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文档简介
1、1 / 19 第 4讲 三角函数的图象与性质 最新考纲 考向预测 1.能画出 ysin x,ycos x,ytan x的图象,了解三角函数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴的交点等),理解正切函数在区间2,2内的单调性. 命题趋势 以考查三角函数的性质为主,题目涉及单调性、周期性、最值、零点考查三角函数性质时,常与三角恒等变换结合,加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识题型既有选择题和填空题,又有解答题,中档难度. 核心素养 直观想象、逻辑推理 1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数 ysin x,x0,2的图象
2、中,五个关键点是:(0,0),2,1 ,(,0),32,1 ,(2,0) (2)余弦函数 ycos x,x0,2的图象中,五个关键点是:(0,1),2,0 ,(,1),32,0 ,(2,1) 2正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 ysin x ycos x ytan x 图象 定义 域 r r x|xk2,kz 值域 1,1 1,1 r 2 / 19 周期 性 2 2 奇偶 性 奇函数 偶函数 奇函数 单调 递增 区间 22k, 22k, kz 2k, 2k,kz (2k,2k),kz 续 表 函数 ysin x ycos x ytan x 单调 递减 区间 22k, 322k, kz 2
3、k,2k, kz 无 对称性 对称中心 (k,0),kz k2,0 ,kz k2,0 ,kz 对称轴 xk2,kz xk,kz 无对称轴 零点 k,kz k2,kz k,kz 常用结论 1对称与周期的关系 正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期 2与三角函数的奇偶性相关的结论 (1)若 yasin(x)为偶函数,则有 k2(kz);若为奇函数,则有k(kz) (2)若 yacos(x)为偶函数,则有 k(kz);若为奇函数,则有 3 / 19 k2(kz) (3)
4、若 yatan(x)为奇函数,则有k(kz) 常见误区 1对于 ytan x 不能认为其在定义域上为增函数,而是在每个开区间k2,k2(kz)内为增函数 2求函数 yasin(x)的单调区间时要注意 a和 的符号,尽量化成 0 的形式,避免出现增减区间的混淆 1判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)ycos x在第一、二象限内是减函数( ) (2)若 yksin x1,xr,则 y 的最大值是 k1.( ) (3)若非零实数 t 是函数 f(x)的周期,则 kt(k 是非零整数)也是函数 f(x)的周期( ) (4)函数 ysin x 图象的对称轴方程为 x2k2(kz)( ) (5)
5、函数 ytan x 在整个定义域上是增函数( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5) 2(易错点)函数 ytan 2x 的定义域是( ) a.xxkx4,kz b.xxk28,kz c.xxk8,kz d.xxk24,kz 解析:选 d.由 2xk2,kz,得 xk24,kz,所以 ytan 2x 的定义域为x|xk24,kz . 3(多选)下列函数中,最小正周期为 的偶函数有( ) aytan x 4 / 19 by|sin x| cy2cos x dysin22x 解析:选 bd.对于 a 选项,函数 ytan x 为奇函数,不符合题意;对于 b选项,函数 y|sin x|是最小
6、正周期为 的偶函数,符合题意;对于 c 选项,函数 y2cos x 的最小正周期为 2,不符合题意;对于 d 选项,函数 ysin22x cos 2x,是最小正周期为 的偶函数,符合题意故选 bd. 4函数 ycos2x4的单调递减区间为_ 解析:由 ycos2x4, 得 2k2x42k(kz), 解得 k8xk58(kz) 所以函数的单调递减区间为k8,k58(kz) 答案:k8,k58(kz) 5已知函数 f(x) 2sinx4 是奇函数,当 2,2时, 的值为_ 解析:由已知得4k(kz),所以 k4(kz)又因为2,2,所以当 k0时,4符合条件 答案:4 第 1 课时 三角函数的单调
7、性与最值 求三角函数的单调区间 5 / 19 (1)函数 f(x)sin2x3的单调递减区间为_ (2)函数 f(x)tan(2x3)的单调递增区间是_ 【解析】 (1)f(x)sin2x3sin2x3sin2x3,由 2k22x32k2,kz,得 k12xk512,kz.故所求函数的单调递减区间为k12,k512(kz) (2)由 k22x3k2(kz),得k2512xk212(kz),所以函数 f(x)tan2x3的单调递增区间为k2512,k212(kz) 【答案】 (1)k12,k512(kz) (2)k2512,k212(kz) 【引申探究】 1(变条件、变问法)若本例(1)f(x)
8、变为:f(x)cos2x3,求 f(x)的单调递增区间 解:f(x)cos2x3cos2x3, 欲求函数 f(x)的单调递增区间, 只需求 ycos2x3的单调递减区间 由 2k2x32k,kz, 得 k6xk23,kz. 故函数 f(x)的单调递增区间为k6,k23(kz) 2(变条件、变问法)本例(1)f(x)变为:f(x)sin2x3,试讨论 f(x)在区间4,4上的单调性 6 / 19 解 : 令z 2x 3, 易 知 函 数y sin z 的 单 调 递 增 区 间 是22k,22k ,kz. 由22k2x322k, 得12kx512k,kz. 设 a 4,4, b x|12kx51
9、2k,kz , 易 知 ab 12,4. 所以,当 x4,4时,f(x)在区间12,4上单调递增,又因为442t,所以 f(x)在区间4,12上单调递减 求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法:就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或 t),利用复合函数的单调性列不等式求解 (2)图象法:画出三角函数的图象,结合图象求它的单调区间 提醒 要注意求函数 yasin(x)的单调区间时 的符号,若 0,那么一定要先借助诱导公式将 化为正数同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域 1函数 y|cos x|的一个单调递增区间是( ) a2,2 b0, c,32 d32,2 解析:选 d.
10、将 ycos x 的图象位于 x 轴下方的图象关于 x 轴对称翻折到 x轴上方,x 轴上方(或 x 轴上)的图象不变,即得 y|cos x|的图象(如图)故选 d. 7 / 19 2设函数 f(x)sin2x3,x2, ,则以下结论正确的是( ) a函数 f(x)在2,0 上单调递减 b函数 f(x)在0,2上单调递增 c函数 f(x)在2,56上单调递减 d函数 f(x)在56, 上单调递增 解析:选 c.由 x2,0 得 2x343,3,所以 f(x)先减后增;由x0,2得 2x33,23,所以 f(x)先增后减;由 x2,56得 2x323,43,所以 f(x)单调递减;由 x56, 得
11、 2x343,53,所以 f(x)先减后增 三角函数单调性的应用 角度一 利用三角函数的单调性比较大小 已知函数 f(x)2sinx3,设 af7,bf6,cf3,则 a,b,c的大小关系是( ) aacb bcab cbac dbca 【解析】 af72sin 1021,bf62sin 22,cf32sin 232sin 3, 因为 ysin x 在0,2上单调递增,且310212,所以 ca0),x0,2的值域是22,1 ,则 的取值范围是( ) a.0,32 b.32,3 c.3,72 d.52,72 解析:选 b.通解:因为 x0,2,0,所以 x44,24.又当x0,2时,f(x)2
12、2,1 ,所以22454,解得323,故选 b. 优解:当 2 时,f(x)sin2x4.因为 x0,2,所以 2x44,34,所以 sin2x422,1 ,满足题意,故排除 a,c,d,选b. 6比较大小:sin18_sin10. 解析:因为 ysin x 在2,0 上为增函数且18102,故sin18sin10. 答案: 7已知函数 f(x)4sin2x3,x,0,则 f(x)的单调递增区间是_ 解析:由22k2x322k(kz), 得12kx512k(kz), 又因为 x,0, 所以 f(x)的单调递增区间为,712和12,0 . 答案:,712和12,0 15 / 19 8若函数 f(
13、x)2sin x(01)在区间0,3上的最大值为 1,则 _ 解析:因为 01,0 x3,所以 0 x3,所以 f(x)在区间0,3上单调递增,则 f(x)maxf32sin 31,即 sin 312.又因为 0 x3,所以36,解得 12. 答案:12 9已知函数 f(x) 2sin2x4. (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)当 x4,34时,求函数 f(x)的最大值和最小值 解:(1)令 2k22x42k2,kz, 则 k38xk8,kz. 故 f(x)的单调递增区间为k38,k8,kz. (2)当 x4,34时,342x474,所以1sin2x422,所以2f(x)1,所以当 x
14、4,34时,函数 f(x)的最大值为 1,最小值为 2. 10已知函数 f(x)sin2x6.讨论函数 f(x)在区间12,2上的单调性并求出其值域 解:令22x62,则6x3. 令22x632,则3x56. 因为12x2, 所以函数 f(x)sin2x6在区间12,3上单调递增,在区间3,2上单16 / 19 调递减 当 x3时,f(x)取得最大值为 1. 因为 f12320)的图象在区间0,1上恰有 3个最高点,则 的取值范围为( ) 19 / 19 a194,274 b92,132 c174,254 d4,6) 解析:选 c.因为 x0,1,0,所以 x44,4. 因为 f(x)的图象在区间0,1上恰有 3 个最高点,所以 42462,解得174254. 16.如图,角 的始边与 x 轴的非
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