高中数学选修一2.5.1分层演练综合提升

1、1 / 8 a 级 基础巩固 1.直线 l: y-1=k(x-1)和圆 x2+y2-2y=0 的关系是 ( ) a.相离 b.相切或相交 c.相交 d.相切 解析:直线 l 过定点 a(1,1),因为 12+12-2 1=0,所以点 a 在圆上.因为直线 x=1 过点 a 且为圆的切线,直线 l 的斜率存在,所以直线 l 与圆一定相交. 答案:c 2.直线 3x+4y=b与圆 x2+y2-2x-2y+1=0相切,则 b 的值是 ( ) a.-2 或 12 b.2 或-12 c.-2 或-12 d.2 或 12 解析:由题意,知圆的圆心为(1,1),半径为 1. 因为直线 3x+4y=b与圆相切

2、,所以|3+4-|32+42=1,解得 b=2 或 b=12. 答案:d 3.若直线 2x+y+=0 被圆 x2+y2=4 截得的弦长为 23,则 m= ( ) a.5 b.5 c.10 d.25 解析:由题意,知圆的圆心坐标为(0,0),半径 r=2.由直线被圆截得的弦长为 23,可得圆心到直线的距离为5=22-(232)2,解得 m=5. 答案:b 2 / 8 4.直线 x-y+1=0 与直线 2x-2y-1=0 是圆 c的两条切线,则圆 c的面积是 ( ) a.98 b.916 c.932 d.964 解析:由题意,知直线 x-y+1=0 与直线 2x-2y-1=0 平行.由这两条直线是

3、圆 c 的两条切线,知两直线之间的距离与圆 c 的直径的长度相等.由直线 x-y+1=0 即 2x-2y+2=0,与直线 2x-2y-1=0 间的距离 d=|2+1|4+4=324,知圆 c的半径 r=328,故圆 c的面积 s=r2=932. 答案:c 5.过点 p(-1,6),且与圆(x+3)2+(y-2)2=4 相切的直线方程是 3x-4y+27=0 或 x=-1. 解析:当所求直线的斜率存在时,设所求直线的方程为 y-6=k(x+1),则 d=|2-6-(-3+1)|1+2=2,解得 k=34,此时,直线方程为 3x-4y+27=0;当所求直线的斜率不存在时,所求直线的方程为 x=-1

4、,验证可知,符合题意.所以所求直线方程为 3x-4y+27=0 或 x=-1. 6.已知直线 l:3x-y+1=0,圆 c的方程为 x2+y2+4x-2y+1=0. (1)判断直线 l与该圆的位置关系. (2)若直线 l 与圆 c相交,求出弦长;否则,求出圆 c 上的点到直线 l的最短距离. 解:(1)因为圆 c的方程可化为(x+2)2+(y-1)2=4, 所以圆 c的圆心为 c(-2,1),半径 r=2, 3 / 8 所以圆心 c到直线 l 的距离 d=|-23-1+1|(3)2+1=3r, 所以直线 l与圆 c相交. (2)由(1)知直线 l与圆 c相交,则弦长 l=22-2=24-3=2

5、. b 级 拓展提高 7.(全国卷改编)已知圆 c:x2+y2-6x=0,过点 d(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 ( ) a.1 b.2 c.3 d.4 解析:由圆的方程可得圆心为 c(3,0),半径 r=3. 把点(1,2)的坐标代入圆的方程的左边,得 12+22-6 1=-1.因为-10,所以点在圆内. 设圆心到直线的距离为 d,则过 d(1,2)的直线被圆截得的弦长|ab|=22-2. 所以当 d 最大时弦长|ab|最小,当直线与 cd 所在的直线垂直时 d最大. 因为 d最大=|cd|=(3-1)2+ (0-2)2=22, 所以最小的弦长|ab|=232-(22)2=

6、2. 故选 b. 答案:b 8.在平面直角坐标系 oxy 中,以点(1,0)为圆心,且与直线 mx-y-2m-1=0(mr)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为(x-1)2+y2=2. 4 / 8 解析:因为直线 mx-y-2m-1=0 恒过定点(2,-1),所以圆心(1,0)与定点(2,-1)确定的直线与直线 mx-y-2m-1=0 垂直时,圆的半径最大,且两点之间的距离为 d=(2-1)2+ (-1-0)2=2,所以最大的半径 r=2,所以半径最大的圆的标准方程为(x-1)2+y2=2. 9.已知圆 c:x2+y2-8y+12=0 与直线 l:ax+y+2a=0 相交于 a,b 两点,

7、且|ab|=22,则实数 a=-7 或-1. 解析:将圆的方程化为标准方程可得 x2+(y-4)2=4,所以圆心为(0,4),半径 r=2.因为圆 c 与直线 l 相交于 a,b 两点,且|ab|=22,所以由垂径定 理 和 勾 股 定 理 可 求 得 圆 心 到 直 线l的 距 离 为d=2-(|2)2=4-2=2. 由点到直线的距离公式可知 d=|4+2|2+1, 所以|4+2|2+1=2,化简可得 a2+8a+7=0, 解得 a=-7 或 a=-1. 10.已知过点 a(0,1),且斜率为 k 的直线 l 与圆 c:(x-2)2+(y-3)2=1 交于 m,n两点. (1)求 k的取值范

8、围; (2)若 =12,其中 o 为坐标原点,求|mn|. 解:(1)由题意可得,直线 l 的斜率存在, 所以过点 a(0,1)的直线 l 的方程为 y=kx+1,即 kx-y+1=0. 由已知可得圆 c的圆心 c的坐标为(2,3),半径 r=1. 当直线与圆相切时,有|2-3+1|2+1=1,解得 k1=4-73,k2=4+73. 5 / 8 故当4-73k4+73时,过点 a(0,1)的直线与圆 c:(x-2)2+(y-3)2=1 相交于 m,n两点. (2)设 m(x1,y1),n(x2,y2), 由题意可得,经过点 m,n,a 的直线方程为 y=kx+1,代入圆 c 的方程(x-2)2

9、+(y-3)2=1,消去 y整理可得(1+k2)x2-4(k+1)x+7=0, 所以 x1+x2=4(1+)1+2,x1x2=71+2, 所以 y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=122+4+11+2. 由 =x1x2+y1y2=122+4+81+2=12, 解得 k=1, 所以直线 l的方程为 y=x+1,即 x-y+1=0. 所以圆心 c在直线 l 上,所以线段 mn即为圆的直径,即|mn|=2. 11.某高速公路隧道内设双行线公路,其截面由一段圆弧和一个长方形的三边构成(如图所示).已知隧道总宽度 ad 为 63 m,行车道总宽度 bc为 211

10、m,侧墙面高 ea,fd 为 2 m,弧顶高 mn为 5 m. (1)建立适当的平面直角坐标系,求圆弧所在圆的方程. (2)为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为 0.5 m.请计算车辆通过隧道的限制高度是多少. 6 / 8 解:(1)如图所示,以 ef 所在直线为 x轴,以 mn所在直线为 y轴,以1 m为单位长度建立平面直角坐标系,则 e(-33,0),f(33,0),m(0,3). 因为所求圆的圆心在 y轴上,所以设圆的方程为 x2+(y-b)2=r2. 因为点 f,m 在圆上,所以(33)2+ 2= 2,02+ (3-)2= 2,解得 = -3,

11、2= 36, 所以所求圆的方程为 x2+(y+3)2=36. (2)设限制高度为 h m,作 cpad,交圆弧于点 p,则|cp|=h+0.5.将点 p 的横坐标 x=11代入圆的方程,得(11)2+(y+3)2=36,解得 y=2 或y=-8(舍去),所以 h=|cp|-0.5=(y+|df|)-0.5=(2+2)-0.5=3.5. 答:车辆通过隧道的限制高度是 3.5 m. c 级 挑战创新 12.多选题在平面直角坐标系 oxy 中,圆 c 的方程为 x2+y2-4x=0.若直线 y=k(x+1)上存在一点 p,使过点 p 所作的圆的两条切线相互垂直,则实数 k的取值可以是 ( ) a.1

12、 b.2 c.3 d.4 解析:x2+y2-4x=0可化为(x-2)2+y2=4. 因为过点 p 所作的圆的两条切线相互垂直,所以点 p、圆心 c、两切点是构成一个正方形的四个顶点, 所以 pc=22. 7 / 8 因为 p 在直线 y=k(x+1)上,所以圆心到直线的距离 d=|2-0+|1+222,解得-22k22. 答案:ab 13.多选题已知点 a 是直线 l:x+y-2=0 上一定点,点 p,q 是圆x2+y2=1 上的动点,若paq 最大值为 90 ,则点 a 的坐标可以是 ( ) a.(0,2) b.(1,2-1) c.(2,0) d.(2-1,1) 解析:如图所示, 圆心到直线 l 的距离为 d=212+12=1,则直线 l 与圆 x2+y2=1相切. 由图可知,当 ap,aq 均为圆 x2+y2=1 的切线时,paq 的度数最大. 如 图 , 连 接