 54lg 2lg 48(lg 2)2，故选 acd. 2已知 a2，blog213，clog12 13，则( ) aabc bacb ccba dcab d 因为 0a1，b0，clog12 13log231.所以 cab.故选 d. 3函数 ylog23 (2x1)的定义域是_ 12，1 由 log23 (2x1)0，得 02x11. 12x1. 函数 ylog23 (2x1)的定义域是12，1 . 4函数 yloga(4x)1(a0，且 a1)的图象恒过点_ (3,1) 当 4x1，即

6、x3时，yloga111. 4 / 13 所以函数的图象恒过点(3,1) 考点一 对数式的化简与求值 对数运算的一般思路 典例 1 (1)设 2a5bm，且1a1b2，则 m 等于( ) a. 10 b10 c20 d100 (2)(多选)下列各式或说法中正确的有( ) alg(lg 10)0 blg(ln e)0 c若 10lg x，则 x100 d若 log25x12，则 x 5 (3)(2020 全国卷)logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 i(t)(t 的单位：天)的 logistic 模型：i(t)k1e

7、0.23(t53)，其中 k 为最大确诊病例数，当 i(t*)0.95k时，标志着已初步遏制疫情，则 t*约为(ln 193)( ) a60 b63 c66 d69 5 / 13 (1)a (2)ab (3)c (1)由已知，得 alog2m，blog5m， 则1a1b1log2m1log5mlogm2logm5logm102. 解得 m 10.故选 a. (2)对于 a，因为 lg 101，lg 10，所以 lg(lg 10)lg 10，故 a正确； 对于 b，因为 ln e1，lg 10，所以 lg(ln e)lg 10，故 b正确； 对于 c，因为 10lg x，所以 x1010，故 c

8、错误； 对于 d，因为 log25x12，所以 25 x，所以 x5，故 d错误 故选 ab. (3)由题意可得，当 i(t*)0.95k时，k1e0.23(t*53)0.95k， 119e0.23(t*53)，ln 190.23(t*53)，t*5313，t*66，故选 c. 点评：对数运算中 logab1logba是常用的性质之一 跟进训练 1(2020 全国卷)设 alog342，则 4a( ) a.116 b19 c.18 d16 b 法一：因为 alog342，所以 log34a2，则有 4a329，所以 4a14a19，故选 b. 法二：因为 alog342，所以alog342，所

9、以 log34a2，所以 4a 3213219，故选 b. 法三：因为 alog342，所以a21log34log43，所以 4a23，两边同时平方得 4a9，所以 4a14a19，故选 b. 6 / 13 2(2019 北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足 m2m152lg e1e2，其中星等为 mk的星的亮度为ek(k1,2)已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) a1010.1 b10.1 clg 10.1 d1010.1 a 由题意知，m126.7，m21.45，代入所给公式得1.45(26.7)

10、52lg e1e2，所以 lg e1e210.1， 所以e1e21010.1，故选 a. 考点二 对数函数的图象及其应用 利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想 (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解 典例 2 (1)(多选)若函数 f(x)ax2，g(x)loga|x|，其中 a0，且 a1，则函数 f(x)，g(x)在同一坐标系中的大致图象可能是( ) a b c d (2)当 0 x12时，4xlogax，则 a的取值范围是

11、( ) 7 / 13 a0，22 b22，1 c(1， 2) d( 2，2) (1)ad (2)b (1)易知 g(x)loga|x|为偶函数当 0a1时，f(x)ax2单调递减，g(x)loga|x|在(0，)上单调递减，此时 a选项符合题意当 a1时，f(x)ax2单调递增，g(x)loga|x|在(0，)上单调递增，此时 d选项符合题意故选 ad. (2)构造函数 f(x)4x和 g(x)logax，当 a1时不满足条件，当 0a1时，画出两个函数在0，12上的图象，可知 f 12g12，即 2loga12，则 a22，所以 a的取值范围为22，1 . 母题变迁 1将本例(2)中“4xl

12、ogax”变为“4xlogax有解”，a 的取值范围是_ 0，22 若方程 4xlogax 在0，12上有解，则函数 y4x与函数 ylogax的图象在0，12上有交点 由图象可知 0a1，loga122，解得 0a22，即 a的取值范围为0，22. 2若将本例(2)变为：当 0 x14时， xlogax，则实数 a 的取值范围为_ 116，1 若 xlogax 在 x0，14上恒成立，则 0a1，且 y x的图象在 ylogax图象的下方，如图所示， 由图象知14loga14， 8 / 13 所以 0a1，a 14，解得116a1. 即实数 a的取值范围是116，1 . 跟进训练 1.已知函

13、数 yloga(xc)(a，c 为常数，其中 a0，a1)的图象如图，则下列结论成立的是( ) aa1，c1 ba1,0c1 c0a1，c1 d0a1,0c1 d 由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知 0a1,0c1. 2已知不等式 x2logax0对 x0，12恒成立，则实数 a的取值范围为_ 116，1 由 x2logax0得 x2logax，设 f1(x)x2，f2(x)logax，要使 x0，12时，不等式 x2logax 恒成立，只需 f1(x)x2在0，12上的图象在 f2(x)logax 图象的下方即可当 a1时，显然不成立； 当 0a1时，如图所示 要使 x2logax

14、 在 x0，12上恒成立，需 f112f212，所以有122loga12，解得 a116， 所以116a1. 即实数 a的取值范围是116，1 . 考点三 对数函数的性质及其应用 比较对数值的大小 比较对数值大小的常见类型及解题方法 9 / 13 常见类型 解题方法 底数为同一常数 可由对数函数的单调性直接进行判断 底数为同一字母 需对底数进行分类讨论 底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 底数与真数都不同 常借助 1,0等中间量进行比较 典例 31 (1)已知 alog3 72，b14，clog13 15，则 a，b，c 的大小关系为( ) aabc bbac ccba

15、 dcab (2)(2019 天津高考)已知 alog52，blog0.50.2，c0.50.2，则 a，b，c 的大小关系为( ) aacb babc cbca dcab (3)(2020 全国卷)设 alog32，blog53，c23，则( ) aacb babc cbca dcab (1)d (2)a (3)a (1)clog13 15log35，log35log372log331， 即 ca1，又141401. cab，故选 d. (2)alog52log5512，blog0.50.2log0.50.51，c0.50.21212，0.50.21，acb，故选 a. (3)2332，23

16、 ，log32log33 23，ac. 3352，35 ，log53log55 23，bc，acb，故选 a. 点评：本例 t(1)和 t(3)主要使用了化为同底和中间量比较大小，其中常数化为同底，利用了性质 mlogaam，本例 t(2)主要使用中间量比较大小 10 / 13 解简单对数不等式 求解对数不等式的两种类型及方法 类型 方法 logaxlogab 借助 ylogax 的单调性求解，如果 a的取值不确定，需分 a1 与 0a1两种情况讨论 logaxb 需先将 b 化为以 a为底的对数式的形式，再借助 ylogax的单调性求解 典例 32 (1)若 loga341(a0 且 a1)

17、，则实数 a的取值范围是_ (2)若 loga(a21)loga2a0，则 a的取值范围是_ (1)0，34(1，) (2)12，1 (1)当 0a1时，loga34logaa1，0a34； 当 a1时，loga34logaa1，a1. 实数 a的取值范围是0，34(1，) (2)由题意得 a0且 a1，故必有 a212a， 又 loga(a21)loga2a0，所以 0a1， 同时 2a1，所以 a12.综上，a12，1 . 点评：在对数不等式中，真数大于 0是隐含条件，不能忘记！ 与对数函数有关的复合函数的单调性 求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤 一求 求出函数的定义域，所有问题都

18、必须在定义域内讨论 二判 判断对数函数的底数与 1 的关系，分 a1与 0a1两种情况 判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性 11 / 13 典例 33 (1)(2020 新高考全国卷)已知函数 f(x)lg(x24x5)在(a， )单调递增，则 a 的取值范围是( ) a(，1 b(，2 c2，) d5，) (2)设函数 f(x)log13 (4x24ax3a)在(0,1)上是增函数，则 a的取值范围是_ (1)d (2)2,4 (1)由 x24x50，得 x1或 x5，即函数 f(x)的定义域为(，1)(5，)令 tx24x5，则 t(x2)29，所

19、以函数 t在 (，1)上单调递减，在(5，)上单调递增，又函数 ylg t 在(0，)上单调递增，从而函数 f(x)的单调递增区间为(5，)，由题意知(a，) (5，)， a5，故选 d. (2)令 t4x24ax3a，由 ylog13 t 在(0，)是减函数可得 t4x24ax3a 在(0,1)上是减函数，且 t0在(0,1)上恒成立， 又 t4x24ax3a4xa22a23a， a21，44a3a0，解得 2a4. 点评：已知 f(x)logag(x)在区间m，n上是增函数，对于这类问题，应从两个方面考虑：一是根据 a与 1的关系确定 g(x)在m，n上的单调性，二是 g(x)0 在 xm，n时恒成立，此时只需 g(x)min0即可 跟进训练 1已知 alog27，blog38，c0.30.2，则 a，b，c 的大小关系为( ) acba babc cbca dcab a alog27log242,1blog38log392，c0.30.21， c